Theorem ordtr1 4483

Description: Transitive law for ordinal classes. (Contributed by NM, 12-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ordtr1	⊢ (Ord 𝐶 → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem ordtr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtr 4473	. 2 ⊢ (Ord 𝐶 → Tr 𝐶)
2		trel 4192	. 2 ⊢ (Tr 𝐶 → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (Ord 𝐶 → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200  Tr wtr 4185  Ord word 4457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2802  df-in 3204  df-ss 3211  df-uni 3892  df-tr 4186  df-iord 4461

This theorem is referenced by:  ontr1  4484  ordwe  4672  dfsmo2  6448  smores2  6455  smoel  6461  tfr1onlemsucaccv  6502  tfr1onlembxssdm  6504  tfr1onlembfn  6505  tfr1onlemaccex  6509  tfr1onlemres  6510  tfrcllemsucaccv  6515  tfrcllembxssdm  6517  tfrcllembfn  6518  tfrcllemaccex  6522  tfrcllemres  6523  tfrcl  6525  ordiso2  7225