Theorem ordtr1 4366

Description: Transitive law for ordinal classes. (Contributed by NM, 12-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ordtr1	⊢ (Ord 𝐶 → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem ordtr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtr 4356	. 2 ⊢ (Ord 𝐶 → Tr 𝐶)
2		trel 4087	. 2 ⊢ (Tr 𝐶 → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (Ord 𝐶 → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2136  Tr wtr 4080  Ord word 4340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-in 3122  df-ss 3129  df-uni 3790  df-tr 4081  df-iord 4344

This theorem is referenced by:  ontr1  4367  ordwe  4553  dfsmo2  6255  smores2  6262  smoel  6268  tfr1onlemsucaccv  6309  tfr1onlembxssdm  6311  tfr1onlembfn  6312  tfr1onlemaccex  6316  tfr1onlemres  6317  tfrcllemsucaccv  6322  tfrcllembxssdm  6324  tfrcllembfn  6325  tfrcllemaccex  6329  tfrcllemres  6330  tfrcl  6332  ordiso2  7000