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Theorem tfrcl 6268
Description: Closure for transfinite recursion. As with tfr1on 6254, the characteristic function must be defined up to a suitable point, not necessarily on all ordinals. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrcl.f 𝐹 = recs(𝐺)
tfrcl.g (𝜑 → Fun 𝐺)
tfrcl.x (𝜑 → Ord 𝑋)
tfrcl.ex ((𝜑𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
tfrcl.u ((𝜑𝑥 𝑋) → suc 𝑥𝑋)
tfrcl.yx (𝜑𝑌 𝑋)
Assertion
Ref Expression
tfrcl (𝜑 → (𝐹𝑌) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹,𝑥   𝑓,𝐺,𝑥   𝑆,𝑓,𝑥   𝑓,𝑋,𝑥   𝜑,𝑓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑌(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem tfrcl
Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tfrcl.x . . . 4 (𝜑 → Ord 𝑋)
2 orduni 4418 . . . 4 (Ord 𝑋 → Ord 𝑋)
31, 2syl 14 . . 3 (𝜑 → Ord 𝑋)
4 tfrcl.yx . . 3 (𝜑𝑌 𝑋)
5 ordelon 4312 . . 3 ((Ord 𝑋𝑌 𝑋) → 𝑌 ∈ On)
63, 4, 5syl2anc 409 . 2 (𝜑𝑌 ∈ On)
74ancli 321 . 2 (𝜑 → (𝜑𝑌 𝑋))
8 eleq1 2203 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (𝑤 𝑋𝑘 𝑋))
98anbi2d 460 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑𝑤 𝑋) ↔ (𝜑𝑘 𝑋)))
10 fveq2 5428 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑘))
1110eleq1d 2209 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → ((𝐹𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝑘) ∈ 𝑆))
129, 11imbi12d 233 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → (((𝜑𝑤 𝑋) → (𝐹𝑤) ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)))
13 eleq1 2203 . . . . 5 (𝑤 = 𝑌 → (𝑤 𝑋𝑌 𝑋))
1413anbi2d 460 . . . 4 (𝑤 = 𝑌 → ((𝜑𝑤 𝑋) ↔ (𝜑𝑌 𝑋)))
15 fveq2 5428 . . . . 5 (𝑤 = 𝑌 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑌))
1615eleq1d 2209 . . . 4 (𝑤 = 𝑌 → ((𝐹𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝑌) ∈ 𝑆))
1714, 16imbi12d 233 . . 3 (𝑤 = 𝑌 → (((𝜑𝑤 𝑋) → (𝐹𝑤) ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑𝑌 𝑋) → (𝐹𝑌) ∈ 𝑆)))
18 tfrcl.f . . . . . . 7 𝐹 = recs(𝐺)
19 tfrcl.g . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun 𝐺)
2019ad2antrl 482 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → Fun 𝐺)
211ad2antrl 482 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → Ord 𝑋)
22 tfrcl.ex . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
23223adant1r 1210 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
24233adant1l 1209 . . . . . . 7 ((((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
25 tfrcl.u . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 𝑋) → suc 𝑥𝑋)
2625adantlr 469 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 𝑋) ∧ 𝑥 𝑋) → suc 𝑥𝑋)
2726adantll 468 . . . . . . 7 ((((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑥 𝑋) → suc 𝑥𝑋)
28 simprr 522 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → 𝑤 𝑋)
2918, 20, 21, 24, 27, 28tfrcldm 6267 . . . . . 6 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → 𝑤 ∈ dom 𝐹)
3018tfr2a 6225 . . . . . 6 (𝑤 ∈ dom 𝐹 → (𝐹𝑤) = (𝐺‘(𝐹𝑤)))
3129, 30syl 14 . . . . 5 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → (𝐹𝑤) = (𝐺‘(𝐹𝑤)))
3219ad2antrl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → Fun 𝐺)
3332adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → Fun 𝐺)
3433adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) → Fun 𝐺)
351ad2antrl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → Ord 𝑋)
3635adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → Ord 𝑋)
3736adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) → Ord 𝑋)
38 simplrl 525 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → 𝜑)
3938, 22syl3an1 1250 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ 𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
40393adant1r 1210 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
4138, 25sylan 281 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ 𝑥 𝑋) → suc 𝑥𝑋)
4241adantlr 469 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 𝑋) → suc 𝑥𝑋)
4336, 2syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → Ord 𝑋)
44 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → 𝑘𝑤)
45 simplrr 526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → 𝑤 𝑋)
4644, 45jca 304 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → (𝑘𝑤𝑤 𝑋))
47 ordtr1 4317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Ord 𝑋 → ((𝑘𝑤𝑤 𝑋) → 𝑘 𝑋))
4843, 46, 47sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → 𝑘 𝑋)
4948adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) → 𝑘 𝑋)
5018, 34, 37, 40, 42, 49tfrcldm 6267 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
5138, 48jca 304 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → (𝜑𝑘 𝑋))
5251imim1i 60 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆) → (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆))
5352impcom 124 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
5450, 53jca 304 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑆))
5554ex 114 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → (((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)))
5655ralimdva 2502 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → (∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆) → ∀𝑘𝑤 (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)))
5756imp 123 . . . . . . . . 9 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) → ∀𝑘𝑤 (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑆))
5857an32s 558 . . . . . . . 8 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → ∀𝑘𝑤 (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑆))
59 tfrfun 6224 . . . . . . . . . . 11 Fun recs(𝐺)
6018funeqi 5151 . . . . . . . . . . 11 (Fun 𝐹 ↔ Fun recs(𝐺))
6159, 60mpbir 145 . . . . . . . . . 10 Fun 𝐹
6261a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → Fun 𝐹)
63 ffvresb 5590 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 → ((𝐹𝑤):𝑤𝑆 ↔ ∀𝑘𝑤 (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)))
6462, 63syl 14 . . . . . . . 8 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → ((𝐹𝑤):𝑤𝑆 ↔ ∀𝑘𝑤 (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)))
6558, 64mpbird 166 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → (𝐹𝑤):𝑤𝑆)
66 vex 2692 . . . . . . 7 𝑤 ∈ V
67 fex 5654 . . . . . . 7 (((𝐹𝑤):𝑤𝑆𝑤 ∈ V) → (𝐹𝑤) ∈ V)
6865, 66, 67sylancl 410 . . . . . 6 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → (𝐹𝑤) ∈ V)
69 feq2 5263 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑤 → (𝑓:𝑥𝑆𝑓:𝑤𝑆))
7069imbi1d 230 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → ((𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) ↔ (𝑓:𝑤𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)))
7170albidv 1797 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑓(𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) ↔ ∀𝑓(𝑓:𝑤𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)))
72223expia 1184 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
7372alrimiv 1847 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → ∀𝑓(𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
7473ralrimiva 2508 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑓(𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
7574ad2antrl 482 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → ∀𝑥𝑋𝑓(𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
7666sucid 4346 . . . . . . . . . 10 𝑤 ∈ suc 𝑤
7776a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → 𝑤 ∈ suc 𝑤)
78 suceq 4331 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑤 → suc 𝑥 = suc 𝑤)
7978eleq1d 2209 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑤 → (suc 𝑥𝑋 ↔ suc 𝑤𝑋))
8025ralrimiva 2508 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥 𝑋 suc 𝑥𝑋)
8180ad2antrl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → ∀𝑥 𝑋 suc 𝑥𝑋)
8279, 81, 28rspcdva 2797 . . . . . . . . 9 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → suc 𝑤𝑋)
8377, 82jca 304 . . . . . . . 8 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → (𝑤 ∈ suc 𝑤 ∧ suc 𝑤𝑋))
84 ordtr1 4317 . . . . . . . 8 (Ord 𝑋 → ((𝑤 ∈ suc 𝑤 ∧ suc 𝑤𝑋) → 𝑤𝑋))
8521, 83, 84sylc 62 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → 𝑤𝑋)
8671, 75, 85rspcdva 2797 . . . . . 6 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → ∀𝑓(𝑓:𝑤𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
87 feq1 5262 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐹𝑤) → (𝑓:𝑤𝑆 ↔ (𝐹𝑤):𝑤𝑆))
88 fveq2 5428 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝐹𝑤) → (𝐺𝑓) = (𝐺‘(𝐹𝑤)))
8988eleq1d 2209 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐹𝑤) → ((𝐺𝑓) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘(𝐹𝑤)) ∈ 𝑆))
9087, 89imbi12d 233 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐹𝑤) → ((𝑓:𝑤𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐹𝑤):𝑤𝑆 → (𝐺‘(𝐹𝑤)) ∈ 𝑆)))
9190spcgv 2776 . . . . . 6 ((𝐹𝑤) ∈ V → (∀𝑓(𝑓:𝑤𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) → ((𝐹𝑤):𝑤𝑆 → (𝐺‘(𝐹𝑤)) ∈ 𝑆)))
9268, 86, 65, 91syl3c 63 . . . . 5 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → (𝐺‘(𝐹𝑤)) ∈ 𝑆)
9331, 92eqeltrd 2217 . . . 4 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → (𝐹𝑤) ∈ 𝑆)
9493exp31 362 . . 3 (𝑤 ∈ On → (∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆) → ((𝜑𝑤 𝑋) → (𝐹𝑤) ∈ 𝑆)))
9512, 17, 94tfis3 4507 . 2 (𝑌 ∈ On → ((𝜑𝑌 𝑋) → (𝐹𝑌) ∈ 𝑆))
966, 7, 95sylc 62 1 (𝜑 → (𝐹𝑌) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 963  wal 1330   = wceq 1332  wcel 1481  wral 2417  Vcvv 2689   cuni 3743  Ord word 4291  Oncon0 4292  suc csuc 4294  dom cdm 4546  cres 4548  Fun wfun 5124  wf 5126  cfv 5130  recscrecs 6208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-suc 4300  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-recs 6209
This theorem is referenced by:  rdgon  6290  freccllem  6306  frecfcllem  6308
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