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Theorem tfrcl 6365
Description: Closure for transfinite recursion. As with tfr1on 6351, the characteristic function must be defined up to a suitable point, not necessarily on all ordinals. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrcl.f 𝐹 = recs(𝐺)
tfrcl.g (𝜑 → Fun 𝐺)
tfrcl.x (𝜑 → Ord 𝑋)
tfrcl.ex ((𝜑𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
tfrcl.u ((𝜑𝑥 𝑋) → suc 𝑥𝑋)
tfrcl.yx (𝜑𝑌 𝑋)
Assertion
Ref Expression
tfrcl (𝜑 → (𝐹𝑌) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹,𝑥   𝑓,𝐺,𝑥   𝑆,𝑓,𝑥   𝑓,𝑋,𝑥   𝜑,𝑓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑌(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem tfrcl
Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tfrcl.x . . . 4 (𝜑 → Ord 𝑋)
2 orduni 4495 . . . 4 (Ord 𝑋 → Ord 𝑋)
31, 2syl 14 . . 3 (𝜑 → Ord 𝑋)
4 tfrcl.yx . . 3 (𝜑𝑌 𝑋)
5 ordelon 4384 . . 3 ((Ord 𝑋𝑌 𝑋) → 𝑌 ∈ On)
63, 4, 5syl2anc 411 . 2 (𝜑𝑌 ∈ On)
74ancli 323 . 2 (𝜑 → (𝜑𝑌 𝑋))
8 eleq1 2240 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (𝑤 𝑋𝑘 𝑋))
98anbi2d 464 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑𝑤 𝑋) ↔ (𝜑𝑘 𝑋)))
10 fveq2 5516 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑘))
1110eleq1d 2246 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → ((𝐹𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝑘) ∈ 𝑆))
129, 11imbi12d 234 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → (((𝜑𝑤 𝑋) → (𝐹𝑤) ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)))
13 eleq1 2240 . . . . 5 (𝑤 = 𝑌 → (𝑤 𝑋𝑌 𝑋))
1413anbi2d 464 . . . 4 (𝑤 = 𝑌 → ((𝜑𝑤 𝑋) ↔ (𝜑𝑌 𝑋)))
15 fveq2 5516 . . . . 5 (𝑤 = 𝑌 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑌))
1615eleq1d 2246 . . . 4 (𝑤 = 𝑌 → ((𝐹𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝑌) ∈ 𝑆))
1714, 16imbi12d 234 . . 3 (𝑤 = 𝑌 → (((𝜑𝑤 𝑋) → (𝐹𝑤) ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑𝑌 𝑋) → (𝐹𝑌) ∈ 𝑆)))
18 tfrcl.f . . . . . . 7 𝐹 = recs(𝐺)
19 tfrcl.g . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun 𝐺)
2019ad2antrl 490 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → Fun 𝐺)
211ad2antrl 490 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → Ord 𝑋)
22 tfrcl.ex . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
23223adant1r 1231 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
24233adant1l 1230 . . . . . . 7 ((((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
25 tfrcl.u . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 𝑋) → suc 𝑥𝑋)
2625adantlr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 𝑋) ∧ 𝑥 𝑋) → suc 𝑥𝑋)
2726adantll 476 . . . . . . 7 ((((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑥 𝑋) → suc 𝑥𝑋)
28 simprr 531 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → 𝑤 𝑋)
2918, 20, 21, 24, 27, 28tfrcldm 6364 . . . . . 6 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → 𝑤 ∈ dom 𝐹)
3018tfr2a 6322 . . . . . 6 (𝑤 ∈ dom 𝐹 → (𝐹𝑤) = (𝐺‘(𝐹𝑤)))
3129, 30syl 14 . . . . 5 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → (𝐹𝑤) = (𝐺‘(𝐹𝑤)))
3219ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → Fun 𝐺)
3332adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → Fun 𝐺)
3433adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) → Fun 𝐺)
351ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → Ord 𝑋)
3635adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → Ord 𝑋)
3736adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) → Ord 𝑋)
38 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → 𝜑)
3938, 22syl3an1 1271 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ 𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
40393adant1r 1231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
4138, 25sylan 283 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ 𝑥 𝑋) → suc 𝑥𝑋)
4241adantlr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 𝑋) → suc 𝑥𝑋)
4336, 2syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → Ord 𝑋)
44 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → 𝑘𝑤)
45 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → 𝑤 𝑋)
4644, 45jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → (𝑘𝑤𝑤 𝑋))
47 ordtr1 4389 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Ord 𝑋 → ((𝑘𝑤𝑤 𝑋) → 𝑘 𝑋))
4843, 46, 47sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → 𝑘 𝑋)
4948adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) → 𝑘 𝑋)
5018, 34, 37, 40, 42, 49tfrcldm 6364 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
5138, 48jca 306 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → (𝜑𝑘 𝑋))
5251imim1i 60 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆) → (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆))
5352impcom 125 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
5450, 53jca 306 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑆))
5554ex 115 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → (((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)))
5655ralimdva 2544 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → (∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆) → ∀𝑘𝑤 (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)))
5756imp 124 . . . . . . . . 9 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) → ∀𝑘𝑤 (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑆))
5857an32s 568 . . . . . . . 8 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → ∀𝑘𝑤 (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑆))
59 tfrfun 6321 . . . . . . . . . . 11 Fun recs(𝐺)
6018funeqi 5238 . . . . . . . . . . 11 (Fun 𝐹 ↔ Fun recs(𝐺))
6159, 60mpbir 146 . . . . . . . . . 10 Fun 𝐹
6261a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → Fun 𝐹)
63 ffvresb 5680 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 → ((𝐹𝑤):𝑤𝑆 ↔ ∀𝑘𝑤 (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)))
6462, 63syl 14 . . . . . . . 8 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → ((𝐹𝑤):𝑤𝑆 ↔ ∀𝑘𝑤 (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)))
6558, 64mpbird 167 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → (𝐹𝑤):𝑤𝑆)
66 vex 2741 . . . . . . 7 𝑤 ∈ V
67 fex 5746 . . . . . . 7 (((𝐹𝑤):𝑤𝑆𝑤 ∈ V) → (𝐹𝑤) ∈ V)
6865, 66, 67sylancl 413 . . . . . 6 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → (𝐹𝑤) ∈ V)
69 feq2 5350 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑤 → (𝑓:𝑥𝑆𝑓:𝑤𝑆))
7069imbi1d 231 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → ((𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) ↔ (𝑓:𝑤𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)))
7170albidv 1824 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑓(𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) ↔ ∀𝑓(𝑓:𝑤𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)))
72223expia 1205 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
7372alrimiv 1874 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → ∀𝑓(𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
7473ralrimiva 2550 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑓(𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
7574ad2antrl 490 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → ∀𝑥𝑋𝑓(𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
7666sucid 4418 . . . . . . . . . 10 𝑤 ∈ suc 𝑤
7776a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → 𝑤 ∈ suc 𝑤)
78 suceq 4403 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑤 → suc 𝑥 = suc 𝑤)
7978eleq1d 2246 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑤 → (suc 𝑥𝑋 ↔ suc 𝑤𝑋))
8025ralrimiva 2550 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥 𝑋 suc 𝑥𝑋)
8180ad2antrl 490 . . . . . . . . . 10 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → ∀𝑥 𝑋 suc 𝑥𝑋)
8279, 81, 28rspcdva 2847 . . . . . . . . 9 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → suc 𝑤𝑋)
8377, 82jca 306 . . . . . . . 8 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → (𝑤 ∈ suc 𝑤 ∧ suc 𝑤𝑋))
84 ordtr1 4389 . . . . . . . 8 (Ord 𝑋 → ((𝑤 ∈ suc 𝑤 ∧ suc 𝑤𝑋) → 𝑤𝑋))
8521, 83, 84sylc 62 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → 𝑤𝑋)
8671, 75, 85rspcdva 2847 . . . . . 6 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → ∀𝑓(𝑓:𝑤𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
87 feq1 5349 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐹𝑤) → (𝑓:𝑤𝑆 ↔ (𝐹𝑤):𝑤𝑆))
88 fveq2 5516 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝐹𝑤) → (𝐺𝑓) = (𝐺‘(𝐹𝑤)))
8988eleq1d 2246 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐹𝑤) → ((𝐺𝑓) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘(𝐹𝑤)) ∈ 𝑆))
9087, 89imbi12d 234 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐹𝑤) → ((𝑓:𝑤𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐹𝑤):𝑤𝑆 → (𝐺‘(𝐹𝑤)) ∈ 𝑆)))
9190spcgv 2825 . . . . . 6 ((𝐹𝑤) ∈ V → (∀𝑓(𝑓:𝑤𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) → ((𝐹𝑤):𝑤𝑆 → (𝐺‘(𝐹𝑤)) ∈ 𝑆)))
9268, 86, 65, 91syl3c 63 . . . . 5 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → (𝐺‘(𝐹𝑤)) ∈ 𝑆)
9331, 92eqeltrd 2254 . . . 4 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → (𝐹𝑤) ∈ 𝑆)
9493exp31 364 . . 3 (𝑤 ∈ On → (∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆) → ((𝜑𝑤 𝑋) → (𝐹𝑤) ∈ 𝑆)))
9512, 17, 94tfis3 4586 . 2 (𝑌 ∈ On → ((𝜑𝑌 𝑋) → (𝐹𝑌) ∈ 𝑆))
966, 7, 95sylc 62 1 (𝜑 → (𝐹𝑌) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978  wal 1351   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  Vcvv 2738   cuni 3810  Ord word 4363  Oncon0 4364  suc csuc 4366  dom cdm 4627  cres 4629  Fun wfun 5211  wf 5213  cfv 5217  recscrecs 6305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-recs 6306
This theorem is referenced by:  rdgon  6387  freccllem  6403  frecfcllem  6405
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