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Theorem tfrcl 6111
Description: Closure for transfinite recursion. As with tfr1on 6097, the characteristic function must be defined up to a suitable point, not necessarily on all ordinals. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrcl.f 𝐹 = recs(𝐺)
tfrcl.g (𝜑 → Fun 𝐺)
tfrcl.x (𝜑 → Ord 𝑋)
tfrcl.ex ((𝜑𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
tfrcl.u ((𝜑𝑥 𝑋) → suc 𝑥𝑋)
tfrcl.yx (𝜑𝑌 𝑋)
Assertion
Ref Expression
tfrcl (𝜑 → (𝐹𝑌) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹,𝑥   𝑓,𝐺,𝑥   𝑆,𝑓,𝑥   𝑓,𝑋,𝑥   𝜑,𝑓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑌(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem tfrcl
Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tfrcl.x . . . 4 (𝜑 → Ord 𝑋)
2 orduni 4302 . . . 4 (Ord 𝑋 → Ord 𝑋)
31, 2syl 14 . . 3 (𝜑 → Ord 𝑋)
4 tfrcl.yx . . 3 (𝜑𝑌 𝑋)
5 ordelon 4201 . . 3 ((Ord 𝑋𝑌 𝑋) → 𝑌 ∈ On)
63, 4, 5syl2anc 403 . 2 (𝜑𝑌 ∈ On)
74ancli 316 . 2 (𝜑 → (𝜑𝑌 𝑋))
8 eleq1 2150 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (𝑤 𝑋𝑘 𝑋))
98anbi2d 452 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑𝑤 𝑋) ↔ (𝜑𝑘 𝑋)))
10 fveq2 5289 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑘))
1110eleq1d 2156 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → ((𝐹𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝑘) ∈ 𝑆))
129, 11imbi12d 232 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → (((𝜑𝑤 𝑋) → (𝐹𝑤) ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)))
13 eleq1 2150 . . . . 5 (𝑤 = 𝑌 → (𝑤 𝑋𝑌 𝑋))
1413anbi2d 452 . . . 4 (𝑤 = 𝑌 → ((𝜑𝑤 𝑋) ↔ (𝜑𝑌 𝑋)))
15 fveq2 5289 . . . . 5 (𝑤 = 𝑌 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑌))
1615eleq1d 2156 . . . 4 (𝑤 = 𝑌 → ((𝐹𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝑌) ∈ 𝑆))
1714, 16imbi12d 232 . . 3 (𝑤 = 𝑌 → (((𝜑𝑤 𝑋) → (𝐹𝑤) ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑𝑌 𝑋) → (𝐹𝑌) ∈ 𝑆)))
18 tfrcl.f . . . . . . 7 𝐹 = recs(𝐺)
19 tfrcl.g . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun 𝐺)
2019ad2antrl 474 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → Fun 𝐺)
211ad2antrl 474 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → Ord 𝑋)
22 tfrcl.ex . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
23223adant1r 1167 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
24233adant1l 1166 . . . . . . 7 ((((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
25 tfrcl.u . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 𝑋) → suc 𝑥𝑋)
2625adantlr 461 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤 𝑋) ∧ 𝑥 𝑋) → suc 𝑥𝑋)
2726adantll 460 . . . . . . 7 ((((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑥 𝑋) → suc 𝑥𝑋)
28 simprr 499 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → 𝑤 𝑋)
2918, 20, 21, 24, 27, 28tfrcldm 6110 . . . . . 6 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → 𝑤 ∈ dom 𝐹)
3018tfr2a 6068 . . . . . 6 (𝑤 ∈ dom 𝐹 → (𝐹𝑤) = (𝐺‘(𝐹𝑤)))
3129, 30syl 14 . . . . 5 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → (𝐹𝑤) = (𝐺‘(𝐹𝑤)))
3219ad2antrl 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → Fun 𝐺)
3332adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → Fun 𝐺)
3433adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) → Fun 𝐺)
351ad2antrl 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → Ord 𝑋)
3635adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → Ord 𝑋)
3736adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) → Ord 𝑋)
38 simplrl 502 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → 𝜑)
3938, 22syl3an1 1207 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ 𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
40393adant1r 1167 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥𝑋𝑓:𝑥𝑆) → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)
4138, 25sylan 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ 𝑥 𝑋) → suc 𝑥𝑋)
4241adantlr 461 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 𝑋) → suc 𝑥𝑋)
4336, 2syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → Ord 𝑋)
44 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → 𝑘𝑤)
45 simplrr 503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → 𝑤 𝑋)
4644, 45jca 300 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → (𝑘𝑤𝑤 𝑋))
47 ordtr1 4206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Ord 𝑋 → ((𝑘𝑤𝑤 𝑋) → 𝑘 𝑋))
4843, 46, 47sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → 𝑘 𝑋)
4948adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) → 𝑘 𝑋)
5018, 34, 37, 40, 42, 49tfrcldm 6110 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
5138, 48jca 300 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → (𝜑𝑘 𝑋))
5251imim1i 59 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆) → (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆))
5352impcom 123 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
5450, 53jca 300 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) ∧ ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑆))
5554ex 113 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ 𝑘𝑤) → (((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)))
5655ralimdva 2441 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → (∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆) → ∀𝑘𝑤 (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)))
5756imp 122 . . . . . . . . 9 (((𝑤 ∈ On ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) → ∀𝑘𝑤 (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑆))
5857an32s 535 . . . . . . . 8 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → ∀𝑘𝑤 (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑆))
59 tfrfun 6067 . . . . . . . . . . 11 Fun recs(𝐺)
6018funeqi 5022 . . . . . . . . . . 11 (Fun 𝐹 ↔ Fun recs(𝐺))
6159, 60mpbir 144 . . . . . . . . . 10 Fun 𝐹
6261a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → Fun 𝐹)
63 ffvresb 5445 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 → ((𝐹𝑤):𝑤𝑆 ↔ ∀𝑘𝑤 (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)))
6462, 63syl 14 . . . . . . . 8 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → ((𝐹𝑤):𝑤𝑆 ↔ ∀𝑘𝑤 (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)))
6558, 64mpbird 165 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → (𝐹𝑤):𝑤𝑆)
66 vex 2622 . . . . . . 7 𝑤 ∈ V
67 fex 5506 . . . . . . 7 (((𝐹𝑤):𝑤𝑆𝑤 ∈ V) → (𝐹𝑤) ∈ V)
6865, 66, 67sylancl 404 . . . . . 6 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → (𝐹𝑤) ∈ V)
69 feq2 5132 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑤 → (𝑓:𝑥𝑆𝑓:𝑤𝑆))
7069imbi1d 229 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → ((𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) ↔ (𝑓:𝑤𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)))
7170albidv 1752 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑓(𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) ↔ ∀𝑓(𝑓:𝑤𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆)))
72223expia 1145 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
7372alrimiv 1802 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → ∀𝑓(𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
7473ralrimiva 2446 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑓(𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
7574ad2antrl 474 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → ∀𝑥𝑋𝑓(𝑓:𝑥𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
7666sucid 4235 . . . . . . . . . 10 𝑤 ∈ suc 𝑤
7776a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → 𝑤 ∈ suc 𝑤)
78 suceq 4220 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑤 → suc 𝑥 = suc 𝑤)
7978eleq1d 2156 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑤 → (suc 𝑥𝑋 ↔ suc 𝑤𝑋))
8025ralrimiva 2446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥 𝑋 suc 𝑥𝑋)
8180ad2antrl 474 . . . . . . . . . 10 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → ∀𝑥 𝑋 suc 𝑥𝑋)
8279, 81, 28rspcdva 2727 . . . . . . . . 9 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → suc 𝑤𝑋)
8377, 82jca 300 . . . . . . . 8 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → (𝑤 ∈ suc 𝑤 ∧ suc 𝑤𝑋))
84 ordtr1 4206 . . . . . . . 8 (Ord 𝑋 → ((𝑤 ∈ suc 𝑤 ∧ suc 𝑤𝑋) → 𝑤𝑋))
8521, 83, 84sylc 61 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → 𝑤𝑋)
8671, 75, 85rspcdva 2727 . . . . . 6 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → ∀𝑓(𝑓:𝑤𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆))
87 feq1 5131 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐹𝑤) → (𝑓:𝑤𝑆 ↔ (𝐹𝑤):𝑤𝑆))
88 fveq2 5289 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝐹𝑤) → (𝐺𝑓) = (𝐺‘(𝐹𝑤)))
8988eleq1d 2156 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐹𝑤) → ((𝐺𝑓) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘(𝐹𝑤)) ∈ 𝑆))
9087, 89imbi12d 232 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐹𝑤) → ((𝑓:𝑤𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐹𝑤):𝑤𝑆 → (𝐺‘(𝐹𝑤)) ∈ 𝑆)))
9190spcgv 2706 . . . . . 6 ((𝐹𝑤) ∈ V → (∀𝑓(𝑓:𝑤𝑆 → (𝐺𝑓) ∈ 𝑆) → ((𝐹𝑤):𝑤𝑆 → (𝐺‘(𝐹𝑤)) ∈ 𝑆)))
9268, 86, 65, 91syl3c 62 . . . . 5 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → (𝐺‘(𝐹𝑤)) ∈ 𝑆)
9331, 92eqeltrd 2164 . . . 4 (((𝑤 ∈ On ∧ ∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)) ∧ (𝜑𝑤 𝑋)) → (𝐹𝑤) ∈ 𝑆)
9493exp31 356 . . 3 (𝑤 ∈ On → (∀𝑘𝑤 ((𝜑𝑘 𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆) → ((𝜑𝑤 𝑋) → (𝐹𝑤) ∈ 𝑆)))
9512, 17, 94tfis3 4391 . 2 (𝑌 ∈ On → ((𝜑𝑌 𝑋) → (𝐹𝑌) ∈ 𝑆))
966, 7, 95sylc 61 1 (𝜑 → (𝐹𝑌) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 924  wal 1287   = wceq 1289  wcel 1438  wral 2359  Vcvv 2619   cuni 3648  Ord word 4180  Oncon0 4181  suc csuc 4183  dom cdm 4428  cres 4430  Fun wfun 4996  wf 4998  cfv 5002  recscrecs 6051
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-recs 6052
This theorem is referenced by:  rdgon  6133  freccllem  6149  frecfcllem  6151
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