Theorem riotacl 6027

Description: Closure of restricted iota. (Contributed by NM, 21-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
riotacl	⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem riotacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3327	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐴
2		riotacl2 6026	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑})
3	1, 2	sselid 3240	1 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  ∃!wreu 2524  {crab 2526  ℩crio 6010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-sn 3700  df-pr 3701  df-uni 3920  df-iota 5317  df-riota 6011

This theorem is referenced by:  riotaeqimp  6036  riotaprop  6037  riotass2  6040  riotass  6041  acexmidlemcase  6053  supclti  7302  caucvgsrlemcl  8120  caucvgsrlemgt1  8126  axcaucvglemcl  8226  subval  8481  subcl  8488  divvalap  8965  divclap  8969  lbcl  9237  divfnzn  9971  flqcl  10657  flapcl  10659  cjval  11555  cjth  11556  cjf  11557  oddpwdclemodd  12894  oddpwdclemdc  12895  oddpwdc  12896  qnumdencl  12909  qnumdenbi  12914  ismgmid  13640  grpinvf  13802  uspgredg2vlem  16341  usgredg2vlem1  16343