Theorem riotacl 5982

Description: Closure of restricted iota. (Contributed by NM, 21-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
riotacl	⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem riotacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3310	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐴
2		riotacl2 5981	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑})
3	1, 2	sselid 3223	1 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ∃!wreu 2510  {crab 2512  ℩crio 5965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-sn 3673  df-pr 3674  df-uni 3892  df-iota 5284  df-riota 5966

This theorem is referenced by:  riotaeqimp  5991  riotaprop  5992  riotass2  5995  riotass  5996  acexmidlemcase  6008  supclti  7188  caucvgsrlemcl  7999  caucvgsrlemgt1  8005  axcaucvglemcl  8105  subval  8361  subcl  8368  divvalap  8844  divclap  8848  lbcl  9116  divfnzn  9845  flqcl  10523  flapcl  10525  cjval  11396  cjth  11397  cjf  11398  oddpwdclemodd  12734  oddpwdclemdc  12735  oddpwdc  12736  qnumdencl  12749  qnumdenbi  12754  ismgmid  13450  grpinvf  13620  uspgredg2vlem  16059  usgredg2vlem1  16061