Theorem riotacl 6057

Description: Closure of restricted iota. (Contributed by NM, 21-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
riotacl	⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem riotacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3333	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐴
2		riotacl2 6056	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑})
3	1, 2	sselid 3246	1 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ∃!wreu 2530  {crab 2532  ℩crio 6040

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-iota 5340  df-riota 6041

This theorem is used by:  riotaeqimp  6066  riotaprop  6067  riotass2  6070  riotass  6071  acexmidlemcase  6083  supclti  7344  caucvgsrlemcl  8162  caucvgsrlemgt1  8168  axcaucvglemcl  8268  subval  8525  subcl  8532  divvalap  9012  divclap  9016  lbcl  9284  divfnzn  10037  flqcl  10725  flapclz  10727  cjval  11632  cjth  11633  cjf  11634  nnmaxpwlemnfac  12976  nnmaxpwlemparts  12977  nnmaxpw  12978  qnumdencl  12992  qnumdenbi  12997  ismgmid  13756  grpinvf  13911  uspgredg2vlem  16666  usgredg2vlem1  16668