Theorem riotacl 5997

Description: Closure of restricted iota. (Contributed by NM, 21-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
riotacl	⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem riotacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3313	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐴
2		riotacl2 5996	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑})
3	1, 2	sselid 3226	1 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  ∃!wreu 2513  {crab 2515  ℩crio 5980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-sn 3679  df-pr 3680  df-uni 3899  df-iota 5293  df-riota 5981

This theorem is referenced by:  riotaeqimp  6006  riotaprop  6007  riotass2  6010  riotass  6011  acexmidlemcase  6023  supclti  7240  caucvgsrlemcl  8052  caucvgsrlemgt1  8058  axcaucvglemcl  8158  subval  8413  subcl  8420  divvalap  8896  divclap  8900  lbcl  9168  divfnzn  9899  flqcl  10579  flapcl  10581  cjval  11468  cjth  11469  cjf  11470  oddpwdclemodd  12807  oddpwdclemdc  12808  oddpwdc  12809  qnumdencl  12822  qnumdenbi  12827  ismgmid  13523  grpinvf  13693  uspgredg2vlem  16144  usgredg2vlem1  16146