Theorem riotacl 5976

Description: Closure of restricted iota. (Contributed by NM, 21-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
riotacl	⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem riotacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3309	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐴
2		riotacl2 5975	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑})
3	1, 2	sselid 3222	1 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ∃!wreu 2510  {crab 2512  ℩crio 5959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3889  df-iota 5278  df-riota 5960

This theorem is referenced by:  riotaeqimp  5985  riotaprop  5986  riotass2  5989  riotass  5990  acexmidlemcase  6002  supclti  7176  caucvgsrlemcl  7987  caucvgsrlemgt1  7993  axcaucvglemcl  8093  subval  8349  subcl  8356  divvalap  8832  divclap  8836  lbcl  9104  divfnzn  9828  flqcl  10505  flapcl  10507  cjval  11371  cjth  11372  cjf  11373  oddpwdclemodd  12709  oddpwdclemdc  12710  oddpwdc  12711  qnumdencl  12724  qnumdenbi  12729  ismgmid  13425  grpinvf  13595  uspgredg2vlem  16033  usgredg2vlem1  16035