Theorem riotacl 5987

Description: Closure of restricted iota. (Contributed by NM, 21-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
riotacl	⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem riotacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3312	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐴
2		riotacl2 5986	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑})
3	1, 2	sselid 3225	1 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  ∃!wreu 2512  {crab 2514  ℩crio 5970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894  df-iota 5286  df-riota 5971

This theorem is referenced by:  riotaeqimp  5996  riotaprop  5997  riotass2  6000  riotass  6001  acexmidlemcase  6013  supclti  7197  caucvgsrlemcl  8009  caucvgsrlemgt1  8015  axcaucvglemcl  8115  subval  8371  subcl  8378  divvalap  8854  divclap  8858  lbcl  9126  divfnzn  9855  flqcl  10534  flapcl  10536  cjval  11423  cjth  11424  cjf  11425  oddpwdclemodd  12762  oddpwdclemdc  12763  oddpwdc  12764  qnumdencl  12777  qnumdenbi  12782  ismgmid  13478  grpinvf  13648  uspgredg2vlem  16090  usgredg2vlem1  16092