Theorem s1dmg 11371

Description: The domain of a singleton word is a singleton. (Contributed by AV, 9-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
s1dmg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → dom ⟨“𝐴”⟩ = {0})

Proof of Theorem s1dmg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1val 11363	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩})
2	1	dmeqd 4978	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → dom ⟨“𝐴”⟩ = dom {⟨0, 𝐴⟩})
3		dmsnopg 5254	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → dom {⟨0, 𝐴⟩} = {0})
4	2, 3	eqtrd 2271	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → dom ⟨“𝐴”⟩ = {0})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {csn 3705  ⟨cop 3708  dom cdm 4769  0cc0 8169  ⟨“cs1 11361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-s1 11362

This theorem is referenced by: (None)