Theorem dmeqd 4741

Description: Equality deduction for domain. (Contributed by NM, 4-Mar-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
dmeqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dmeqd	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Proof of Theorem dmeqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmeqd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		dmeq 4739	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → dom 𝐴 = dom 𝐵)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331  dom cdm 4539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-dm 4549

This theorem is referenced by:  rneq  4766  dmsnsnsng  5016  elxp4  5026  fndmin  5527  1stvalg  6040  fo1st  6055  f1stres  6057  errn  6451  xpassen  6724  xpdom2  6725  frecuzrdgtclt  10194  shftdm  10594  ennnfonelemg  11916  ennnfonelem1  11920  ennnfonelemhdmp1  11922  ennnfonelemkh  11925  ennnfonelemhf1o  11926  ennnfonelemex  11927  ennnfonelemhom  11928  isstruct2im  11969  isstruct2r  11970  setsvalg  11989  cnprcl2k  12375  psmetdmdm  12493  xmetdmdm  12525  blfvalps  12554  limccl  12797  ellimc3apf  12798  dvfvalap  12819  dvcj  12842  dvexp  12844  dvmptclx  12849  dvmptaddx  12850  dvmptmulx  12851