Theorem dmeqd 4831

Description: Equality deduction for domain. (Contributed by NM, 4-Mar-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
dmeqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dmeqd	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Proof of Theorem dmeqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmeqd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		dmeq 4829	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → dom 𝐴 = dom 𝐵)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353  dom cdm 4628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-dm 4638

This theorem is referenced by:  rneq  4856  dmsnsnsng  5108  elxp4  5118  fndmin  5625  1stvalg  6145  fo1st  6160  f1stres  6162  errn  6559  xpassen  6832  xpdom2  6833  frecuzrdgtclt  10423  shftdm  10833  ennnfonelemg  12406  ennnfonelem1  12410  ennnfonelemhdmp1  12412  ennnfonelemkh  12415  ennnfonelemhf1o  12416  ennnfonelemex  12417  ennnfonelemhom  12418  isstruct2im  12474  isstruct2r  12475  setsvalg  12494  cnprcl2k  13791  psmetdmdm  13909  xmetdmdm  13941  blfvalps  13970  limccl  14213  ellimc3apf  14214  dvfvalap  14235  dvcj  14258  dvexp  14260  dvmptclx  14265  dvmptaddx  14266  dvmptmulx  14267