Theorem dmeqd 4847

Description: Equality deduction for domain. (Contributed by NM, 4-Mar-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
dmeqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dmeqd	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Proof of Theorem dmeqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmeqd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		dmeq 4845	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → dom 𝐴 = dom 𝐵)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364  dom cdm 4644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-dm 4654

This theorem is referenced by:  rneq  4872  dmsnsnsng  5124  elxp4  5134  fndmin  5644  1stvalg  6168  fo1st  6183  f1stres  6185  errn  6582  xpassen  6857  xpdom2  6858  frecuzrdgtclt  10454  shftdm  10866  ennnfonelemg  12457  ennnfonelem1  12461  ennnfonelemhdmp1  12463  ennnfonelemkh  12466  ennnfonelemhf1o  12467  ennnfonelemex  12468  ennnfonelemhom  12469  isstruct2im  12525  isstruct2r  12526  setsvalg  12545  igsumvalx  12868  cnprcl2k  14183  psmetdmdm  14301  xmetdmdm  14333  blfvalps  14362  limccl  14605  ellimc3apf  14606  dvfvalap  14627  dvcj  14650  dvexp  14652  dvmptclx  14657  dvmptaddx  14658  dvmptmulx  14659