Theorem dmeqd 4985

Description: Equality deduction for domain. (Contributed by NM, 4-Mar-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
dmeqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dmeqd	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Proof of Theorem dmeqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmeqd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		dmeq 4983	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → dom 𝐴 = dom 𝐵)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  dom cdm 4776

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-dm 4786

This theorem is used by:  rneq  5011  dmsnsnsng  5268  elxp4  5278  f10d  5678  fndmin  5819  1stvalg  6380  fo1st  6395  f1stres  6397  errn  6833  xpassen  7132  xpdom2  7133  frecuzrdgtclt  10879  s1dmg  11415  swrdval  11442  swrd0g  11454  shftdm  11609  ennnfonelemg  13352  ennnfonelem1  13356  ennnfonelemhdmp1  13358  ennnfonelemkh  13361  ennnfonelemhf1o  13362  ennnfonelemex  13363  ennnfonelemhom  13364  isstruct2im  13420  isstruct2r  13421  setsvalg  13440  bassetsnn  13467  gzsumvalx  13768  cntzrcl  14159  gsum2d2fi  14274  prdsval  14280  cnprcl2k  15432  psmetdmdm  15550  xmetdmdm  15582  blfvalps  15611  limccl  15885  ellimc3apf  15886  dvfvalap  15907  dvcj  15935  dvexp  15937  dvmptclx  15944  dvmptaddx  15945  dvmptmulx  15946  isuhgrm  16517  isushgrm  16518  uhgreq12g  16522  isuhgropm  16527  uhgrun  16532  isupgren  16541  upgrop  16550  isumgren  16551  upgr1edc  16567  umgr1een  16571  upgrun  16572  umgrun  16574  isuspgren  16603  isusgren  16604  isuspgropen  16610  isusgropen  16611  ausgrusgrben  16614  usgrstrrepeen  16677  uspgr1edc  16686  issubgr  16703  uhgrspansubgrlem  16722  vtxdgfval  16734  vtxdgop  16738  vtxdgfi0e  16741  vtxdeqd  16742  vtxdfifiun  16743  1loopgrvd2fi  16751  1loopgrvd0fi  16752  1hevtxdg0fi  16753  1hevtxdg1en  16754  1hegrvtxdg1fi  16755  p1evtxdeqfilem  16757  wksfval  16768  wlkres  16825  eupthsg  16891  eupthres  16903  trlsegvdeglem4  16909  trlsegvdeglem5  16910