Theorem dmeqd 4869

Description: Equality deduction for domain. (Contributed by NM, 4-Mar-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
dmeqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dmeqd	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Proof of Theorem dmeqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmeqd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		dmeq 4867	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → dom 𝐴 = dom 𝐵)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364  dom cdm 4664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-dm 4674

This theorem is referenced by:  rneq  4894  dmsnsnsng  5148  elxp4  5158  fndmin  5672  1stvalg  6209  fo1st  6224  f1stres  6226  errn  6623  xpassen  6898  xpdom2  6899  frecuzrdgtclt  10532  shftdm  11006  ennnfonelemg  12647  ennnfonelem1  12651  ennnfonelemhdmp1  12653  ennnfonelemkh  12656  ennnfonelemhf1o  12657  ennnfonelemex  12658  ennnfonelemhom  12659  isstruct2im  12715  isstruct2r  12716  setsvalg  12735  prdsval  12977  igsumvalx  13093  cnprcl2k  14550  psmetdmdm  14668  xmetdmdm  14700  blfvalps  14729  limccl  15003  ellimc3apf  15004  dvfvalap  15025  dvcj  15053  dvexp  15055  dvmptclx  15062  dvmptaddx  15063  dvmptmulx  15064