Theorem dmeqd 4983

Description: Equality deduction for domain. (Contributed by NM, 4-Mar-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
dmeqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dmeqd	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Proof of Theorem dmeqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmeqd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		dmeq 4981	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → dom 𝐴 = dom 𝐵)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  dom cdm 4774

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-dm 4784

This theorem is used by:  rneq  5009  dmsnsnsng  5265  elxp4  5275  f10d  5675  fndmin  5816  1stvalg  6376  fo1st  6391  f1stres  6393  errn  6829  xpassen  7128  xpdom2  7129  frecuzrdgtclt  10858  s1dmg  11393  swrdval  11420  swrd0g  11432  shftdm  11587  ennnfonelemg  13294  ennnfonelem1  13298  ennnfonelemhdmp1  13300  ennnfonelemkh  13303  ennnfonelemhf1o  13304  ennnfonelemex  13305  ennnfonelemhom  13306  isstruct2im  13362  isstruct2r  13363  setsvalg  13382  bassetsnn  13409  gzsumvalx  13709  prdsval  14173  cnprcl2k  15307  psmetdmdm  15425  xmetdmdm  15457  blfvalps  15486  limccl  15760  ellimc3apf  15761  dvfvalap  15782  dvcj  15810  dvexp  15812  dvmptclx  15819  dvmptaddx  15820  dvmptmulx  15821  isuhgrm  16312  isushgrm  16313  uhgreq12g  16317  isuhgropm  16322  uhgrun  16327  isupgren  16336  upgrop  16345  isumgren  16346  upgr1edc  16362  umgr1een  16366  upgrun  16367  umgrun  16369  isuspgren  16398  isusgren  16399  isuspgropen  16405  isusgropen  16406  ausgrusgrben  16409  usgrstrrepeen  16472  uspgr1edc  16481  issubgr  16498  uhgrspansubgrlem  16517  vtxdgfval  16529  vtxdgop  16533  vtxdgfi0e  16536  vtxdeqd  16537  vtxdfifiun  16538  1loopgrvd2fi  16546  1loopgrvd0fi  16547  1hevtxdg0fi  16548  1hevtxdg1en  16549  1hegrvtxdg1fi  16550  p1evtxdeqfilem  16552  wksfval  16563  wlkres  16620  eupthsg  16686  eupthres  16698  trlsegvdeglem4  16704  trlsegvdeglem5  16705