Theorem dmeqd 4958

Description: Equality deduction for domain. (Contributed by NM, 4-Mar-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
dmeqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dmeqd	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Proof of Theorem dmeqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmeqd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		dmeq 4956	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → dom 𝐴 = dom 𝐵)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398  dom cdm 4749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110  df-dm 4759

This theorem is referenced by:  rneq  4984  dmsnsnsng  5240  elxp4  5250  f10d  5650  fndmin  5785  1stvalg  6336  fo1st  6351  f1stres  6353  errn  6789  xpassen  7081  xpdom2  7082  frecuzrdgtclt  10783  s1dmg  11313  swrdval  11340  swrd0g  11352  shftdm  11507  ennnfonelemg  13154  ennnfonelem1  13158  ennnfonelemhdmp1  13160  ennnfonelemkh  13163  ennnfonelemhf1o  13164  ennnfonelemex  13165  ennnfonelemhom  13166  isstruct2im  13222  isstruct2r  13223  setsvalg  13242  bassetsnn  13269  prdsval  13486  igsumvalx  13602  cnprcl2k  15071  psmetdmdm  15189  xmetdmdm  15221  blfvalps  15250  limccl  15524  ellimc3apf  15525  dvfvalap  15546  dvcj  15574  dvexp  15576  dvmptclx  15583  dvmptaddx  15584  dvmptmulx  15585  isuhgrm  16066  isushgrm  16067  uhgreq12g  16071  isuhgropm  16076  uhgrun  16081  isupgren  16090  upgrop  16099  isumgren  16100  upgr1edc  16116  umgr1een  16120  upgrun  16121  umgrun  16123  isuspgren  16152  isusgren  16153  isuspgropen  16159  isusgropen  16160  ausgrusgrben  16163  usgrstrrepeen  16226  uspgr1edc  16235  issubgr  16252  uhgrspansubgrlem  16271  vtxdgfval  16283  vtxdgop  16287  vtxdgfi0e  16290  vtxdeqd  16291  vtxdfifiun  16292  1loopgrvd2fi  16300  1loopgrvd0fi  16301  1hevtxdg0fi  16302  1hevtxdg1en  16303  1hegrvtxdg1fi  16304  p1evtxdeqfilem  16306  wksfval  16317  wlkres  16374  eupthsg  16440  eupthres  16452  trlsegvdeglem4  16458  trlsegvdeglem5  16459