Theorem dmeqd 4983

Description: Equality deduction for domain. (Contributed by NM, 4-Mar-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
dmeqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dmeqd	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Proof of Theorem dmeqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmeqd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		dmeq 4981	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → dom 𝐴 = dom 𝐵)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  dom cdm 4774

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-dm 4784

This theorem is used by:  rneq  5009  dmsnsnsng  5265  elxp4  5275  f10d  5675  fndmin  5816  1stvalg  6376  fo1st  6391  f1stres  6393  errn  6829  xpassen  7128  xpdom2  7129  frecuzrdgtclt  10871  s1dmg  11407  swrdval  11434  swrd0g  11446  shftdm  11601  ennnfonelemg  13343  ennnfonelem1  13347  ennnfonelemhdmp1  13349  ennnfonelemkh  13352  ennnfonelemhf1o  13353  ennnfonelemex  13354  ennnfonelemhom  13355  isstruct2im  13411  isstruct2r  13412  setsvalg  13431  bassetsnn  13458  gzsumvalx  13758  prdsval  14222  cnprcl2k  15356  psmetdmdm  15474  xmetdmdm  15506  blfvalps  15535  limccl  15809  ellimc3apf  15810  dvfvalap  15831  dvcj  15859  dvexp  15861  dvmptclx  15868  dvmptaddx  15869  dvmptmulx  15870  isuhgrm  16410  isushgrm  16411  uhgreq12g  16415  isuhgropm  16420  uhgrun  16425  isupgren  16434  upgrop  16443  isumgren  16444  upgr1edc  16460  umgr1een  16464  upgrun  16465  umgrun  16467  isuspgren  16496  isusgren  16497  isuspgropen  16503  isusgropen  16504  ausgrusgrben  16507  usgrstrrepeen  16570  uspgr1edc  16579  issubgr  16596  uhgrspansubgrlem  16615  vtxdgfval  16627  vtxdgop  16631  vtxdgfi0e  16634  vtxdeqd  16635  vtxdfifiun  16636  1loopgrvd2fi  16644  1loopgrvd0fi  16645  1hevtxdg0fi  16646  1hevtxdg1en  16647  1hegrvtxdg1fi  16648  p1evtxdeqfilem  16650  wksfval  16661  wlkres  16718  eupthsg  16784  eupthres  16796  trlsegvdeglem4  16802  trlsegvdeglem5  16803