Theorem dmeqd 4806

Description: Equality deduction for domain. (Contributed by NM, 4-Mar-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
dmeqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dmeqd	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Proof of Theorem dmeqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmeqd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		dmeq 4804	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → dom 𝐴 = dom 𝐵)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343  dom cdm 4604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-dm 4614

This theorem is referenced by:  rneq  4831  dmsnsnsng  5081  elxp4  5091  fndmin  5592  1stvalg  6110  fo1st  6125  f1stres  6127  errn  6523  xpassen  6796  xpdom2  6797  frecuzrdgtclt  10356  shftdm  10764  ennnfonelemg  12336  ennnfonelem1  12340  ennnfonelemhdmp1  12342  ennnfonelemkh  12345  ennnfonelemhf1o  12346  ennnfonelemex  12347  ennnfonelemhom  12348  isstruct2im  12404  isstruct2r  12405  setsvalg  12424  cnprcl2k  12846  psmetdmdm  12964  xmetdmdm  12996  blfvalps  13025  limccl  13268  ellimc3apf  13269  dvfvalap  13290  dvcj  13313  dvexp  13315  dvmptclx  13320  dvmptaddx  13321  dvmptmulx  13322