Theorem dmeqd 4985

Description: Equality deduction for domain. (Contributed by NM, 4-Mar-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
dmeqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dmeqd	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Proof of Theorem dmeqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmeqd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		dmeq 4983	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → dom 𝐴 = dom 𝐵)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  dom cdm 4776

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-dm 4786

This theorem is used by:  rneq  5011  dmsnsnsng  5268  elxp4  5278  f10d  5678  fndmin  5819  1stvalg  6380  fo1st  6395  f1stres  6397  errn  6834  xpassen  7134  xpdom2  7135  frecuzrdgtclt  10878  s1dmg  11414  swrdval  11441  swrd0g  11453  shftdm  11608  ennnfonelemg  13351  ennnfonelem1  13355  ennnfonelemhdmp1  13357  ennnfonelemkh  13360  ennnfonelemhf1o  13361  ennnfonelemex  13362  ennnfonelemhom  13363  isstruct2im  13419  isstruct2r  13420  setsvalg  13439  bassetsnn  13466  gzsumvalx  13767  cntzrcl  14158  gsum2d2fi  14273  prdsval  14279  cnprcl2k  15449  psmetdmdm  15567  xmetdmdm  15599  blfvalps  15628  limccl  15902  ellimc3apf  15903  dvfvalap  15924  dvcj  15952  dvexp  15954  dvmptclx  15961  dvmptaddx  15962  dvmptmulx  15963  isuhgrm  16534  isushgrm  16535  uhgreq12g  16539  isuhgropm  16544  uhgrun  16549  isupgren  16558  upgrop  16567  isumgren  16568  upgr1edc  16584  umgr1een  16588  upgrun  16589  umgrun  16591  isuspgren  16620  isusgren  16621  isuspgropen  16627  isusgropen  16628  ausgrusgrben  16631  usgrstrrepeen  16694  uspgr1edc  16703  issubgr  16720  uhgrspansubgrlem  16739  vtxdgfval  16751  vtxdgop  16755  vtxdgfi0e  16758  vtxdeqd  16759  vtxdfifiun  16760  1loopgrvd2fi  16768  1loopgrvd0fi  16769  1hevtxdg0fi  16770  1hevtxdg1en  16771  1hegrvtxdg1fi  16772  p1evtxdeqfilem  16774  wksfval  16785  wlkres  16842  eupthsg  16908  eupthres  16920  trlsegvdeglem4  16926  trlsegvdeglem5  16927