Theorem dmeqd 4933

Description: Equality deduction for domain. (Contributed by NM, 4-Mar-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
dmeqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dmeqd	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Proof of Theorem dmeqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmeqd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		dmeq 4931	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → dom 𝐴 = dom 𝐵)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397  dom cdm 4725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-dm 4735

This theorem is referenced by:  rneq  4959  dmsnsnsng  5214  elxp4  5224  f10d  5619  fndmin  5754  1stvalg  6304  fo1st  6319  f1stres  6321  errn  6723  xpassen  7013  xpdom2  7014  frecuzrdgtclt  10682  s1dmg  11201  swrdval  11228  swrd0g  11240  shftdm  11382  ennnfonelemg  13023  ennnfonelem1  13027  ennnfonelemhdmp1  13029  ennnfonelemkh  13032  ennnfonelemhf1o  13033  ennnfonelemex  13034  ennnfonelemhom  13035  isstruct2im  13091  isstruct2r  13092  setsvalg  13111  bassetsnn  13138  prdsval  13355  igsumvalx  13471  cnprcl2k  14929  psmetdmdm  15047  xmetdmdm  15079  blfvalps  15108  limccl  15382  ellimc3apf  15383  dvfvalap  15404  dvcj  15432  dvexp  15434  dvmptclx  15441  dvmptaddx  15442  dvmptmulx  15443  isuhgrm  15921  isushgrm  15922  uhgreq12g  15926  isuhgropm  15931  uhgrun  15936  isupgren  15945  upgrop  15954  isumgren  15955  upgr1edc  15971  umgr1een  15975  upgrun  15976  umgrun  15978  isuspgren  16007  isusgren  16008  isuspgropen  16014  isusgropen  16015  ausgrusgrben  16018  usgrstrrepeen  16081  uspgr1edc  16090  issubgr  16107  uhgrspansubgrlem  16126  vtxdgfval  16138  vtxdgop  16142  vtxdgfi0e  16145  vtxdeqd  16146  vtxdfifiun  16147  1loopgrvd2fi  16155  1loopgrvd0fi  16156  1hevtxdg0fi  16157  1hevtxdg1en  16158  1hegrvtxdg1fi  16159  p1evtxdeqfilem  16161  wksfval  16172  wlkres  16229  eupthsg  16295  eupthres  16307  trlsegvdeglem4  16313  trlsegvdeglem5  16314