Theorem dmeqd 4868

Description: Equality deduction for domain. (Contributed by NM, 4-Mar-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
dmeqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dmeqd	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Proof of Theorem dmeqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmeqd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		dmeq 4866	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → dom 𝐴 = dom 𝐵)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364  dom cdm 4663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-dm 4673

This theorem is referenced by:  rneq  4893  dmsnsnsng  5147  elxp4  5157  fndmin  5669  1stvalg  6200  fo1st  6215  f1stres  6217  errn  6614  xpassen  6889  xpdom2  6890  frecuzrdgtclt  10513  shftdm  10987  ennnfonelemg  12620  ennnfonelem1  12624  ennnfonelemhdmp1  12626  ennnfonelemkh  12629  ennnfonelemhf1o  12630  ennnfonelemex  12631  ennnfonelemhom  12632  isstruct2im  12688  isstruct2r  12689  setsvalg  12708  igsumvalx  13032  cnprcl2k  14442  psmetdmdm  14560  xmetdmdm  14592  blfvalps  14621  limccl  14895  ellimc3apf  14896  dvfvalap  14917  dvcj  14945  dvexp  14947  dvmptclx  14954  dvmptaddx  14955  dvmptmulx  14956