Theorem dmeqd 4983

Description: Equality deduction for domain. (Contributed by NM, 4-Mar-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
dmeqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dmeqd	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Proof of Theorem dmeqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmeqd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		dmeq 4981	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → dom 𝐴 = dom 𝐵)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  dom cdm 4774

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-dm 4784

This theorem is used by:  rneq  5009  dmsnsnsng  5265  elxp4  5275  f10d  5675  fndmin  5816  1stvalg  6376  fo1st  6391  f1stres  6393  errn  6829  xpassen  7128  xpdom2  7129  frecuzrdgtclt  10873  s1dmg  11409  swrdval  11436  swrd0g  11448  shftdm  11603  ennnfonelemg  13346  ennnfonelem1  13350  ennnfonelemhdmp1  13352  ennnfonelemkh  13355  ennnfonelemhf1o  13356  ennnfonelemex  13357  ennnfonelemhom  13358  isstruct2im  13414  isstruct2r  13415  setsvalg  13434  bassetsnn  13461  gzsumvalx  13762  cntzrcl  14153  prdsval  14264  cnprcl2k  15406  psmetdmdm  15524  xmetdmdm  15556  blfvalps  15585  limccl  15859  ellimc3apf  15860  dvfvalap  15881  dvcj  15909  dvexp  15911  dvmptclx  15918  dvmptaddx  15919  dvmptmulx  15920  isuhgrm  16491  isushgrm  16492  uhgreq12g  16496  isuhgropm  16501  uhgrun  16506  isupgren  16515  upgrop  16524  isumgren  16525  upgr1edc  16541  umgr1een  16545  upgrun  16546  umgrun  16548  isuspgren  16577  isusgren  16578  isuspgropen  16584  isusgropen  16585  ausgrusgrben  16588  usgrstrrepeen  16651  uspgr1edc  16660  issubgr  16677  uhgrspansubgrlem  16696  vtxdgfval  16708  vtxdgop  16712  vtxdgfi0e  16715  vtxdeqd  16716  vtxdfifiun  16717  1loopgrvd2fi  16725  1loopgrvd0fi  16726  1hevtxdg0fi  16727  1hevtxdg1en  16728  1hegrvtxdg1fi  16729  p1evtxdeqfilem  16731  wksfval  16742  wlkres  16799  eupthsg  16865  eupthres  16877  trlsegvdeglem4  16883  trlsegvdeglem5  16884