Theorem dmeqd 4933

Description: Equality deduction for domain. (Contributed by NM, 4-Mar-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
dmeqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dmeqd	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Proof of Theorem dmeqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmeqd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		dmeq 4931	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → dom 𝐴 = dom 𝐵)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397  dom cdm 4725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-dm 4735

This theorem is referenced by:  rneq  4959  dmsnsnsng  5214  elxp4  5224  f10d  5620  fndmin  5755  1stvalg  6308  fo1st  6323  f1stres  6325  errn  6727  xpassen  7017  xpdom2  7018  frecuzrdgtclt  10687  s1dmg  11209  swrdval  11236  swrd0g  11248  shftdm  11403  ennnfonelemg  13045  ennnfonelem1  13049  ennnfonelemhdmp1  13051  ennnfonelemkh  13054  ennnfonelemhf1o  13055  ennnfonelemex  13056  ennnfonelemhom  13057  isstruct2im  13113  isstruct2r  13114  setsvalg  13133  bassetsnn  13160  prdsval  13377  igsumvalx  13493  cnprcl2k  14957  psmetdmdm  15075  xmetdmdm  15107  blfvalps  15136  limccl  15410  ellimc3apf  15411  dvfvalap  15432  dvcj  15460  dvexp  15462  dvmptclx  15469  dvmptaddx  15470  dvmptmulx  15471  isuhgrm  15949  isushgrm  15950  uhgreq12g  15954  isuhgropm  15959  uhgrun  15964  isupgren  15973  upgrop  15982  isumgren  15983  upgr1edc  15999  umgr1een  16003  upgrun  16004  umgrun  16006  isuspgren  16035  isusgren  16036  isuspgropen  16042  isusgropen  16043  ausgrusgrben  16046  usgrstrrepeen  16109  uspgr1edc  16118  issubgr  16135  uhgrspansubgrlem  16154  vtxdgfval  16166  vtxdgop  16170  vtxdgfi0e  16173  vtxdeqd  16174  vtxdfifiun  16175  1loopgrvd2fi  16183  1loopgrvd0fi  16184  1hevtxdg0fi  16185  1hevtxdg1en  16186  1hegrvtxdg1fi  16187  p1evtxdeqfilem  16189  wksfval  16200  wlkres  16257  eupthsg  16323  eupthres  16335  trlsegvdeglem4  16341  trlsegvdeglem5  16342