Theorem dmeqd 4749

Description: Equality deduction for domain. (Contributed by NM, 4-Mar-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
dmeqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dmeqd	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Proof of Theorem dmeqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmeqd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		dmeq 4747	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → dom 𝐴 = dom 𝐵)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1332  dom cdm 4547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-dm 4557

This theorem is referenced by:  rneq  4774  dmsnsnsng  5024  elxp4  5034  fndmin  5535  1stvalg  6048  fo1st  6063  f1stres  6065  errn  6459  xpassen  6732  xpdom2  6733  frecuzrdgtclt  10225  shftdm  10626  ennnfonelemg  11952  ennnfonelem1  11956  ennnfonelemhdmp1  11958  ennnfonelemkh  11961  ennnfonelemhf1o  11962  ennnfonelemex  11963  ennnfonelemhom  11964  isstruct2im  12008  isstruct2r  12009  setsvalg  12028  cnprcl2k  12414  psmetdmdm  12532  xmetdmdm  12564  blfvalps  12593  limccl  12836  ellimc3apf  12837  dvfvalap  12858  dvcj  12881  dvexp  12883  dvmptclx  12888  dvmptaddx  12889  dvmptmulx  12890