Theorem dmeqd 4983

Description: Equality deduction for domain. (Contributed by NM, 4-Mar-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
dmeqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dmeqd	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Proof of Theorem dmeqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmeqd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		dmeq 4981	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → dom 𝐴 = dom 𝐵)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  dom cdm 4774

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-dm 4784

This theorem is used by:  rneq  5009  dmsnsnsng  5265  elxp4  5275  f10d  5675  fndmin  5816  1stvalg  6376  fo1st  6391  f1stres  6393  errn  6829  xpassen  7128  xpdom2  7129  frecuzrdgtclt  10873  s1dmg  11409  swrdval  11436  swrd0g  11448  shftdm  11603  ennnfonelemg  13346  ennnfonelem1  13350  ennnfonelemhdmp1  13352  ennnfonelemkh  13355  ennnfonelemhf1o  13356  ennnfonelemex  13357  ennnfonelemhom  13358  isstruct2im  13414  isstruct2r  13415  setsvalg  13434  bassetsnn  13461  gzsumvalx  13762  cntzrcl  14153  prdsval  14257  cnprcl2k  15398  psmetdmdm  15516  xmetdmdm  15548  blfvalps  15577  limccl  15851  ellimc3apf  15852  dvfvalap  15873  dvcj  15901  dvexp  15903  dvmptclx  15910  dvmptaddx  15911  dvmptmulx  15912  isuhgrm  16478  isushgrm  16479  uhgreq12g  16483  isuhgropm  16488  uhgrun  16493  isupgren  16502  upgrop  16511  isumgren  16512  upgr1edc  16528  umgr1een  16532  upgrun  16533  umgrun  16535  isuspgren  16564  isusgren  16565  isuspgropen  16571  isusgropen  16572  ausgrusgrben  16575  usgrstrrepeen  16638  uspgr1edc  16647  issubgr  16664  uhgrspansubgrlem  16683  vtxdgfval  16695  vtxdgop  16699  vtxdgfi0e  16702  vtxdeqd  16703  vtxdfifiun  16704  1loopgrvd2fi  16712  1loopgrvd0fi  16713  1hevtxdg0fi  16714  1hevtxdg1en  16715  1hegrvtxdg1fi  16716  p1evtxdeqfilem  16718  wksfval  16729  wlkres  16786  eupthsg  16852  eupthres  16864  trlsegvdeglem4  16870  trlsegvdeglem5  16871