Theorem dmeqd 4939

Description: Equality deduction for domain. (Contributed by NM, 4-Mar-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
dmeqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dmeqd	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Proof of Theorem dmeqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmeqd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		dmeq 4937	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → dom 𝐴 = dom 𝐵)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398  dom cdm 4731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-dm 4741

This theorem is referenced by:  rneq  4965  dmsnsnsng  5221  elxp4  5231  f10d  5628  fndmin  5763  1stvalg  6314  fo1st  6329  f1stres  6331  errn  6767  xpassen  7057  xpdom2  7058  frecuzrdgtclt  10746  s1dmg  11268  swrdval  11295  swrd0g  11307  shftdm  11462  ennnfonelemg  13104  ennnfonelem1  13108  ennnfonelemhdmp1  13110  ennnfonelemkh  13113  ennnfonelemhf1o  13114  ennnfonelemex  13115  ennnfonelemhom  13116  isstruct2im  13172  isstruct2r  13173  setsvalg  13192  bassetsnn  13219  prdsval  13436  igsumvalx  13552  cnprcl2k  15017  psmetdmdm  15135  xmetdmdm  15167  blfvalps  15196  limccl  15470  ellimc3apf  15471  dvfvalap  15492  dvcj  15520  dvexp  15522  dvmptclx  15529  dvmptaddx  15530  dvmptmulx  15531  isuhgrm  16012  isushgrm  16013  uhgreq12g  16017  isuhgropm  16022  uhgrun  16027  isupgren  16036  upgrop  16045  isumgren  16046  upgr1edc  16062  umgr1een  16066  upgrun  16067  umgrun  16069  isuspgren  16098  isusgren  16099  isuspgropen  16105  isusgropen  16106  ausgrusgrben  16109  usgrstrrepeen  16172  uspgr1edc  16181  issubgr  16198  uhgrspansubgrlem  16217  vtxdgfval  16229  vtxdgop  16233  vtxdgfi0e  16236  vtxdeqd  16237  vtxdfifiun  16238  1loopgrvd2fi  16246  1loopgrvd0fi  16247  1hevtxdg0fi  16248  1hevtxdg1en  16249  1hegrvtxdg1fi  16250  p1evtxdeqfilem  16252  wksfval  16263  wlkres  16320  eupthsg  16386  eupthres  16398  trlsegvdeglem4  16404  trlsegvdeglem5  16405