Theorem s1leng 11406

Description: Length of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1leng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1)

Proof of Theorem s1leng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1val 11399	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩})
2	1	fveq2d 5699	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘{⟨0, 𝐴⟩}))
3		0nn0 9582	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		opexg 4368	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ⟨0, 𝐴⟩ ∈ V)
5	3, 4	mpan 428	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ⟨0, 𝐴⟩ ∈ V)
6		hashsng 11251	. . 3 ⊢ (⟨0, 𝐴⟩ ∈ V → (♯‘{⟨0, 𝐴⟩}) = 1)
7	5, 6	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{⟨0, 𝐴⟩}) = 1)
8	2, 7	eqtrd 2271	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  {csn 3709  ⟨cop 3712  ‘cfv 5377  0cc0 8179  1c1 8180  ℕ₀cn0 9567  ♯chash 11228  ⟨“cs1 11397

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-inn 9307  df-n0 9568  df-z 9649  df-uz 9931  df-fz 10422  df-ihash 11229  df-s1 11398

This theorem is used by:  lsws1  11409  eqs1  11410  wrdl1s1  11412  ccatws1leng  11416  ccats1val2  11422  cats1un  11507  cats1fvn  11550  cats1fvnd  11551  cats1lend  11553  s2fv0g  11573  s2fv1g  11574  s2leng  11575  loopclwwlkn1b  16758  clwwlkn1loopb  16759  konigsberglem1  16827