Theorem metn0 14894

Description: A metric space is nonempty iff its base set is nonempty. (Contributed by NM, 4-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metn0	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ≠ ∅ ↔ 𝑋 ≠ ∅))

Proof of Theorem metn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 14867	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2		frel 5436	. . . . 5 ⊢ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ → Rel 𝐷)
3		reldm0 4901	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐷 → (𝐷 = ∅ ↔ dom 𝐷 = ∅))
4	1, 2, 3	3syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 = ∅ ↔ dom 𝐷 = ∅))
5	1	fdmd 5438	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
6	5	eqeq1d 2215	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (dom 𝐷 = ∅ ↔ (𝑋 × 𝑋) = ∅))
7	4, 6	bitrd 188	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 = ∅ ↔ (𝑋 × 𝑋) = ∅))
8		sqxpeq0 5111	. . 3 ⊢ ((𝑋 × 𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = ∅)
9	7, 8	bitrdi 196	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 = ∅ ↔ 𝑋 = ∅))
10	9	necon3bid 2418	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ≠ ∅ ↔ 𝑋 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377  ∅c0 3461   × cxp 4677  dom cdm 4679  Rel wrel 4684  ⟶wf 5272  ‘cfv 5276  ℝcr 7931  Metcmet 14343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-fv 5284  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-map 6744  df-met 14351

This theorem is referenced by: (None)