Theorem dmeq 4937

Description: Equality theorem for domain. (Contributed by NM, 11-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmeq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Proof of Theorem dmeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmss 4936	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵)
2		dmss 4936	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → dom 𝐵 ⊆ dom 𝐴)
3	1, 2	anim12i 338	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵 ∧ dom 𝐵 ⊆ dom 𝐴))
4		eqss 3243	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
5		eqss 3243	. 2 ⊢ (dom 𝐴 = dom 𝐵 ↔ (dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵 ∧ dom 𝐵 ⊆ dom 𝐴))
6	3, 4, 5	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ⊆ wss 3201  dom cdm 4731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-dm 4741

This theorem is referenced by:  dmeqi  4938  dmeqd  4939  xpid11  4961  sqxpeq0  5167  fneq1  5425  eqfnfv2  5754  funopdmsn  5842  offval  6252  ofrfval  6253  offval3  6305  suppval  6415  smoeq  6499  tfrlemi14d  6542  tfr1onlemres  6558  tfrcllemres  6571  rdgivallem  6590  rdgon  6595  rdg0  6596  frec0g  6606  freccllem  6611  frecfcllem  6613  frecsuclem  6615  frecsuc  6616  ereq1  6752  fundmeng  7025  acfun  7465  ccfunen  7526  fundm2domnop0  11156  ennnfonelemj0  13083  ennnfonelemg  13085  ennnfonelemp1  13088  ennnfonelemom  13090  ennnfonelemnn0  13104  ptex  13408  prdsex  13413  blfvalps  15176  reldvg  15470  uhgr0e  16003  incistruhgr  16011  ausgrusgrien  16092  egrsubgr  16184  vtxdgfval  16209  gfsumval  16789