Theorem dmeq 4979

Description: Equality theorem for domain. (Contributed by NM, 11-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmeq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Proof of Theorem dmeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmss 4978	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵)
2		dmss 4978	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → dom 𝐵 ⊆ dom 𝐴)
3	1, 2	anim12i 338	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵 ∧ dom 𝐵 ⊆ dom 𝐴))
4		eqss 3263	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
5		eqss 3263	. 2 ⊢ (dom 𝐴 = dom 𝐵 ↔ (dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵 ∧ dom 𝐵 ⊆ dom 𝐴))
6	3, 4, 5	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ⊆ wss 3220  dom cdm 4772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-br 4129  df-dm 4782

This theorem is referenced by:  dmeqi  4980  dmeqd  4981  xpid11  5003  sqxpeq0  5209  fneq1  5467  eqfnfv2  5801  funopdmsn  5889  offval  6304  ofrfval  6305  offval3  6361  suppval  6471  smoeq  6555  tfrlemi14d  6598  tfr1onlemres  6614  tfrcllemres  6627  rdgivallem  6646  rdgon  6651  rdg0  6652  frec0g  6662  freccllem  6667  frecfcllem  6669  frecsuclem  6671  frecsuc  6672  ereq1  6808  fundmeng  7089  acfun  7557  ccfunen  7624  fundm2domnop0  11283  ennnfonelemj0  13275  ennnfonelemg  13277  ennnfonelemp1  13280  ennnfonelemom  13282  ennnfonelemnn0  13296  ptex  13601  gsumvalfi  14135  prdsex  14155  blfvalps  15469  reldvg  15763  uhgr0e  16306  incistruhgr  16314  ausgrusgrien  16395  egrsubgr  16487  vtxdgfval  16512