ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmeq GIF version

Theorem dmeq 4746
Description: Equality theorem for domain. (Contributed by NM, 11-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
dmeq (𝐴 = 𝐵 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Proof of Theorem dmeq
StepHypRef Expression
1 dmss 4745 . . 3 (𝐴𝐵 → dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵)
2 dmss 4745 . . 3 (𝐵𝐴 → dom 𝐵 ⊆ dom 𝐴)
31, 2anim12i 336 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → (dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵 ∧ dom 𝐵 ⊆ dom 𝐴))
4 eqss 3116 . 2 (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴))
5 eqss 3116 . 2 (dom 𝐴 = dom 𝐵 ↔ (dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵 ∧ dom 𝐵 ⊆ dom 𝐴))
63, 4, 53imtr4i 200 1 (𝐴 = 𝐵 → dom 𝐴 = dom 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1332  wss 3075  dom cdm 4546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-br 3937  df-dm 4556
This theorem is referenced by:  dmeqi  4747  dmeqd  4748  xpid11  4769  sqxpeq0  4969  fneq1  5218  eqfnfv2  5526  offval  5996  ofrfval  5997  offval3  6039  smoeq  6194  tfrlemi14d  6237  tfr1onlemres  6253  tfrcllemres  6266  rdgivallem  6285  rdgon  6290  rdg0  6291  frec0g  6301  freccllem  6306  frecfcllem  6308  frecsuclem  6310  frecsuc  6311  ereq1  6443  fundmeng  6708  acfun  7079  ccfunen  7095  ennnfonelemj0  11948  ennnfonelemg  11950  ennnfonelemp1  11953  ennnfonelemom  11955  ennnfonelemnn0  11969  blfvalps  12591  reldvg  12854
  Copyright terms: Public domain W3C validator