Theorem dmeq 4926

Description: Equality theorem for domain. (Contributed by NM, 11-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmeq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Proof of Theorem dmeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmss 4925	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵)
2		dmss 4925	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → dom 𝐵 ⊆ dom 𝐴)
3	1, 2	anim12i 338	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵 ∧ dom 𝐵 ⊆ dom 𝐴))
4		eqss 3239	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
5		eqss 3239	. 2 ⊢ (dom 𝐴 = dom 𝐵 ↔ (dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵 ∧ dom 𝐵 ⊆ dom 𝐴))
6	3, 4, 5	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ⊆ wss 3197  dom cdm 4720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-dm 4730

This theorem is referenced by:  dmeqi  4927  dmeqd  4928  xpid11  4950  sqxpeq0  5155  fneq1  5412  eqfnfv2  5738  funopdmsn  5826  offval  6235  ofrfval  6236  offval3  6288  smoeq  6447  tfrlemi14d  6490  tfr1onlemres  6506  tfrcllemres  6519  rdgivallem  6538  rdgon  6543  rdg0  6544  frec0g  6554  freccllem  6559  frecfcllem  6561  frecsuclem  6563  frecsuc  6564  ereq1  6700  fundmeng  6973  acfun  7405  ccfunen  7466  fundm2domnop0  11085  ennnfonelemj0  12993  ennnfonelemg  12995  ennnfonelemp1  12998  ennnfonelemom  13000  ennnfonelemnn0  13014  ptex  13318  prdsex  13323  blfvalps  15080  reldvg  15374  uhgr0e  15903  incistruhgr  15911  ausgrusgrien  15990  vtxdgfval  16074