Theorem dmeq 4920

Description: Equality theorem for domain. (Contributed by NM, 11-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmeq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Proof of Theorem dmeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmss 4919	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵)
2		dmss 4919	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → dom 𝐵 ⊆ dom 𝐴)
3	1, 2	anim12i 338	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵 ∧ dom 𝐵 ⊆ dom 𝐴))
4		eqss 3239	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
5		eqss 3239	. 2 ⊢ (dom 𝐴 = dom 𝐵 ↔ (dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵 ∧ dom 𝐵 ⊆ dom 𝐴))
6	3, 4, 5	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ⊆ wss 3197  dom cdm 4716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4083  df-dm 4726

This theorem is referenced by:  dmeqi  4921  dmeqd  4922  xpid11  4943  sqxpeq0  5148  fneq1  5405  eqfnfv2  5726  funopdmsn  5812  offval  6216  ofrfval  6217  offval3  6269  smoeq  6426  tfrlemi14d  6469  tfr1onlemres  6485  tfrcllemres  6498  rdgivallem  6517  rdgon  6522  rdg0  6523  frec0g  6533  freccllem  6538  frecfcllem  6540  frecsuclem  6542  frecsuc  6543  ereq1  6677  fundmeng  6950  acfun  7377  ccfunen  7438  fundm2domnop0  11054  ennnfonelemj0  12958  ennnfonelemg  12960  ennnfonelemp1  12963  ennnfonelemom  12965  ennnfonelemnn0  12979  ptex  13283  prdsex  13288  blfvalps  15044  reldvg  15338  uhgr0e  15867  incistruhgr  15875  ausgrusgrien  15954