Theorem dmeq 4983

Description: Equality theorem for domain. (Contributed by NM, 11-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmeq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Proof of Theorem dmeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmss 4982	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵)
2		dmss 4982	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → dom 𝐵 ⊆ dom 𝐴)
3	1, 2	anim12i 338	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵 ∧ dom 𝐵 ⊆ dom 𝐴))
4		eqss 3263	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
5		eqss 3263	. 2 ⊢ (dom 𝐴 = dom 𝐵 ↔ (dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵 ∧ dom 𝐵 ⊆ dom 𝐴))
6	3, 4, 5	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ⊆ wss 3220  dom cdm 4776

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-dm 4786

This theorem is used by:  dmeqi  4984  dmeqd  4985  xpid11  5007  sqxpeq0  5214  fneq1  5472  eqfnfv2  5810  funopdmsn  5898  ofovex  6311  offval  6314  ofrfval  6315  offval3  6371  suppval  6481  smoeq  6565  tfrlemi14d  6608  tfr1onlemres  6624  tfrcllemres  6637  rdgivallem  6656  rdgon  6661  rdg0  6662  frec0g  6672  freccllem  6677  frecfcllem  6679  frecsuclem  6681  frecsuc  6682  ereq1  6818  fundmeng  7100  acfun  7570  ccfunen  7637  fundm2domnop0  11323  ennnfonelemj0  13351  ennnfonelemg  13353  ennnfonelemp1  13356  ennnfonelemom  13358  ennnfonelemnn0  13372  ptex  13678  gsumvalfi  14243  prdsex  14280  blfvalps  15623  reldvg  15917  uhgr0e  16540  incistruhgr  16548  ausgrusgrien  16629  egrsubgr  16721  vtxdgfval  16746