Theorem dmeq 4931

Description: Equality theorem for domain. (Contributed by NM, 11-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmeq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Proof of Theorem dmeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmss 4930	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵)
2		dmss 4930	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → dom 𝐵 ⊆ dom 𝐴)
3	1, 2	anim12i 338	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵 ∧ dom 𝐵 ⊆ dom 𝐴))
4		eqss 3242	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
5		eqss 3242	. 2 ⊢ (dom 𝐴 = dom 𝐵 ↔ (dom 𝐴 ⊆ dom 𝐵 ∧ dom 𝐵 ⊆ dom 𝐴))
6	3, 4, 5	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → dom 𝐴 = dom 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ⊆ wss 3200  dom cdm 4725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-dm 4735

This theorem is referenced by:  dmeqi  4932  dmeqd  4933  xpid11  4955  sqxpeq0  5160  fneq1  5418  eqfnfv2  5745  funopdmsn  5834  offval  6243  ofrfval  6244  offval3  6296  smoeq  6456  tfrlemi14d  6499  tfr1onlemres  6515  tfrcllemres  6528  rdgivallem  6547  rdgon  6552  rdg0  6553  frec0g  6563  freccllem  6568  frecfcllem  6570  frecsuclem  6572  frecsuc  6573  ereq1  6709  fundmeng  6982  acfun  7422  ccfunen  7483  fundm2domnop0  11113  ennnfonelemj0  13027  ennnfonelemg  13029  ennnfonelemp1  13032  ennnfonelemom  13034  ennnfonelemnn0  13048  ptex  13352  prdsex  13357  blfvalps  15115  reldvg  15409  uhgr0e  15939  incistruhgr  15947  ausgrusgrien  16028  egrsubgr  16120  vtxdgfval  16145  gfsumval  16706