Theorem sucpw1nss3 7362

Description: Negated excluded middle implies that the successor of the power set of 1_o is not a subset of 3_o. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 31-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sucpw1nss3	⊢ (¬ EXMID → ¬ suc 𝒫 1o ⊆ 3o)

Proof of Theorem sucpw1nss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw1nel3 7358	. 2 ⊢ (¬ EXMID → ¬ 𝒫 1o ∈ 3o)
2		pw1on 7353	. . 3 ⊢ 𝒫 1o ∈ On
3		sucssel 4478	. . 3 ⊢ (𝒫 1o ∈ On → (suc 𝒫 1o ⊆ 3o → 𝒫 1o ∈ 3o))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (suc 𝒫 1o ⊆ 3o → 𝒫 1o ∈ 3o)
5	1, 4	nsyl 629	1 ⊢ (¬ EXMID → ¬ suc 𝒫 1o ⊆ 3o)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2177   ⊆ wss 3170  𝒫 cpw 3620  EXMIDwem 4245  Oncon0 4417  suc csuc 4419  1_oc1o 6507  3_oc3o 6509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-nul 4177  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-uni 3856  df-tr 4150  df-exmid 4246  df-iord 4420  df-on 4422  df-suc 4425  df-1o 6514  df-2o 6515  df-3o 6516

This theorem is referenced by:  onntri45  7368