Theorem sucpw1nss3 7297

Description: Negated excluded middle implies that the successor of the power set of 1_o is not a subset of 3_o. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 31-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sucpw1nss3	⊢ (¬ EXMID → ¬ suc 𝒫 1o ⊆ 3o)

Proof of Theorem sucpw1nss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw1nel3 7293	. 2 ⊢ (¬ EXMID → ¬ 𝒫 1o ∈ 3o)
2		pw1on 7288	. . 3 ⊢ 𝒫 1o ∈ On
3		sucssel 4456	. . 3 ⊢ (𝒫 1o ∈ On → (suc 𝒫 1o ⊆ 3o → 𝒫 1o ∈ 3o))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (suc 𝒫 1o ⊆ 3o → 𝒫 1o ∈ 3o)
5	1, 4	nsyl 629	1 ⊢ (¬ EXMID → ¬ suc 𝒫 1o ⊆ 3o)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3154  𝒫 cpw 3602  EXMIDwem 4224  Oncon0 4395  suc csuc 4397  1_oc1o 6464  3_oc3o 6466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-uni 3837  df-tr 4129  df-exmid 4225  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-1o 6471  df-2o 6472  df-3o 6473

This theorem is referenced by:  onntri45  7303