Theorem times2 9271

Description: A number times 2. (Contributed by NM, 16-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
times2	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 2) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem times2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 9213	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		mulcom 8160	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝐴 · 2) = (2 · 𝐴))
3	1, 2	mpan2 425	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 2) = (2 · 𝐴))
4		2times 9270	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
5	3, 4	eqtrd 2264	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 2) = (𝐴 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6017  ℂcc 8029   + caddc 8034   · cmul 8036  2c2 9193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulcom 8132  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-1rid 8138  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6020  df-2 9201

This theorem is referenced by:  times2i  9273  avglt1  9382  times2d  9387