ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnrest GIF version

Theorem cnrest 14212
Description: Continuity of a restriction from a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnrest.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
cnrest ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))

Proof of Theorem cnrest
Dummy variable 𝑜 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnrest.1 . . . . 5 𝑋 = 𝐽
2 eqid 2189 . . . . 5 𝐾 = 𝐾
31, 2cnf 14181 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋 𝐾)
43adantr 276 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐹:𝑋 𝐾)
5 simpr 110 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴𝑋)
64, 5fssresd 5411 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹𝐴):𝐴 𝐾)
7 cnvresima 5136 . . . 4 ((𝐹𝐴) “ 𝑜) = ((𝐹𝑜) ∩ 𝐴)
8 cntop1 14178 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
98adantr 276 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
109adantr 276 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑜𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
111topopn 13985 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
12 ssexg 4157 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑋𝑋𝐽) → 𝐴 ∈ V)
1312ancoms 268 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐽𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ V)
1411, 13sylan 283 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ V)
158, 14sylan 283 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ V)
1615adantr 276 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑜𝐾) → 𝐴 ∈ V)
17 cnima 14197 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑜𝐾) → (𝐹𝑜) ∈ 𝐽)
1817adantlr 477 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑜𝐾) → (𝐹𝑜) ∈ 𝐽)
19 elrestr 12755 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V ∧ (𝐹𝑜) ∈ 𝐽) → ((𝐹𝑜) ∩ 𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
2010, 16, 18, 19syl3anc 1249 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑜𝐾) → ((𝐹𝑜) ∩ 𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
217, 20eqeltrid 2276 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑜𝐾) → ((𝐹𝐴) “ 𝑜) ∈ (𝐽t 𝐴))
2221ralrimiva 2563 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → ∀𝑜𝐾 ((𝐹𝐴) “ 𝑜) ∈ (𝐽t 𝐴))
231toptopon 13995 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
248, 23sylib 122 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
25 resttopon 14148 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐽t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
2624, 25sylan 283 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐽t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
27 cntop2 14179 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
2827adantr 276 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐾 ∈ Top)
292toptopon 13995 . . . 4 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
3028, 29sylib 122 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
31 iscn 14174 . . 3 (((𝐽t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾)) → ((𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ ((𝐹𝐴):𝐴 𝐾 ∧ ∀𝑜𝐾 ((𝐹𝐴) “ 𝑜) ∈ (𝐽t 𝐴))))
3226, 30, 31syl2anc 411 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ ((𝐹𝐴):𝐴 𝐾 ∧ ∀𝑜𝐾 ((𝐹𝐴) “ 𝑜) ∈ (𝐽t 𝐴))))
336, 22, 32mpbir2and 946 1 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1364  wcel 2160  wral 2468  Vcvv 2752  cin 3143  wss 3144   cuni 3824  ccnv 4643  cres 4646  cima 4647  wf 5231  cfv 5235  (class class class)co 5897  t crest 12747  Topctop 13974  TopOnctopon 13987   Cn ccn 14162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-map 6677  df-rest 12749  df-topgen 12768  df-top 13975  df-topon 13988  df-bases 14020  df-cn 14165
This theorem is referenced by:  cnmpt1res  14273  cnmpt2res  14274  hmeores  14292
  Copyright terms: Public domain W3C validator