ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnrest GIF version
Theorem cnrest 13738
Description: Continuity of a restriction from a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnrest.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
Assertion
Ref Expression
cnrest ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾))
Proof of Theorem cnrest
Dummy variable π‘œ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnrest.1 . . . . 5 𝑋 = βˆͺ 𝐽
2 eqid 2177 . . . . 5 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
31, 2cnf 13707 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβˆͺ 𝐾)
43adantr 276 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβˆͺ 𝐾)
5 simpr 110 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
64, 5fssresd 5393 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴⟢βˆͺ 𝐾)
7 cnvresima 5119 . . . 4 (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ π‘œ) = ((◑𝐹 β€œ π‘œ) ∩ 𝐴)
8 cntop1 13704 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐽 ∈ Top)
98adantr 276 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ Top)
109adantr 276 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ π‘œ ∈ 𝐾) β†’ 𝐽 ∈ Top)
111topopn 13511 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
12 ssexg 4143 . . . . . . . . 9 ((𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐽) β†’ 𝐴 ∈ V)
1312ancoms 268 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ V)
1411, 13sylan 283 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ V)
158, 14sylan 283 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ V)
1615adantr 276 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ π‘œ ∈ 𝐾) β†’ 𝐴 ∈ V)
17 cnima 13723 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ π‘œ ∈ 𝐾) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘œ) ∈ 𝐽)
1817adantlr 477 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ π‘œ ∈ 𝐾) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘œ) ∈ 𝐽)
19 elrestr 12696 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V ∧ (◑𝐹 β€œ π‘œ) ∈ 𝐽) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘œ) ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
2010, 16, 18, 19syl3anc 1238 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ π‘œ ∈ 𝐾) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘œ) ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
217, 20eqeltrid 2264 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ π‘œ ∈ 𝐾) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ π‘œ) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
2221ralrimiva 2550 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ βˆ€π‘œ ∈ 𝐾 (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ π‘œ) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
231toptopon 13521 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
248, 23sylib 122 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
25 resttopon 13674 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
2624, 25sylan 283 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
27 cntop2 13705 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ Top)
2827adantr 276 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ Top)
292toptopon 13521 . . . 4 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
3028, 29sylib 122 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
31 iscn 13700 . . 3 (((𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴⟢βˆͺ 𝐾 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐾 (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ π‘œ) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))))
3226, 30, 31syl2anc 411 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴⟢βˆͺ 𝐾 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐾 (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ π‘œ) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))))
336, 22, 32mpbir2and 944 1 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  Vcvv 2738   ∩ cin 3129   βŠ† wss 3130  βˆͺ cuni 3810  β—‘ccnv 4626   β†Ύ cres 4629   β€œ cima 4630  βŸΆwf 5213  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875   β†Ύt crest 12688  Topctop 13500  TopOnctopon 13513   Cn ccn 13688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-map 6650  df-rest 12690  df-topgen 12709  df-top 13501  df-topon 13514  df-bases 13546  df-cn 13691
This theorem is referenced by:  cnmpt1res  13799  cnmpt2res  13800  hmeores  13818
  Copyright terms: Public domain W3C validator