Theorem cnrest 13402

Description: Continuity of a restriction from a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnrest.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cnrest	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))

Proof of Theorem cnrest

Dummy variable 𝑜 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnrest.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		eqid 2177	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	cnf 13371	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶∪ 𝐾)
4	3	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶∪ 𝐾)
5		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ⊆ 𝑋)
6	4, 5	fssresd 5388	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶∪ 𝐾)
7		cnvresima 5114	. . . 4 ⊢ (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ 𝑜) = ((◡𝐹 “ 𝑜) ∩ 𝐴)
8		cntop1 13368	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
9	8	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
10	9	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑜 ∈ 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
11	1	topopn 13173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
12		ssexg 4139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐽) → 𝐴 ∈ V)
13	12	ancoms 268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ∈ V)
14	11, 13	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ∈ V)
15	8, 14	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ∈ V)
16	15	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑜 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ V)
17		cnima 13387	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑜 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝑜) ∈ 𝐽)
18	17	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑜 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝑜) ∈ 𝐽)
19		elrestr 12644	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V ∧ (◡𝐹 “ 𝑜) ∈ 𝐽) → ((◡𝐹 “ 𝑜) ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
20	10, 16, 18, 19	syl3anc 1238	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑜 ∈ 𝐾) → ((◡𝐹 “ 𝑜) ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
21	7, 20	eqeltrid 2264	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑜 ∈ 𝐾) → (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ 𝑜) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
22	21	ralrimiva 2550	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ∀𝑜 ∈ 𝐾 (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ 𝑜) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
23	1	toptopon 13183	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
24	8, 23	sylib 122	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
25		resttopon 13338	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
26	24, 25	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
27		cntop2 13369	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
28	27	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐾 ∈ Top)
29	2	toptopon 13183	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
30	28, 29	sylib 122	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
31		iscn 13364	. . 3 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾)) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑜 ∈ 𝐾 (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ 𝑜) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))))
32	26, 30, 31	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑜 ∈ 𝐾 (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ 𝑜) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))))
33	6, 22, 32	mpbir2and 944	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  Vcvv 2737   ∩ cin 3128   ⊆ wss 3129  ∪ cuni 3807  ^◡ccnv 4622   ↾ cres 4625   “ cima 4626  ⟶wf 5208  ‘cfv 5212  (class class class)co 5869   ↾_t crest 12636  Topctop 13162  TopOnctopon 13175   Cn ccn 13352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-map 6644  df-rest 12638  df-topgen 12657  df-top 13163  df-topon 13176  df-bases 13208  df-cn 13355

This theorem is referenced by:  cnmpt1res  13463  cnmpt2res  13464  hmeores  13482