Theorem toponmax 14658

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 14648	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
2		topontop 14647	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
3		eqid 2207	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	3	topopn 14641	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
5	2, 4	syl 14	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
6	1, 5	eqeltrd 2284	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2178  ∪ cuni 3865  ‘cfv 5291  Topctop 14630  TopOnctopon 14643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4179  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-id 4359  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fv 5299  df-top 14631  df-topon 14644

This theorem is referenced by:  topgele  14662  eltpsg  14673  resttopon  14804  lmfval  14825  cnfval  14827  cnpfval  14828  iscn  14830  cnpval  14831  iscnp  14832  lmbrf  14848  cnconst2  14866  cnrest2  14869  cndis  14874  cnpdis  14875  lmfss  14877  lmres  14881  lmff  14882  tx1cn  14902  tx2cn  14903  txlm  14912  cnmpt2res  14930  mopnm  15081  isxms2  15085