Theorem isnei 15247

Description: The predicate "the class 𝑁 is a neighborhood of 𝑆". (Contributed by FL, 25-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
neifval.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
isnei	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))

Distinct variable groups:   𝑔,𝐽   𝑔,𝑁   𝑆,𝑔   𝑔,𝑋

Proof of Theorem isnei

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neifval.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	neival 15246	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((nei‘𝐽)‘𝑆) = {𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑣)})
3	2	eleq2d 2308	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝑁 ∈ {𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑣)}))
4		sseq2 3272	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑁 → (𝑔 ⊆ 𝑣 ↔ 𝑔 ⊆ 𝑁))
5	4	anbi2d 468	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑁 → ((𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑣) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)))
6	5	rexbidv 2551	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑁 → (∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑣) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)))
7	6	elrab 2982	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑣)} ↔ (𝑁 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)))
8	1	topopn 15111	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
9		elpw2g 4292	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐽 → (𝑁 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑁 ⊆ 𝑋))
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑁 ⊆ 𝑋))
11	10	anbi1d 469	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑁 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
12	7, 11	bitrid 192	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ {𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑣)} ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
13	12	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑁 ∈ {𝑣 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑣)} ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
14	3, 13	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  {crab 2532   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3688  ∪ cuni 3935  ‘cfv 5377  Topctop 15100  neicnei 15241

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-top 15101  df-nei 15242

This theorem is used by:  neiint  15248  isneip  15249  neii1  15250  neii2  15252  neiss  15253  neipsm  15257  opnneissb  15258  opnssneib  15259  ssnei2  15260  innei  15266  neitx  15371