Theorem djucomen 7299

Description: Commutative law for cardinal addition. Exercise 4.56(c) of [Mendelson] p. 258. (Contributed by NM, 24-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
djucomen	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝐵 ⊔ 𝐴))

Proof of Theorem djucomen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 6491	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
2		xpsnen2g 6897	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴)
3	1, 2	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴)
4		0ex 4161	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
5		xpsnen2g 6897	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
6	4, 5	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
7		ensym 6849	. . . 4 ⊢ (({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ ({1o} × 𝐴))
8		ensym 6849	. . . 4 ⊢ (({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵))
9		incom 3356	. . . . . 6 ⊢ (({1o} × 𝐴) ∩ ({∅} × 𝐵)) = (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐴))
10		xp01disjl 6501	. . . . . 6 ⊢ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐴)) = ∅
11	9, 10	eqtri 2217	. . . . 5 ⊢ (({1o} × 𝐴) ∩ ({∅} × 𝐵)) = ∅
12		djuenun 7295	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ ({1o} × 𝐴) ∧ 𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵) ∧ (({1o} × 𝐴) ∩ ({∅} × 𝐵)) = ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (({1o} × 𝐴) ∪ ({∅} × 𝐵)))
13	11, 12	mp3an3 1337	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ ({1o} × 𝐴) ∧ 𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵)) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (({1o} × 𝐴) ∪ ({∅} × 𝐵)))
14	7, 8, 13	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (({1o} × 𝐴) ∪ ({∅} × 𝐵)))
15	3, 6, 14	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (({1o} × 𝐴) ∪ ({∅} × 𝐵)))
16		df-dju 7113	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊔ 𝐴) = (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐴))
17	16	equncomi 3310	. 2 ⊢ (𝐵 ⊔ 𝐴) = (({1o} × 𝐴) ∪ ({∅} × 𝐵))
18	15, 17	breqtrrdi 4076	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (𝐵 ⊔ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ∪ cun 3155   ∩ cin 3156  ∅c0 3451  {csn 3623   class class class wbr 4034   × cxp 4662  1_oc1o 6476   ≈ cen 6806   ⊔ cdju 7112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-1o 6483  df-er 6601  df-en 6809  df-dju 7113  df-inl 7122  df-inr 7123

This theorem is referenced by: (None)