Theorem djuassen 7147

Description: Associative law for cardinal addition. Exercise 4.56(c) of [Mendelson] p. 258. (Contributed by NM, 26-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
djuassen	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴 ⊔ 𝐵) ⊔ 𝐶) ≈ (𝐴 ⊔ (𝐵 ⊔ 𝐶)))

Proof of Theorem djuassen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4091	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
2		simp1 982	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		xpsnen2g 6771	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
4	1, 2, 3	sylancr 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
5	4	ensymd 6725	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐴 ≈ ({∅} × 𝐴))
6		1oex 6368	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ V
7	1	snex 4146	. . . . . . . 8 ⊢ {∅} ∈ V
8		simp2 983	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑊)
9		xpexg 4699	. . . . . . . 8 ⊢ (({∅} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({∅} × 𝐵) ∈ V)
10	7, 8, 9	sylancr 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({∅} × 𝐵) ∈ V)
11		xpsnen2g 6771	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ∈ V ∧ ({∅} × 𝐵) ∈ V) → ({1o} × ({∅} × 𝐵)) ≈ ({∅} × 𝐵))
12	6, 10, 11	sylancr 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({1o} × ({∅} × 𝐵)) ≈ ({∅} × 𝐵))
13		xpsnen2g 6771	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
14	1, 8, 13	sylancr 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
15		entr 6726	. . . . . 6 ⊢ ((({1o} × ({∅} × 𝐵)) ≈ ({∅} × 𝐵) ∧ ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵) → ({1o} × ({∅} × 𝐵)) ≈ 𝐵)
16	12, 14, 15	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({1o} × ({∅} × 𝐵)) ≈ 𝐵)
17	16	ensymd 6725	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐵 ≈ ({1o} × ({∅} × 𝐵)))
18		xp01disjl 6378	. . . . 5 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × ({∅} × 𝐵))) = ∅
19	18	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × ({∅} × 𝐵))) = ∅)
20		djuenun 7142	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ ({∅} × 𝐴) ∧ 𝐵 ≈ ({1o} × ({∅} × 𝐵)) ∧ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × ({∅} × 𝐵))) = ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × ({∅} × 𝐵))))
21	5, 17, 19, 20	syl3anc 1220	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × ({∅} × 𝐵))))
22	6	snex 4146	. . . . . . 7 ⊢ {1o} ∈ V
23		simp3 984	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ 𝑋)
24		xpexg 4699	. . . . . . 7 ⊢ (({1o} ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({1o} × 𝐶) ∈ V)
25	22, 23, 24	sylancr 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({1o} × 𝐶) ∈ V)
26		xpsnen2g 6771	. . . . . 6 ⊢ ((1o ∈ V ∧ ({1o} × 𝐶) ∈ V) → ({1o} × ({1o} × 𝐶)) ≈ ({1o} × 𝐶))
27	6, 25, 26	sylancr 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({1o} × ({1o} × 𝐶)) ≈ ({1o} × 𝐶))
28		xpsnen2g 6771	. . . . . 6 ⊢ ((1o ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
29	6, 23, 28	sylancr 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
30		entr 6726	. . . . 5 ⊢ ((({1o} × ({1o} × 𝐶)) ≈ ({1o} × 𝐶) ∧ ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶) → ({1o} × ({1o} × 𝐶)) ≈ 𝐶)
31	27, 29, 30	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({1o} × ({1o} × 𝐶)) ≈ 𝐶)
32	31	ensymd 6725	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐶 ≈ ({1o} × ({1o} × 𝐶)))
33		indir 3356	. . . . 5 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × ({∅} × 𝐵))) ∩ ({1o} × ({1o} × 𝐶))) = ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × ({1o} × 𝐶))) ∪ (({1o} × ({∅} × 𝐵)) ∩ ({1o} × ({1o} × 𝐶))))
34		xp01disjl 6378	. . . . . . 7 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × ({1o} × 𝐶))) = ∅
35		xp01disjl 6378	. . . . . . . . 9 ⊢ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅
36	35	xpeq2i 4606	. . . . . . . 8 ⊢ ({1o} × (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶))) = ({1o} × ∅)
37		xpindi 4720	. . . . . . . 8 ⊢ ({1o} × (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶))) = (({1o} × ({∅} × 𝐵)) ∩ ({1o} × ({1o} × 𝐶)))
38		xp0 5004	. . . . . . . 8 ⊢ ({1o} × ∅) = ∅
39	36, 37, 38	3eqtr3i 2186	. . . . . . 7 ⊢ (({1o} × ({∅} × 𝐵)) ∩ ({1o} × ({1o} × 𝐶))) = ∅
40	34, 39	uneq12i 3259	. . . . . 6 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × ({1o} × 𝐶))) ∪ (({1o} × ({∅} × 𝐵)) ∩ ({1o} × ({1o} × 𝐶)))) = (∅ ∪ ∅)
41		un0 3427	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∪ ∅) = ∅
42	40, 41	eqtri 2178	. . . . 5 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × ({1o} × 𝐶))) ∪ (({1o} × ({∅} × 𝐵)) ∩ ({1o} × ({1o} × 𝐶)))) = ∅
43	33, 42	eqtri 2178	. . . 4 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × ({∅} × 𝐵))) ∩ ({1o} × ({1o} × 𝐶))) = ∅
44	43	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × ({∅} × 𝐵))) ∩ ({1o} × ({1o} × 𝐶))) = ∅)
45		djuenun 7142	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × ({∅} × 𝐵))) ∧ 𝐶 ≈ ({1o} × ({1o} × 𝐶)) ∧ ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × ({∅} × 𝐵))) ∩ ({1o} × ({1o} × 𝐶))) = ∅) → ((𝐴 ⊔ 𝐵) ⊔ 𝐶) ≈ ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × ({∅} × 𝐵))) ∪ ({1o} × ({1o} × 𝐶))))
46	21, 32, 44, 45	syl3anc 1220	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴 ⊔ 𝐵) ⊔ 𝐶) ≈ ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × ({∅} × 𝐵))) ∪ ({1o} × ({1o} × 𝐶))))
47		df-dju 6977	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊔ 𝐶) = (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))
48	47	xpeq2i 4606	. . . . 5 ⊢ ({1o} × (𝐵 ⊔ 𝐶)) = ({1o} × (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶)))
49		xpundi 4641	. . . . 5 ⊢ ({1o} × (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))) = (({1o} × ({∅} × 𝐵)) ∪ ({1o} × ({1o} × 𝐶)))
50	48, 49	eqtri 2178	. . . 4 ⊢ ({1o} × (𝐵 ⊔ 𝐶)) = (({1o} × ({∅} × 𝐵)) ∪ ({1o} × ({1o} × 𝐶)))
51	50	uneq2i 3258	. . 3 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × (𝐵 ⊔ 𝐶))) = (({∅} × 𝐴) ∪ (({1o} × ({∅} × 𝐵)) ∪ ({1o} × ({1o} × 𝐶))))
52		df-dju 6977	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊔ (𝐵 ⊔ 𝐶)) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × (𝐵 ⊔ 𝐶)))
53		unass 3264	. . 3 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × ({∅} × 𝐵))) ∪ ({1o} × ({1o} × 𝐶))) = (({∅} × 𝐴) ∪ (({1o} × ({∅} × 𝐵)) ∪ ({1o} × ({1o} × 𝐶))))
54	51, 52, 53	3eqtr4i 2188	. 2 ⊢ (𝐴 ⊔ (𝐵 ⊔ 𝐶)) = ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × ({∅} × 𝐵))) ∪ ({1o} × ({1o} × 𝐶)))
55	46, 54	breqtrrdi 4006	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴 ⊔ 𝐵) ⊔ 𝐶) ≈ (𝐴 ⊔ (𝐵 ⊔ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 963   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  Vcvv 2712   ∪ cun 3100   ∩ cin 3101  ∅c0 3394  {csn 3560   class class class wbr 3965   × cxp 4583  1_oc1o 6353   ≈ cen 6680   ⊔ cdju 6976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-1o 6360  df-er 6477  df-en 6683  df-dju 6977  df-inl 6986  df-inr 6987

This theorem is referenced by: (None)