Theorem xpdjuen 7580

Description: Cardinal multiplication distributes over cardinal addition. Theorem 6I(3) of [Enderton] p. 142. (Contributed by NM, 26-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpdjuen	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 × (𝐵 ⊔ 𝐶)) ≈ ((𝐴 × 𝐵) ⊔ (𝐴 × 𝐶)))

Proof of Theorem xpdjuen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 7054	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ 𝐴)
2	1	3ad2ant1 1049	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐴 ≈ 𝐴)
3		0ex 4262	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
4		simp2 1029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑊)
5		xpsnen2g 7131	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
6	3, 4, 5	sylancr 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
7	6	ensymd 7074	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵))
8		xpen 7149	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 × ({∅} × 𝐵)))
9	2, 7, 8	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 × ({∅} × 𝐵)))
10		1on 6698	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
11		simp3 1030	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ 𝑋)
12		xpsnen2g 7131	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
13	10, 11, 12	sylancr 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
14	13	ensymd 7074	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐶 ≈ ({1o} × 𝐶))
15		xpen 7149	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≈ ({1o} × 𝐶)) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐴 × ({1o} × 𝐶)))
16	2, 14, 15	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐴 × ({1o} × 𝐶)))
17		xp01disjl 6711	. . . . . . 7 ⊢ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅
18	17	xpeq2i 4797	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 × (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶))) = (𝐴 × ∅)
19		xpindi 4917	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 × (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶))) = ((𝐴 × ({∅} × 𝐵)) ∩ (𝐴 × ({1o} × 𝐶)))
20		xp0 5210	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 × ∅) = ∅
21	18, 19, 20	3eqtr3i 2267	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 × ({∅} × 𝐵)) ∩ (𝐴 × ({1o} × 𝐶))) = ∅
22	21	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴 × ({∅} × 𝐵)) ∩ (𝐴 × ({1o} × 𝐶))) = ∅)
23		djuenun 7574	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 × ({∅} × 𝐵)) ∧ (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐴 × ({1o} × 𝐶)) ∧ ((𝐴 × ({∅} × 𝐵)) ∩ (𝐴 × ({1o} × 𝐶))) = ∅) → ((𝐴 × 𝐵) ⊔ (𝐴 × 𝐶)) ≈ ((𝐴 × ({∅} × 𝐵)) ∪ (𝐴 × ({1o} × 𝐶))))
24	9, 16, 22, 23	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴 × 𝐵) ⊔ (𝐴 × 𝐶)) ≈ ((𝐴 × ({∅} × 𝐵)) ∪ (𝐴 × ({1o} × 𝐶))))
25		df-dju 7384	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊔ 𝐶) = (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))
26	25	xpeq2i 4797	. . . 4 ⊢ (𝐴 × (𝐵 ⊔ 𝐶)) = (𝐴 × (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶)))
27		xpundi 4833	. . . 4 ⊢ (𝐴 × (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))) = ((𝐴 × ({∅} × 𝐵)) ∪ (𝐴 × ({1o} × 𝐶)))
28	26, 27	eqtri 2259	. . 3 ⊢ (𝐴 × (𝐵 ⊔ 𝐶)) = ((𝐴 × ({∅} × 𝐵)) ∪ (𝐴 × ({1o} × 𝐶)))
29	24, 28	breqtrrdi 4173	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴 × 𝐵) ⊔ (𝐴 × 𝐶)) ≈ (𝐴 × (𝐵 ⊔ 𝐶)))
30	29	ensymd 7074	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 × (𝐵 ⊔ 𝐶)) ≈ ((𝐴 × 𝐵) ⊔ (𝐴 × 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∪ cun 3218   ∩ cin 3219  ∅c0 3520  {csn 3709   class class class wbr 4131  Oncon0 4510   × cxp 4774  1_oc1o 6684   ≈ cen 7024   ⊔ cdju 7383

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7027  df-dju 7384  df-inl 7393  df-inr 7394

This theorem is used by: (None)