Theorem xpdjuen 7330

Description: Cardinal multiplication distributes over cardinal addition. Theorem 6I(3) of [Enderton] p. 142. (Contributed by NM, 26-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpdjuen	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 × (𝐵 ⊔ 𝐶)) ≈ ((𝐴 × 𝐵) ⊔ (𝐴 × 𝐶)))

Proof of Theorem xpdjuen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 6855	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ 𝐴)
2	1	3ad2ant1 1021	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐴 ≈ 𝐴)
3		0ex 4171	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
4		simp2 1001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑊)
5		xpsnen2g 6924	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
6	3, 4, 5	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
7	6	ensymd 6875	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵))
8		xpen 6942	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 × ({∅} × 𝐵)))
9	2, 7, 8	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 × ({∅} × 𝐵)))
10		1on 6509	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
11		simp3 1002	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ 𝑋)
12		xpsnen2g 6924	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
13	10, 11, 12	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
14	13	ensymd 6875	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐶 ≈ ({1o} × 𝐶))
15		xpen 6942	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ 𝐶 ≈ ({1o} × 𝐶)) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐴 × ({1o} × 𝐶)))
16	2, 14, 15	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐴 × ({1o} × 𝐶)))
17		xp01disjl 6520	. . . . . . 7 ⊢ (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅
18	17	xpeq2i 4696	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 × (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶))) = (𝐴 × ∅)
19		xpindi 4813	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 × (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶))) = ((𝐴 × ({∅} × 𝐵)) ∩ (𝐴 × ({1o} × 𝐶)))
20		xp0 5102	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 × ∅) = ∅
21	18, 19, 20	3eqtr3i 2234	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 × ({∅} × 𝐵)) ∩ (𝐴 × ({1o} × 𝐶))) = ∅
22	21	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴 × ({∅} × 𝐵)) ∩ (𝐴 × ({1o} × 𝐶))) = ∅)
23		djuenun 7324	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 × ({∅} × 𝐵)) ∧ (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐴 × ({1o} × 𝐶)) ∧ ((𝐴 × ({∅} × 𝐵)) ∩ (𝐴 × ({1o} × 𝐶))) = ∅) → ((𝐴 × 𝐵) ⊔ (𝐴 × 𝐶)) ≈ ((𝐴 × ({∅} × 𝐵)) ∪ (𝐴 × ({1o} × 𝐶))))
24	9, 16, 22, 23	syl3anc 1250	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴 × 𝐵) ⊔ (𝐴 × 𝐶)) ≈ ((𝐴 × ({∅} × 𝐵)) ∪ (𝐴 × ({1o} × 𝐶))))
25		df-dju 7140	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊔ 𝐶) = (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))
26	25	xpeq2i 4696	. . . 4 ⊢ (𝐴 × (𝐵 ⊔ 𝐶)) = (𝐴 × (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶)))
27		xpundi 4731	. . . 4 ⊢ (𝐴 × (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))) = ((𝐴 × ({∅} × 𝐵)) ∪ (𝐴 × ({1o} × 𝐶)))
28	26, 27	eqtri 2226	. . 3 ⊢ (𝐴 × (𝐵 ⊔ 𝐶)) = ((𝐴 × ({∅} × 𝐵)) ∪ (𝐴 × ({1o} × 𝐶)))
29	24, 28	breqtrrdi 4086	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴 × 𝐵) ⊔ (𝐴 × 𝐶)) ≈ (𝐴 × (𝐵 ⊔ 𝐶)))
30	29	ensymd 6875	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 × (𝐵 ⊔ 𝐶)) ≈ ((𝐴 × 𝐵) ⊔ (𝐴 × 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  Vcvv 2772   ∪ cun 3164   ∩ cin 3165  ∅c0 3460  {csn 3633   class class class wbr 4044  Oncon0 4410   × cxp 4673  1_oc1o 6495   ≈ cen 6825   ⊔ cdju 7139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-1o 6502  df-er 6620  df-en 6828  df-dju 7140  df-inl 7149  df-inr 7150

This theorem is referenced by: (None)