Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xpdjuen GIF version

Theorem xpdjuen 7038
 Description: Cardinal multiplication distributes over cardinal addition. Theorem 6I(3) of [Enderton] p. 142. (Contributed by NM, 26-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpdjuen ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (𝐴 × (𝐵𝐶)) ≈ ((𝐴 × 𝐵) ⊔ (𝐴 × 𝐶)))

Proof of Theorem xpdjuen
StepHypRef Expression
1 enrefg 6624 . . . . . 6 (𝐴𝑉𝐴𝐴)
213ad2ant1 985 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → 𝐴𝐴)
3 0ex 4023 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
4 simp2 965 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → 𝐵𝑊)
5 xpsnen2g 6689 . . . . . . 7 ((∅ ∈ V ∧ 𝐵𝑊) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
63, 4, 5sylancr 408 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → ({∅} × 𝐵) ≈ 𝐵)
76ensymd 6643 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → 𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵))
8 xpen 6705 . . . . 5 ((𝐴𝐴𝐵 ≈ ({∅} × 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 × ({∅} × 𝐵)))
92, 7, 8syl2anc 406 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 × ({∅} × 𝐵)))
10 1on 6286 . . . . . . 7 1o ∈ On
11 simp3 966 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → 𝐶𝑋)
12 xpsnen2g 6689 . . . . . . 7 ((1o ∈ On ∧ 𝐶𝑋) → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
1310, 11, 12sylancr 408 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → ({1o} × 𝐶) ≈ 𝐶)
1413ensymd 6643 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → 𝐶 ≈ ({1o} × 𝐶))
15 xpen 6705 . . . . 5 ((𝐴𝐴𝐶 ≈ ({1o} × 𝐶)) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐴 × ({1o} × 𝐶)))
162, 14, 15syl2anc 406 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐴 × ({1o} × 𝐶)))
17 xp01disjl 6297 . . . . . . 7 (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶)) = ∅
1817xpeq2i 4528 . . . . . 6 (𝐴 × (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶))) = (𝐴 × ∅)
19 xpindi 4642 . . . . . 6 (𝐴 × (({∅} × 𝐵) ∩ ({1o} × 𝐶))) = ((𝐴 × ({∅} × 𝐵)) ∩ (𝐴 × ({1o} × 𝐶)))
20 xp0 4926 . . . . . 6 (𝐴 × ∅) = ∅
2118, 19, 203eqtr3i 2144 . . . . 5 ((𝐴 × ({∅} × 𝐵)) ∩ (𝐴 × ({1o} × 𝐶))) = ∅
2221a1i 9 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → ((𝐴 × ({∅} × 𝐵)) ∩ (𝐴 × ({1o} × 𝐶))) = ∅)
23 djuenun 7032 . . . 4 (((𝐴 × 𝐵) ≈ (𝐴 × ({∅} × 𝐵)) ∧ (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐴 × ({1o} × 𝐶)) ∧ ((𝐴 × ({∅} × 𝐵)) ∩ (𝐴 × ({1o} × 𝐶))) = ∅) → ((𝐴 × 𝐵) ⊔ (𝐴 × 𝐶)) ≈ ((𝐴 × ({∅} × 𝐵)) ∪ (𝐴 × ({1o} × 𝐶))))
249, 16, 22, 23syl3anc 1199 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → ((𝐴 × 𝐵) ⊔ (𝐴 × 𝐶)) ≈ ((𝐴 × ({∅} × 𝐵)) ∪ (𝐴 × ({1o} × 𝐶))))
25 df-dju 6889 . . . . 5 (𝐵𝐶) = (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))
2625xpeq2i 4528 . . . 4 (𝐴 × (𝐵𝐶)) = (𝐴 × (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶)))
27 xpundi 4563 . . . 4 (𝐴 × (({∅} × 𝐵) ∪ ({1o} × 𝐶))) = ((𝐴 × ({∅} × 𝐵)) ∪ (𝐴 × ({1o} × 𝐶)))
2826, 27eqtri 2136 . . 3 (𝐴 × (𝐵𝐶)) = ((𝐴 × ({∅} × 𝐵)) ∪ (𝐴 × ({1o} × 𝐶)))
2924, 28breqtrrdi 3938 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → ((𝐴 × 𝐵) ⊔ (𝐴 × 𝐶)) ≈ (𝐴 × (𝐵𝐶)))
3029ensymd 6643 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (𝐴 × (𝐵𝐶)) ≈ ((𝐴 × 𝐵) ⊔ (𝐴 × 𝐶)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 945   = wceq 1314   ∈ wcel 1463  Vcvv 2658   ∪ cun 3037   ∩ cin 3038  ∅c0 3331  {csn 3495   class class class wbr 3897  Oncon0 4253   × cxp 4505  1oc1o 6272   ≈ cen 6598   ⊔ cdju 6888 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-1o 6279  df-er 6395  df-en 6601  df-dju 6889  df-inl 6898  df-inr 6899 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator