Theorem bj-tagex 38077

Description: A class is a set if and only if its tagging is a set. (Contributed by BJ, 6-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
bj-tagex	⊢ (𝐴 ∈ V ↔ tag 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem bj-tagex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-snglex 38063	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ sngl 𝐴 ∈ V)
2		p0ex 5350	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
3	2	biantru 539	. . 3 ⊢ (sngl 𝐴 ∈ V ↔ (sngl 𝐴 ∈ V ∧ {∅} ∈ V))
4	1, 3	bitri 278	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ (sngl 𝐴 ∈ V ∧ {∅} ∈ V))
5		unexb 7784	. 2 ⊢ ((sngl 𝐴 ∈ V ∧ {∅} ∈ V) ↔ (sngl 𝐴 ∪ {∅}) ∈ V)
6		df-bj-tag 38065	. . . 4 ⊢ tag 𝐴 = (sngl 𝐴 ∪ {∅})
7	6	eqcomi 2772	. . 3 ⊢ (sngl 𝐴 ∪ {∅}) = tag 𝐴
8	7	eleq1i 2855	. 2 ⊢ ((sngl 𝐴 ∪ {∅}) ∈ V ↔ tag 𝐴 ∈ V)
9	4, 5, 8	3bitri 300	1 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ tag 𝐴 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  {csn 4588  sngl bj-csngl 38055  tag bj-ctag 38064

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-uni 4871  df-bj-sngl 38056  df-bj-tag 38065

This theorem is used by:  bj-xtagex  38079