Theorem bj-tagex 37161

Description: A class is a set if and only if its tagging is a set. (Contributed by BJ, 6-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
bj-tagex	⊢ (𝐴 ∈ V ↔ tag 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem bj-tagex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-snglex 37147	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ sngl 𝐴 ∈ V)
2		p0ex 5328	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
3	2	biantru 529	. . 3 ⊢ (sngl 𝐴 ∈ V ↔ (sngl 𝐴 ∈ V ∧ {∅} ∈ V))
4	1, 3	bitri 275	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ (sngl 𝐴 ∈ V ∧ {∅} ∈ V))
5		unexb 7692	. 2 ⊢ ((sngl 𝐴 ∈ V ∧ {∅} ∈ V) ↔ (sngl 𝐴 ∪ {∅}) ∈ V)
6		df-bj-tag 37149	. . . 4 ⊢ tag 𝐴 = (sngl 𝐴 ∪ {∅})
7	6	eqcomi 2744	. . 3 ⊢ (sngl 𝐴 ∪ {∅}) = tag 𝐴
8	7	eleq1i 2826	. 2 ⊢ ((sngl 𝐴 ∪ {∅}) ∈ V ↔ tag 𝐴 ∈ V)
9	4, 5, 8	3bitri 297	1 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ tag 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Vcvv 3439   ∪ cun 3898  ∅c0 4284  {csn 4579  sngl bj-csngl 37139  tag bj-ctag 37148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-rex 3060  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-uni 4863  df-bj-sngl 37140  df-bj-tag 37149

This theorem is referenced by:  bj-xtagex  37163