Theorem bj-tagex 37355

Description: A class is a set if and only if its tagging is a set. (Contributed by BJ, 6-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
bj-tagex	⊢ (𝐴 ∈ V ↔ tag 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem bj-tagex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-snglex 37341	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ sngl 𝐴 ∈ V)
2		p0ex 5316	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
3	2	biantru 535	. . 3 ⊢ (sngl 𝐴 ∈ V ↔ (sngl 𝐴 ∈ V ∧ {∅} ∈ V))
4	1, 3	bitri 277	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ (sngl 𝐴 ∈ V ∧ {∅} ∈ V))
5		unexb 7694	. 2 ⊢ ((sngl 𝐴 ∈ V ∧ {∅} ∈ V) ↔ (sngl 𝐴 ∪ {∅}) ∈ V)
6		df-bj-tag 37343	. . . 4 ⊢ tag 𝐴 = (sngl 𝐴 ∪ {∅})
7	6	eqcomi 2750	. . 3 ⊢ (sngl 𝐴 ∪ {∅}) = tag 𝐴
8	7	eleq1i 2832	. 2 ⊢ ((sngl 𝐴 ∪ {∅}) ∈ V ↔ tag 𝐴 ∈ V)
9	4, 5, 8	3bitri 299	1 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ tag 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433   ∪ cun 3883  ∅c0 4264  {csn 4558  sngl bj-csngl 37333  tag bj-ctag 37342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-uni 4842  df-bj-sngl 37334  df-bj-tag 37343

This theorem is referenced by:  bj-xtagex  37357