Theorem bj-tagex 34302

Description: A class is a set if and only if its tagging is a set. (Contributed by BJ, 6-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
bj-tagex	⊢ (𝐴 ∈ V ↔ tag 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem bj-tagex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-snglex 34288	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ sngl 𝐴 ∈ V)
2		p0ex 5285	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
3	2	biantru 532	. . 3 ⊢ (sngl 𝐴 ∈ V ↔ (sngl 𝐴 ∈ V ∧ {∅} ∈ V))
4	1, 3	bitri 277	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ (sngl 𝐴 ∈ V ∧ {∅} ∈ V))
5		unexb 7471	. 2 ⊢ ((sngl 𝐴 ∈ V ∧ {∅} ∈ V) ↔ (sngl 𝐴 ∪ {∅}) ∈ V)
6		df-bj-tag 34290	. . . 4 ⊢ tag 𝐴 = (sngl 𝐴 ∪ {∅})
7	6	eqcomi 2830	. . 3 ⊢ (sngl 𝐴 ∪ {∅}) = tag 𝐴
8	7	eleq1i 2903	. 2 ⊢ ((sngl 𝐴 ∪ {∅}) ∈ V ↔ tag 𝐴 ∈ V)
9	4, 5, 8	3bitri 299	1 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ tag 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494   ∪ cun 3934  ∅c0 4291  {csn 4567  sngl bj-csngl 34280  tag bj-ctag 34289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-uni 4839  df-bj-sngl 34281  df-bj-tag 34290

This theorem is referenced by:  bj-xtagex  34304