Theorem bj-tagex 33547

Description: A class is a set if and only if its tagging is a set. (Contributed by BJ, 6-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
bj-tagex	⊢ (𝐴 ∈ V ↔ tag 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem bj-tagex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-snglex 33533	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ sngl 𝐴 ∈ V)
2		p0ex 5095	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
3	2	biantru 525	. . 3 ⊢ (sngl 𝐴 ∈ V ↔ (sngl 𝐴 ∈ V ∧ {∅} ∈ V))
4	1, 3	bitri 267	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ (sngl 𝐴 ∈ V ∧ {∅} ∈ V))
5		unexb 7235	. 2 ⊢ ((sngl 𝐴 ∈ V ∧ {∅} ∈ V) ↔ (sngl 𝐴 ∪ {∅}) ∈ V)
6		df-bj-tag 33535	. . . 4 ⊢ tag 𝐴 = (sngl 𝐴 ∪ {∅})
7	6	eqcomi 2786	. . 3 ⊢ (sngl 𝐴 ∪ {∅}) = tag 𝐴
8	7	eleq1i 2849	. 2 ⊢ ((sngl 𝐴 ∪ {∅}) ∈ V ↔ tag 𝐴 ∈ V)
9	4, 5, 8	3bitri 289	1 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ tag 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∈ wcel 2106  Vcvv 3397   ∪ cun 3789  ∅c0 4140  {csn 4397  sngl bj-csngl 33525  tag bj-ctag 33534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ral 3094  df-rex 3095  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-uni 4672  df-bj-sngl 33526  df-bj-tag 33535

This theorem is referenced by:  bj-xtagex  33549