Theorem bj-xtagex 37653

Description: The product of a set and the tagging of a set is a set. (Contributed by BJ, 2-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-xtagex	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ 𝑊 → (𝐴 × tag 𝐵) ∈ V))

Proof of Theorem bj-xtagex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3475	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ∈ V)
2		bj-tagex 37651	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V ↔ tag 𝐵 ∈ V)
3	1, 2	sylib 221	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → tag 𝐵 ∈ V)
4		bj-xpexg2 37624	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (tag 𝐵 ∈ V → (𝐴 × tag 𝐵) ∈ V))
5	3, 4	syl5 35	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ 𝑊 → (𝐴 × tag 𝐵) ∈ V))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   × cxp 5658  tag bj-ctag 37638

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-opab 5173  df-xp 5666  df-rel 5667  df-bj-sngl 37630  df-bj-tag 37639

This theorem is used by:  bj-1uplex  37672  bj-2uplex  37686