Theorem p0ex 5353

Description: The power set of the empty set (the ordinal 1) is a set. See also p0exALT 5354. (Contributed by NM, 23-Dec-1993.)

Assertion

Ref	Expression
p0ex	⊢ {∅} ∈ V

Proof of Theorem p0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw0 4835	. 2 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
2		0ex 5267	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	pwex 5349	. 2 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ V
4	1, 3	eqeltrri 2861	1 ⊢ {∅} ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  {csn 4588

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-nul 4282  df-pw 4562  df-sn 4589

This theorem is used by:  pp0ex  5355  dtruALT  5357  zfpair  5390  tposexg  8295  fsetexb  8924  endisj  9121  pw2eng  9140  dfac4  10240  dfac2b  10248  axcc2lem  10553  axdc2lem  10565  axcclem  10574  axpowndlem3  10723  isstruct2  17371  cat1  18322  plusffval  18872  grpinvfval  19239  grpsubfval  19244  mulgfval  19329  0symgefmndeq  19659  staffval  21149  scaffval  21206  ipffval  22009  refun0  23889  filconn  24257  alexsubALTlem2  24422  nmfval  24962  tcphex  25593  tchnmfval  25604  legval  29104  vieta  34323  locfinref  34584  oms0  35040  bnj105  35466  ssoninhaus  37451  onint1  37452  bj-tagex  38115  bj-1uplex  38136  rrnval  39027  dvnprodlem3  47231  ioorrnopn  47588  ioorrnopnxr  47590  ismeannd  47750  nelsubc3  50516  setc1ohomfval  50959