Theorem p0ex 5346

Description: The power set of the empty set (the ordinal 1) is a set. See also p0exALT 5347. (Contributed by NM, 23-Dec-1993.)

Assertion

Ref	Expression
p0ex	⊢ {∅} ∈ V

Proof of Theorem p0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw0 4829	. 2 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
2		0ex 5260	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	pwex 5342	. 2 ⊢ 𝒫 ∅ ∈ V
4	1, 3	eqeltrri 2857	1 ⊢ {∅} ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ∅c0 4277  𝒫 cpw 4556  {csn 4584

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-nul 4278  df-pw 4558  df-sn 4585

This theorem is used by:  pp0ex  5348  dtruALT  5350  zfpair  5383  tposexg  8265  fsetexb  8894  endisj  9091  pw2eng  9110  dfac4  10208  dfac2b  10216  axcc2lem  10521  axdc2lem  10533  axcclem  10542  axpowndlem3  10691  isstruct2  17336  cat1  18281  plusffval  18831  grpinvfval  19198  grpsubfval  19203  mulgfval  19288  0symgefmndeq  19617  staffval  21107  scaffval  21164  ipffval  21963  refun0  23843  filconn  24211  alexsubALTlem2  24376  nmfval  24916  tcphex  25547  tchnmfval  25558  legval  29056  vieta  34262  locfinref  34523  oms0  34979  bnj105  35405  ssoninhaus  37360  onint1  37361  bj-tagex  38024  bj-1uplex  38045  rrnval  38898  dvnprodlem3  47094  ioorrnopn  47451  ioorrnopnxr  47453  ismeannd  47613  nelsubc3  50321  setc1ohomfval  50764