Theorem bruval 49739

Description: The basic 𝑁-th root of unity. (Contributed by AV, 24-Oct-2026.)

Assertion

Ref	Expression
bruval	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (bRoU‘𝑁) = (exp‘((2 · (π · i)) / 𝑁)))

Proof of Theorem bruval

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7457	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((2 · (π · i)) / 𝑛) = ((2 · (π · i)) / 𝑁))
2	1	fveq2d 6918	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (exp‘((2 · (π · i)) / 𝑛)) = (exp‘((2 · (π · i)) / 𝑁)))
3		df-bru 49738	. 2 ⊢ bRoU = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (exp‘((2 · (π · i)) / 𝑛)))
4		fvex 6927	. 2 ⊢ (exp‘((2 · (π · i)) / 𝑁)) ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 7022	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (bRoU‘𝑁) = (exp‘((2 · (π · i)) / 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  ici 11239   · cmul 11242   / cdiv 12011  ℕcn 12373  2c2 12435  expce 16268  πcpi 16273  bRoUcbru 49737

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fv 6572  df-ov 7452  df-bru 49738

This theorem is used by:  brucn  49740  bruval2  49741  bruval3  49742