Theorem clsneircomplex 44870

Description: The relative complement of the class 𝑆 exists as a subset of the base set. (Contributed by RP, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clsneibex.d	⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
clsneibex.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
clsneibex.r	⊢ (𝜑 → 𝐾𝐻𝑁)

Assertion

Ref	Expression
clsneircomplex	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑆) ∈ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem clsneircomplex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clsneibex.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
2		clsneibex.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
3		clsneibex.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾𝐻𝑁)
4	1, 2, 3	clsneibex 44869	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
5		difssd 4094	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑆) ⊆ 𝐵)
6	4, 5	sselpwd 5304	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑆) ∈ 𝒫 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   ∖ cdif 3905  𝒫 cpw 4567   class class class wbr 5114   ∘ ccom 5670  ‘cfv 6543

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-iota 6499  df-fv 6551

This theorem is used by:  clsneiel2  44876