Theorem clsneircomplex 44340

Description: The relative complement of the class 𝑆 exists as a subset of the base set. (Contributed by RP, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clsneibex.d	⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
clsneibex.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
clsneibex.r	⊢ (𝜑 → 𝐾𝐻𝑁)

Assertion

Ref	Expression
clsneircomplex	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑆) ∈ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem clsneircomplex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clsneibex.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
2		clsneibex.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
3		clsneibex.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾𝐻𝑁)
4	1, 2, 3	clsneibex 44339	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
5		difssd 4089	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑆) ⊆ 𝐵)
6	4, 5	sselpwd 5273	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑆) ∈ 𝒫 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ∖ cdif 3898  𝒫 cpw 4554   class class class wbr 5098   ∘ ccom 5628  ‘cfv 6492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-iota 6448  df-fv 6500

This theorem is referenced by:  clsneiel2  44346