Theorem clsneircomplex 44135

Description: The relative complement of the class 𝑆 exists as a subset of the base set. (Contributed by RP, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clsneibex.d	⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
clsneibex.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
clsneibex.r	⊢ (𝜑 → 𝐾𝐻𝑁)

Assertion

Ref	Expression
clsneircomplex	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑆) ∈ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem clsneircomplex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clsneibex.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
2		clsneibex.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
3		clsneibex.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾𝐻𝑁)
4	1, 2, 3	clsneibex 44134	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
5		difssd 4087	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑆) ⊆ 𝐵)
6	4, 5	sselpwd 5266	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑆) ∈ 𝒫 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∖ cdif 3899  𝒫 cpw 4550   class class class wbr 5091   ∘ ccom 5620  ‘cfv 6481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-iota 6437  df-fv 6489

This theorem is referenced by:  clsneiel2  44141