Theorem clsneircomplex 44116

Description: The relative complement of the class 𝑆 exists as a subset of the base set. (Contributed by RP, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clsneibex.d	⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
clsneibex.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
clsneibex.r	⊢ (𝜑 → 𝐾𝐻𝑁)

Assertion

Ref	Expression
clsneircomplex	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑆) ∈ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem clsneircomplex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clsneibex.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑃‘𝐵)
2		clsneibex.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∘ 𝐷)
3		clsneibex.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾𝐻𝑁)
4	1, 2, 3	clsneibex 44115	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
5		difssd 4137	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑆) ⊆ 𝐵)
6	4, 5	sselpwd 5328	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑆) ∈ 𝒫 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ∖ cdif 3948  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143   ∘ ccom 5689  ‘cfv 6561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-iota 6514  df-fv 6569

This theorem is referenced by:  clsneiel2  44122