Theorem sselpwd 5266

Description: Elementhood to a power set. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sselpwd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
sselpwd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sselpwd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem sselpwd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sselpwd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
2		sselpwd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
3	1, 2	ssexd 5262	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
4	3, 2	elpwd 4548	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-3an 1089  df-tru 1545  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rab 3391  df-v 3432  df-in 3897  df-ss 3907  df-pw 4544

This theorem is referenced by:  knatar  7307  marypha1  9342  fin1a2lem7  10323  canthp1lem2  10571  wunss  10630  ramub1lem1  16992  mreexd  17603  mreexexlemd  17605  mreexexlem4d  17608  opsrval  22038  selvfval  22114  cncls  23253  fbasrn  23863  rnelfmlem  23931  ustssel  24185  hashimaf1  32903  pwrssmgc  33079  esplyfv1  33732  exsslsb  33760  crefi  34011  ldsysgenld  34324  ldgenpisyslem1  34327  bj-ismoored  37439  bj-imdirval2  37517  bj-iminvval2  37528  sticksstones2  42606  rfovcnvf1od  44455  fsovrfovd  44460  fsovfd  44463  fsovcnvlem  44464  ntrclsrcomplex  44486  clsk3nimkb  44491  clsk1indlem4  44495  clsk1indlem1  44496  ntrclsiso  44518  ntrclskb  44520  ntrclsk3  44521  ntrclsk13  44522  ntrneircomplex  44525  ntrneik3  44547  ntrneix3  44548  ntrneik13  44549  ntrneix13  44550  clsneircomplex  44554  clsneiel1  44559  neicvgrcomplex  44564  neicvgel1  44570  mnussd  44714  mnuprssd  44720  mnuop3d  44722  wessf1ornlem  45639  dvnprodlem1  46398  ovolsplit  46440  saliunclf  46774  sge0f1o  46834  isisubgr  48356  iscnrm3rlem3  49435