Theorem sselpwd 5294

Description: Membership in a power set. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sselpwd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
sselpwd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sselpwd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem sselpwd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sselpwd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
2		sselpwd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
3	1, 2	ssexd 5290	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
4	3, 2	elpwd 4566	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5252

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-3an 1105  df-tru 1573  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-in 4094  df-pw 4562

This theorem is used by:  knatar  7387  marypha1  9450  fin1a2lem7  10508  canthp1lem2  10762  wunss  10821  ramub1lem1  17230  mreexd  17842  mreexexlemd  17844  mreexexlem4d  17847  opsrval  22382  selvfval  22455  cncls  23619  fbasrn  24230  rnelfmlem  24298  ustssel  24552  hashimaf1  33469  pwrssmgc  33628  esplyfv1  34268  exsslsb  34296  crefi  34546  ldsysgenld  34860  ldgenpisyslem1  34863  bj-ismoored  38218  bj-imdirval2  38295  bj-iminvval2  38306  sticksstones2  43388  rfovcnvf1od  45194  fsovrfovd  45199  fsovfd  45202  fsovcnvlem  45203  ntrclsrcomplex  45225  clsk3nimkb  45230  clsk1indlem4  45234  clsk1indlem1  45235  ntrclsiso  45257  ntrclskb  45259  ntrclsk3  45260  ntrclsk13  45261  ntrneircomplex  45264  ntrneik3  45286  ntrneix3  45287  ntrneik13  45288  ntrneix13  45289  clsneircomplex  45293  clsneiel1  45298  neicvgrcomplex  45303  neicvgel1  45309  mnussd  45437  mnuprssd  45443  mnuop3d  45445  wessf1ornlem  46403  dvnprodlem1  47159  ovolsplit  47201  saliunclf  47535  sge0f1o  47595  isisubgr  49163  iscnrm3rlem3  50259