Theorem cmetmeti 25242

Description: A complete metric space is a metric space. (Contributed by NM, 26-Oct-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
cmetmeti.1	⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
cmetmeti	⊢ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)

Proof of Theorem cmetmeti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmetmeti.1	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)
2		cmetmet 25241	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6487  Metcmet 21327  CMetccmet 25209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pr 5364

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rab 3388  df-v 3429  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fv 6495  df-ov 7359  df-cmet 25212

This theorem is referenced by: (None)