Theorem cmetmeti 25457

Description: A complete metric space is a metric space. (Contributed by NM, 26-Oct-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
cmetmeti.1	⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
cmetmeti	⊢ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)

Proof of Theorem cmetmeti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmetmeti.1	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)
2		cmetmet 25456	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6536  Metcmet 21519  CMetccmet 25424

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7415  df-cmet 25427

This theorem is used by: (None)