Theorem cmetmeti 23892

Description: A complete metric space is a metric space. (Contributed by NM, 26-Oct-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
cmetmeti.1	⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
cmetmeti	⊢ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)

Proof of Theorem cmetmeti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmetmeti.1	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)
2		cmetmet 23891	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6357  Metcmet 20533  CMetccmet 23859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fv 6365  df-ov 7161  df-cmet 23862

This theorem is referenced by: (None)