MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmetcaulem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmetcaulem 23890
Description: Lemma for cmetcau 23891. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cmetcau.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
cmetcau.3 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
cmetcau.4 (𝜑𝑃𝑋)
cmetcau.5 (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
cmetcau.6 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ if(𝑥 ∈ dom 𝐹, (𝐹𝑥), 𝑃))
Assertion
Ref Expression
cmetcaulem (𝜑𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝑃   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem cmetcaulem
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑚 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmetcau.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
2 cmetmet 23888 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4 metxmet 22939 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6 cmetcau.1 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
76mopntopon 23044 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
85, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
9 1z 12000 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
10 nnuz 12269 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
1110uzfbas 22501 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → (ℤ “ ℕ) ∈ (fBas‘ℕ))
129, 11mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ “ ℕ) ∈ (fBas‘ℕ))
13 fgcl 22481 . . . . . . 7 ((ℤ “ ℕ) ∈ (fBas‘ℕ) → (ℕfilGen(ℤ “ ℕ)) ∈ (Fil‘ℕ))
1412, 13syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (ℕfilGen(ℤ “ ℕ)) ∈ (Fil‘ℕ))
15 elfvdm 6684 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom CMet)
161, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ dom CMet)
17 cnex 10607 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ∈ V
1817a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℂ ∈ V)
19 cmetcau.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
20 caufpm 23884 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
215, 19, 20syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
22 elpm2g 8410 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ dom CMet ∧ ℂ ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ↔ (𝐹:dom 𝐹𝑋 ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ)))
2322simprbda 502 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ dom CMet ∧ ℂ ∈ V) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → 𝐹:dom 𝐹𝑋)
2416, 18, 21, 23syl21anc 836 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:dom 𝐹𝑋)
2524adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝐹:dom 𝐹𝑋)
2625ffvelrnda 6833 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑋)
27 cmetcau.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃𝑋)
2827ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝑃𝑋)
2926, 28ifclda 4473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → if(𝑥 ∈ dom 𝐹, (𝐹𝑥), 𝑃) ∈ 𝑋)
30 cmetcau.6 . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ if(𝑥 ∈ dom 𝐹, (𝐹𝑥), 𝑃))
3129, 30fmptd 6860 . . . . . 6 (𝜑𝐺:ℕ⟶𝑋)
32 flfval 22593 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (ℕfilGen(ℤ “ ℕ)) ∈ (Fil‘ℕ) ∧ 𝐺:ℕ⟶𝑋) → ((𝐽 fLimf (ℕfilGen(ℤ “ ℕ)))‘𝐺) = (𝐽 fLim ((𝑋 FilMap 𝐺)‘(ℕfilGen(ℤ “ ℕ)))))
338, 14, 31, 32syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽 fLimf (ℕfilGen(ℤ “ ℕ)))‘𝐺) = (𝐽 fLim ((𝑋 FilMap 𝐺)‘(ℕfilGen(ℤ “ ℕ)))))
34 eqid 2822 . . . . . . . 8 (ℕfilGen(ℤ “ ℕ)) = (ℕfilGen(ℤ “ ℕ))
3534fmfg 22552 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ dom CMet ∧ (ℤ “ ℕ) ∈ (fBas‘ℕ) ∧ 𝐺:ℕ⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐺)‘(ℤ “ ℕ)) = ((𝑋 FilMap 𝐺)‘(ℕfilGen(ℤ “ ℕ))))
3616, 12, 31, 35syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 FilMap 𝐺)‘(ℤ “ ℕ)) = ((𝑋 FilMap 𝐺)‘(ℕfilGen(ℤ “ ℕ))))
3736oveq2d 7156 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽 fLim ((𝑋 FilMap 𝐺)‘(ℤ “ ℕ))) = (𝐽 fLim ((𝑋 FilMap 𝐺)‘(ℕfilGen(ℤ “ ℕ)))))
3833, 37eqtr4d 2860 . . . 4 (𝜑 → ((𝐽 fLimf (ℕfilGen(ℤ “ ℕ)))‘𝐺) = (𝐽 fLim ((𝑋 FilMap 𝐺)‘(ℤ “ ℕ))))
39 biidd 265 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘 ∈ dom 𝐹 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘 ∈ dom 𝐹))
40 1zzd 12001 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4110, 5, 40iscau3 23880 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑤 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑧))))
4241simplbda 503 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑤 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑧))
4319, 42mpdan 686 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑤 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑧))
44 simp1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑤 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑧) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
4544ralimi 3152 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑤 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑧) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘 ∈ dom 𝐹)
4645reximi 3231 . . . . . . . . . 10 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑤 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑧) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘 ∈ dom 𝐹)
4746ralimi 3152 . . . . . . . . 9 (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑤 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑧) → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘 ∈ dom 𝐹)
4843, 47syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘 ∈ dom 𝐹)
49 1rp 12381 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
5049a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
5139, 48, 50rspcdva 3600 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘 ∈ dom 𝐹)
52 dfss3 3930 . . . . . . . . 9 ((ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘 ∈ dom 𝐹)
53 nnsscn 11630 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ ⊆ ℂ
5431, 53jctir 524 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺:ℕ⟶𝑋 ∧ ℕ ⊆ ℂ))
55 elpm2r 8411 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ dom CMet ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐺:ℕ⟶𝑋 ∧ ℕ ⊆ ℂ)) → 𝐺 ∈ (𝑋pm ℂ))
5616, 18, 54, 55syl21anc 836 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ (𝑋pm ℂ))
5756adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) → 𝐺 ∈ (𝑋pm ℂ))
58 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℤ𝑗) = (ℤ𝑗)
595adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
60 nnz 11992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
6160ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) → 𝑗 ∈ ℤ)
62 eqidd 2823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
63 eqidd 2823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑚))
6458, 59, 61, 62, 63iscau4 23881 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧))))
6564simplbda 503 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧))
6619, 65mpidan 688 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧))
67 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) → 𝑗 ∈ ℕ)
68 eluznn 12306 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑚 ∈ ℕ)
6967, 68sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑚 ∈ ℕ)
70 eluznn 12306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)) → 𝑘 ∈ ℕ)
7130, 29dmmptd 6473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → dom 𝐺 = ℕ)
7271adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) → dom 𝐺 = ℕ)
7372eleq2d 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) → (𝑘 ∈ dom 𝐺𝑘 ∈ ℕ))
7473biimpar 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ dom 𝐺)
7574a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ dom 𝐹𝑘 ∈ dom 𝐺))
76 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋))
77 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧 → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧))
7875, 76, 773anim123d 1440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧) → (𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧)))
7970, 78sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚))) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧) → (𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧)))
8079anassrs 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧) → (𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧)))
8180ralimdva 3169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧)))
8269, 81syldan 594 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧)))
8382reximdva 3260 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) → (∃𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧) → ∃𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧)))
8483ralimdv 3170 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) → (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧) → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧)))
8566, 84mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧))
86 eluznn 12306 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
8767, 86sylan 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
88 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) → (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)
8988sselda 3942 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
90 iftrue 4445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ dom 𝐹 → if(𝑘 ∈ dom 𝐹, (𝐹𝑘), 𝑃) = (𝐹𝑘))
9190adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → if(𝑘 ∈ dom 𝐹, (𝐹𝑘), 𝑃) = (𝐹𝑘))
92 fvex 6665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹𝑘) ∈ V
9391, 92eqeltrdi 2922 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → if(𝑘 ∈ dom 𝐹, (𝐹𝑘), 𝑃) ∈ V)
94 eleq1w 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑘 ∈ dom 𝐹))
95 fveq2 6652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑘 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑘))
9694, 95ifbieq1d 4462 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑘 → if(𝑥 ∈ dom 𝐹, (𝐹𝑥), 𝑃) = if(𝑘 ∈ dom 𝐹, (𝐹𝑘), 𝑃))
9796, 30fvmptg 6748 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ if(𝑘 ∈ dom 𝐹, (𝐹𝑘), 𝑃) ∈ V) → (𝐺𝑘) = if(𝑘 ∈ dom 𝐹, (𝐹𝑘), 𝑃))
9893, 97syldan 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → (𝐺𝑘) = if(𝑘 ∈ dom 𝐹, (𝐹𝑘), 𝑃))
9998, 91eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → (𝐺𝑘) = (𝐹𝑘))
10087, 89, 99syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐺𝑘) = (𝐹𝑘))
10188sselda 3942 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑚 ∈ dom 𝐹)
10269, 101elind 4145 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑚 ∈ (ℕ ∩ dom 𝐹))
103 fveq2 6652 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑚 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑚))
104 fveq2 6652 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
105103, 104eqeq12d 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐺𝑘) = (𝐹𝑘) ↔ (𝐺𝑚) = (𝐹𝑚)))
106 elin 3924 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (ℕ ∩ dom 𝐹) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹))
107106, 99sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (ℕ ∩ dom 𝐹) → (𝐺𝑘) = (𝐹𝑘))
108105, 107vtoclga 3549 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (ℕ ∩ dom 𝐹) → (𝐺𝑚) = (𝐹𝑚))
109102, 108syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐺𝑚) = (𝐹𝑚))
11058, 59, 61, 100, 109iscau4 23881 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) → (𝐺 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐺 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧))))
11157, 85, 110mpbir2and 712 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) → 𝐺 ∈ (Cau‘𝐷))
112111expr 460 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹𝐺 ∈ (Cau‘𝐷)))
11352, 112syl5bir 246 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘 ∈ dom 𝐹𝐺 ∈ (Cau‘𝐷)))
114113rexlimdva 3270 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘 ∈ dom 𝐹𝐺 ∈ (Cau‘𝐷)))
11551, 114mpd 15 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ (Cau‘𝐷))
116 eqid 2822 . . . . . . . 8 ((𝑋 FilMap 𝐺)‘(ℤ “ ℕ)) = ((𝑋 FilMap 𝐺)‘(ℤ “ ℕ))
11710, 116caucfil 23885 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝐺:ℕ⟶𝑋) → (𝐺 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ((𝑋 FilMap 𝐺)‘(ℤ “ ℕ)) ∈ (CauFil‘𝐷)))
1185, 40, 31, 117syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ((𝑋 FilMap 𝐺)‘(ℤ “ ℕ)) ∈ (CauFil‘𝐷)))
119115, 118mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 FilMap 𝐺)‘(ℤ “ ℕ)) ∈ (CauFil‘𝐷))
1206cmetcvg 23887 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐺)‘(ℤ “ ℕ)) ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐽 fLim ((𝑋 FilMap 𝐺)‘(ℤ “ ℕ))) ≠ ∅)
1211, 119, 120syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 fLim ((𝑋 FilMap 𝐺)‘(ℤ “ ℕ))) ≠ ∅)
12238, 121eqnetrd 3078 . . 3 (𝜑 → ((𝐽 fLimf (ℕfilGen(ℤ “ ℕ)))‘𝐺) ≠ ∅)
123 n0 4282 . . 3 (((𝐽 fLimf (ℕfilGen(ℤ “ ℕ)))‘𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ ((𝐽 fLimf (ℕfilGen(ℤ “ ℕ)))‘𝐺))
124122, 123sylib 221 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 𝑦 ∈ ((𝐽 fLimf (ℕfilGen(ℤ “ ℕ)))‘𝐺))
12510, 34lmflf 22608 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝐺:ℕ⟶𝑋) → (𝐺(⇝𝑡𝐽)𝑦𝑦 ∈ ((𝐽 fLimf (ℕfilGen(ℤ “ ℕ)))‘𝐺)))
1268, 40, 31, 125syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (𝐺(⇝𝑡𝐽)𝑦𝑦 ∈ ((𝐽 fLimf (ℕfilGen(ℤ “ ℕ)))‘𝐺)))
12721adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐺(⇝𝑡𝐽)𝑦) → 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
128 lmcl 21900 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐺(⇝𝑡𝐽)𝑦) → 𝑦𝑋)
1298, 128sylan 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝐺(⇝𝑡𝐽)𝑦) → 𝑦𝑋)
1306, 5, 10, 40lmmbr3 23862 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺(⇝𝑡𝐽)𝑦 ↔ (𝐺 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑦𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧))))
131130biimpa 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐺(⇝𝑡𝐽)𝑦) → (𝐺 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑦𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)))
132131simp3d 1141 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐺(⇝𝑡𝐽)𝑦) → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧))
133 r19.26 3162 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧 ∈ ℝ+ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)) ↔ (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)))
13410rexanuz2 14700 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)) ↔ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)))
135 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧))) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
13699ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧))) → (𝐺𝑘) = (𝐹𝑘))
137 simprr2 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧))) → (𝐺𝑘) ∈ 𝑋)
138136, 137eqeltrrd 2915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧))) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
139136oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧))) → ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) = ((𝐹𝑘)𝐷𝑦))
140 simprr3 1220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧))) → ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)
141139, 140eqbrtrrd 5066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧))) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)
142135, 138, 1413jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧))) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧))
143142ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)))
14486, 143sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)))
145144anassrs 471 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)))
146145ralimdva 3169 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)))
147146reximdva 3260 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)))
148134, 147syl5bir 246 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)))
149148ralimdv 3170 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ℝ+ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)) → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)))
150133, 149syl5bir 246 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)) → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)))
15148, 150mpand 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧) → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)))
152151adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐺(⇝𝑡𝐽)𝑦) → (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧) → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)))
153132, 152mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝐺(⇝𝑡𝐽)𝑦) → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧))
1545adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐺(⇝𝑡𝐽)𝑦) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
155 1zzd 12001 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐺(⇝𝑡𝐽)𝑦) → 1 ∈ ℤ)
1566, 154, 10, 155lmmbr3 23862 . . . . . . 7 ((𝜑𝐺(⇝𝑡𝐽)𝑦) → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑦 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑦𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧))))
157127, 129, 153, 156mpbir3and 1339 . . . . . 6 ((𝜑𝐺(⇝𝑡𝐽)𝑦) → 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑦)
158 lmrel 21833 . . . . . . 7 Rel (⇝𝑡𝐽)
159158releldmi 5795 . . . . . 6 (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑦𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
160157, 159syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐺(⇝𝑡𝐽)𝑦) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
161160ex 416 . . . 4 (𝜑 → (𝐺(⇝𝑡𝐽)𝑦𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)))
162126, 161sylbird 263 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐽 fLimf (ℕfilGen(ℤ “ ℕ)))‘𝐺) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)))
163162exlimdv 1934 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 𝑦 ∈ ((𝐽 fLimf (ℕfilGen(ℤ “ ℕ)))‘𝐺) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)))
164124, 163mpd 15 1 (𝜑𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2114  wne 3011  wral 3130  wrex 3131  Vcvv 3469  cin 3907  wss 3908  c0 4265  ifcif 4439   class class class wbr 5042  cmpt 5122  dom cdm 5532  cima 5535  wf 6330  cfv 6334  (class class class)co 7140  pm cpm 8394  cc 10524  1c1 10527   < clt 10664  cn 11625  cz 11969  cuz 12231  +crp 12377  ∞Metcxmet 20074  Metcmet 20075  fBascfbas 20077  filGencfg 20078  MetOpencmopn 20079  TopOnctopon 21513  𝑡clm 21829  Filcfil 22448   FilMap cfm 22536   fLim cflim 22537   fLimf cflf 22538  CauFilccfil 23854  Cauccau 23855  CMetccmet 23856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ico 12732  df-rest 16687  df-topgen 16708  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-fbas 20086  df-fg 20087  df-top 21497  df-topon 21514  df-bases 21549  df-ntr 21623  df-nei 21701  df-lm 21832  df-fil 22449  df-fm 22541  df-flim 22542  df-flf 22543  df-cfil 23857  df-cau 23858  df-cmet 23859
This theorem is referenced by:  cmetcau  23891
  Copyright terms: Public domain W3C validator