MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmetcaulem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmetcaulem 25323
Description: Lemma for cmetcau 25324. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cmetcau.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
cmetcau.3 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
cmetcau.4 (𝜑𝑃𝑋)
cmetcau.5 (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
cmetcau.6 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ if(𝑥 ∈ dom 𝐹, (𝐹𝑥), 𝑃))
Assertion
Ref Expression
cmetcaulem (𝜑𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝑃   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem cmetcaulem
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑚 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmetcau.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
2 cmetmet 25321 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4 metxmet 24345 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6 cmetcau.1 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
76mopntopon 24450 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
85, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
9 1z 12649 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
10 nnuz 12922 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
1110uzfbas 23907 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → (ℤ “ ℕ) ∈ (fBas‘ℕ))
129, 11mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ “ ℕ) ∈ (fBas‘ℕ))
13 fgcl 23887 . . . . . . 7 ((ℤ “ ℕ) ∈ (fBas‘ℕ) → (ℕfilGen(ℤ “ ℕ)) ∈ (Fil‘ℕ))
1412, 13syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (ℕfilGen(ℤ “ ℕ)) ∈ (Fil‘ℕ))
15 elfvdm 6942 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom CMet)
161, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ dom CMet)
17 cnex 11237 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ∈ V
1817a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℂ ∈ V)
19 cmetcau.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
20 caufpm 25317 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
215, 19, 20syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
22 elpm2g 8885 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ dom CMet ∧ ℂ ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ↔ (𝐹:dom 𝐹𝑋 ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ)))
2322simprbda 498 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ dom CMet ∧ ℂ ∈ V) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → 𝐹:dom 𝐹𝑋)
2416, 18, 21, 23syl21anc 837 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:dom 𝐹𝑋)
2524adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝐹:dom 𝐹𝑋)
2625ffvelcdmda 7103 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑋)
27 cmetcau.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃𝑋)
2827ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝑃𝑋)
2926, 28ifclda 4560 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → if(𝑥 ∈ dom 𝐹, (𝐹𝑥), 𝑃) ∈ 𝑋)
30 cmetcau.6 . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ if(𝑥 ∈ dom 𝐹, (𝐹𝑥), 𝑃))
3129, 30fmptd 7133 . . . . . 6 (𝜑𝐺:ℕ⟶𝑋)
32 flfval 23999 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (ℕfilGen(ℤ “ ℕ)) ∈ (Fil‘ℕ) ∧ 𝐺:ℕ⟶𝑋) → ((𝐽 fLimf (ℕfilGen(ℤ “ ℕ)))‘𝐺) = (𝐽 fLim ((𝑋 FilMap 𝐺)‘(ℕfilGen(ℤ “ ℕ)))))
338, 14, 31, 32syl3anc 1372 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽 fLimf (ℕfilGen(ℤ “ ℕ)))‘𝐺) = (𝐽 fLim ((𝑋 FilMap 𝐺)‘(ℕfilGen(ℤ “ ℕ)))))
34 eqid 2736 . . . . . . . 8 (ℕfilGen(ℤ “ ℕ)) = (ℕfilGen(ℤ “ ℕ))
3534fmfg 23958 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ dom CMet ∧ (ℤ “ ℕ) ∈ (fBas‘ℕ) ∧ 𝐺:ℕ⟶𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐺)‘(ℤ “ ℕ)) = ((𝑋 FilMap 𝐺)‘(ℕfilGen(ℤ “ ℕ))))
3616, 12, 31, 35syl3anc 1372 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 FilMap 𝐺)‘(ℤ “ ℕ)) = ((𝑋 FilMap 𝐺)‘(ℕfilGen(ℤ “ ℕ))))
3736oveq2d 7448 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽 fLim ((𝑋 FilMap 𝐺)‘(ℤ “ ℕ))) = (𝐽 fLim ((𝑋 FilMap 𝐺)‘(ℕfilGen(ℤ “ ℕ)))))
3833, 37eqtr4d 2779 . . . 4 (𝜑 → ((𝐽 fLimf (ℕfilGen(ℤ “ ℕ)))‘𝐺) = (𝐽 fLim ((𝑋 FilMap 𝐺)‘(ℤ “ ℕ))))
39 biidd 262 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘 ∈ dom 𝐹 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘 ∈ dom 𝐹))
40 1zzd 12650 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4110, 5, 40iscau3 25313 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑤 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑧))))
4241simplbda 499 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑤 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑧))
4319, 42mpdan 687 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑤 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑧))
44 simp1 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑤 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑧) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
4544ralimi 3082 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑤 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑧) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘 ∈ dom 𝐹)
4645reximi 3083 . . . . . . . . . 10 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑤 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑧) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘 ∈ dom 𝐹)
4746ralimi 3082 . . . . . . . . 9 (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑤 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑧) → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘 ∈ dom 𝐹)
4843, 47syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘 ∈ dom 𝐹)
49 1rp 13039 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
5049a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
5139, 48, 50rspcdva 3622 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘 ∈ dom 𝐹)
52 dfss3 3971 . . . . . . . . 9 ((ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘 ∈ dom 𝐹)
53 nnsscn 12272 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ ⊆ ℂ
5431, 53jctir 520 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺:ℕ⟶𝑋 ∧ ℕ ⊆ ℂ))
55 elpm2r 8886 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ dom CMet ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐺:ℕ⟶𝑋 ∧ ℕ ⊆ ℂ)) → 𝐺 ∈ (𝑋pm ℂ))
5616, 18, 54, 55syl21anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ (𝑋pm ℂ))
5756adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) → 𝐺 ∈ (𝑋pm ℂ))
58 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℤ𝑗) = (ℤ𝑗)
595adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
60 nnz 12636 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
6160ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) → 𝑗 ∈ ℤ)
62 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
63 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑚))
6458, 59, 61, 62, 63iscau4 25314 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧))))
6564simplbda 499 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧))
6619, 65mpidan 689 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧))
67 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) → 𝑗 ∈ ℕ)
68 eluznn 12961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑚 ∈ ℕ)
6967, 68sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑚 ∈ ℕ)
70 eluznn 12961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)) → 𝑘 ∈ ℕ)
7130, 29dmmptd 6712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → dom 𝐺 = ℕ)
7271adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) → dom 𝐺 = ℕ)
7372eleq2d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) → (𝑘 ∈ dom 𝐺𝑘 ∈ ℕ))
7473biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ dom 𝐺)
7574a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ dom 𝐹𝑘 ∈ dom 𝐺))
76 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋))
77 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧 → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧))
7875, 76, 773anim123d 1444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧) → (𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧)))
7970, 78sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚))) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧) → (𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧)))
8079anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧) → (𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧)))
8180ralimdva 3166 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧)))
8269, 81syldan 591 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧)))
8382reximdva 3167 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) → (∃𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧) → ∃𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧)))
8483ralimdv 3168 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) → (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧) → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧)))
8566, 84mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧))
86 eluznn 12961 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
8767, 86sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
88 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) → (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)
8988sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
90 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ dom 𝐹 → if(𝑘 ∈ dom 𝐹, (𝐹𝑘), 𝑃) = (𝐹𝑘))
9190adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → if(𝑘 ∈ dom 𝐹, (𝐹𝑘), 𝑃) = (𝐹𝑘))
92 fvex 6918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹𝑘) ∈ V
9391, 92eqeltrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → if(𝑘 ∈ dom 𝐹, (𝐹𝑘), 𝑃) ∈ V)
94 eleq1w 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑘 ∈ dom 𝐹))
95 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑘 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑘))
9694, 95ifbieq1d 4549 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑘 → if(𝑥 ∈ dom 𝐹, (𝐹𝑥), 𝑃) = if(𝑘 ∈ dom 𝐹, (𝐹𝑘), 𝑃))
9796, 30fvmptg 7013 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ if(𝑘 ∈ dom 𝐹, (𝐹𝑘), 𝑃) ∈ V) → (𝐺𝑘) = if(𝑘 ∈ dom 𝐹, (𝐹𝑘), 𝑃))
9893, 97syldan 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → (𝐺𝑘) = if(𝑘 ∈ dom 𝐹, (𝐹𝑘), 𝑃))
9998, 91eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → (𝐺𝑘) = (𝐹𝑘))
10087, 89, 99syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐺𝑘) = (𝐹𝑘))
10188sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑚 ∈ dom 𝐹)
10269, 101elind 4199 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑚 ∈ (ℕ ∩ dom 𝐹))
103 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑚 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑚))
104 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
105103, 104eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐺𝑘) = (𝐹𝑘) ↔ (𝐺𝑚) = (𝐹𝑚)))
106 elin 3966 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (ℕ ∩ dom 𝐹) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹))
107106, 99sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (ℕ ∩ dom 𝐹) → (𝐺𝑘) = (𝐹𝑘))
108105, 107vtoclga 3576 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (ℕ ∩ dom 𝐹) → (𝐺𝑚) = (𝐹𝑚))
109102, 108syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐺𝑚) = (𝐹𝑚))
11058, 59, 61, 100, 109iscau4 25314 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) → (𝐺 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐺 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑚)(𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑧))))
11157, 85, 110mpbir2and 713 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)) → 𝐺 ∈ (Cau‘𝐷))
112111expr 456 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹𝐺 ∈ (Cau‘𝐷)))
11352, 112biimtrrid 243 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘 ∈ dom 𝐹𝐺 ∈ (Cau‘𝐷)))
114113rexlimdva 3154 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘 ∈ dom 𝐹𝐺 ∈ (Cau‘𝐷)))
11551, 114mpd 15 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ (Cau‘𝐷))
116 eqid 2736 . . . . . . . 8 ((𝑋 FilMap 𝐺)‘(ℤ “ ℕ)) = ((𝑋 FilMap 𝐺)‘(ℤ “ ℕ))
11710, 116caucfil 25318 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝐺:ℕ⟶𝑋) → (𝐺 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ((𝑋 FilMap 𝐺)‘(ℤ “ ℕ)) ∈ (CauFil‘𝐷)))
1185, 40, 31, 117syl3anc 1372 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ((𝑋 FilMap 𝐺)‘(ℤ “ ℕ)) ∈ (CauFil‘𝐷)))
119115, 118mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 FilMap 𝐺)‘(ℤ “ ℕ)) ∈ (CauFil‘𝐷))
1206cmetcvg 25320 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐺)‘(ℤ “ ℕ)) ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐽 fLim ((𝑋 FilMap 𝐺)‘(ℤ “ ℕ))) ≠ ∅)
1211, 119, 120syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 fLim ((𝑋 FilMap 𝐺)‘(ℤ “ ℕ))) ≠ ∅)
12238, 121eqnetrd 3007 . . 3 (𝜑 → ((𝐽 fLimf (ℕfilGen(ℤ “ ℕ)))‘𝐺) ≠ ∅)
123 n0 4352 . . 3 (((𝐽 fLimf (ℕfilGen(ℤ “ ℕ)))‘𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ ((𝐽 fLimf (ℕfilGen(ℤ “ ℕ)))‘𝐺))
124122, 123sylib 218 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 𝑦 ∈ ((𝐽 fLimf (ℕfilGen(ℤ “ ℕ)))‘𝐺))
12510, 34lmflf 24014 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝐺:ℕ⟶𝑋) → (𝐺(⇝𝑡𝐽)𝑦𝑦 ∈ ((𝐽 fLimf (ℕfilGen(ℤ “ ℕ)))‘𝐺)))
1268, 40, 31, 125syl3anc 1372 . . . 4 (𝜑 → (𝐺(⇝𝑡𝐽)𝑦𝑦 ∈ ((𝐽 fLimf (ℕfilGen(ℤ “ ℕ)))‘𝐺)))
12721adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐺(⇝𝑡𝐽)𝑦) → 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
128 lmcl 23306 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐺(⇝𝑡𝐽)𝑦) → 𝑦𝑋)
1298, 128sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝐺(⇝𝑡𝐽)𝑦) → 𝑦𝑋)
1306, 5, 10, 40lmmbr3 25295 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺(⇝𝑡𝐽)𝑦 ↔ (𝐺 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑦𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧))))
131130biimpa 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐺(⇝𝑡𝐽)𝑦) → (𝐺 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑦𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)))
132131simp3d 1144 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐺(⇝𝑡𝐽)𝑦) → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧))
133 r19.26 3110 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧 ∈ ℝ+ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)) ↔ (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)))
13410rexanuz2 15389 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)) ↔ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)))
135 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧))) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
13699ad2ant2lr 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧))) → (𝐺𝑘) = (𝐹𝑘))
137 simprr2 1222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧))) → (𝐺𝑘) ∈ 𝑋)
138136, 137eqeltrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧))) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
139136oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧))) → ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) = ((𝐹𝑘)𝐷𝑦))
140 simprr3 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧))) → ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)
141139, 140eqbrtrrd 5166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧))) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)
142135, 138, 1413jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧))) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧))
143142ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)))
14486, 143sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)))
145144anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)))
146145ralimdva 3166 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)))
147146reximdva 3167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)))
148134, 147biimtrrid 243 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)))
149148ralimdv 3168 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ℝ+ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)) → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)))
150133, 149biimtrrid 243 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)) → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)))
15148, 150mpand 695 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧) → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)))
152151adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐺(⇝𝑡𝐽)𝑦) → (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧) → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧)))
153132, 152mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝐺(⇝𝑡𝐽)𝑦) → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧))
1545adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐺(⇝𝑡𝐽)𝑦) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
155 1zzd 12650 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐺(⇝𝑡𝐽)𝑦) → 1 ∈ ℤ)
1566, 154, 10, 155lmmbr3 25295 . . . . . . 7 ((𝜑𝐺(⇝𝑡𝐽)𝑦) → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑦 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑦𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑦) < 𝑧))))
157127, 129, 153, 156mpbir3and 1342 . . . . . 6 ((𝜑𝐺(⇝𝑡𝐽)𝑦) → 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑦)
158 lmrel 23239 . . . . . . 7 Rel (⇝𝑡𝐽)
159158releldmi 5958 . . . . . 6 (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑦𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
160157, 159syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐺(⇝𝑡𝐽)𝑦) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
161160ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝐺(⇝𝑡𝐽)𝑦𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)))
162126, 161sylbird 260 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝐽 fLimf (ℕfilGen(ℤ “ ℕ)))‘𝐺) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)))
163162exlimdv 1932 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 𝑦 ∈ ((𝐽 fLimf (ℕfilGen(ℤ “ ℕ)))‘𝐺) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)))
164124, 163mpd 15 1 (𝜑𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wex 1778  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3479  cin 3949  wss 3950  c0 4332  ifcif 4524   class class class wbr 5142  cmpt 5224  dom cdm 5684  cima 5687  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  pm cpm 8868  cc 11154  1c1 11157   < clt 11296  cn 12267  cz 12615  cuz 12879  +crp 13035  ∞Metcxmet 21350  Metcmet 21351  fBascfbas 21353  filGencfg 21354  MetOpencmopn 21355  TopOnctopon 22917  𝑡clm 23235  Filcfil 23854   FilMap cfm 23942   fLim cflim 23943   fLimf cflf 23944  CauFilccfil 25287  Cauccau 25288  CMetccmet 25289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ico 13394  df-rest 17468  df-topgen 17489  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-top 22901  df-topon 22918  df-bases 22954  df-ntr 23029  df-nei 23107  df-lm 23238  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-cfil 25290  df-cau 25291  df-cmet 25292
This theorem is referenced by:  cmetcau  25324
  Copyright terms: Public domain W3C validator