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Theorem cmetcaulem 24805
Description: Lemma for cmetcau 24806. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cmetcau.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
cmetcau.3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
cmetcau.4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
cmetcau.5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·))
cmetcau.6 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„• ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝐹, (πΉβ€˜π‘₯), 𝑃))
Assertion
Ref Expression
cmetcaulem (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝐽   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem cmetcaulem
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘š 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmetcau.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
2 cmetmet 24803 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
4 metxmet 23840 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
6 cmetcau.1 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
76mopntopon 23945 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
85, 7syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
9 1z 12592 . . . . . . . 8 1 ∈ β„€
10 nnuz 12865 . . . . . . . . 9 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
1110uzfbas 23402 . . . . . . . 8 (1 ∈ β„€ β†’ (β„€β‰₯ β€œ β„•) ∈ (fBasβ€˜β„•))
129, 11mp1i 13 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β„€β‰₯ β€œ β„•) ∈ (fBasβ€˜β„•))
13 fgcl 23382 . . . . . . 7 ((β„€β‰₯ β€œ β„•) ∈ (fBasβ€˜β„•) β†’ (β„•filGen(β„€β‰₯ β€œ β„•)) ∈ (Filβ€˜β„•))
1412, 13syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β„•filGen(β„€β‰₯ β€œ β„•)) ∈ (Filβ€˜β„•))
15 elfvdm 6929 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom CMet)
161, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ dom CMet)
17 cnex 11191 . . . . . . . . . . . 12 β„‚ ∈ V
1817a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ V)
19 cmetcau.5 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·))
20 caufpm 24799 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
215, 19, 20syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
22 elpm2g 8838 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ dom CMet ∧ β„‚ ∈ V) β†’ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ↔ (𝐹:dom πΉβŸΆπ‘‹ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚)))
2322simprbda 500 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ dom CMet ∧ β„‚ ∈ V) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆπ‘‹)
2416, 18, 21, 23syl21anc 837 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆπ‘‹)
2524adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆπ‘‹)
2625ffvelcdmda 7087 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋)
27 cmetcau.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
2827ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
2926, 28ifclda 4564 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ if(π‘₯ ∈ dom 𝐹, (πΉβ€˜π‘₯), 𝑃) ∈ 𝑋)
30 cmetcau.6 . . . . . . 7 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„• ↦ if(π‘₯ ∈ dom 𝐹, (πΉβ€˜π‘₯), 𝑃))
3129, 30fmptd 7114 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆπ‘‹)
32 flfval 23494 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (β„•filGen(β„€β‰₯ β€œ β„•)) ∈ (Filβ€˜β„•) ∧ 𝐺:β„•βŸΆπ‘‹) β†’ ((𝐽 fLimf (β„•filGen(β„€β‰₯ β€œ β„•)))β€˜πΊ) = (𝐽 fLim ((𝑋 FilMap 𝐺)β€˜(β„•filGen(β„€β‰₯ β€œ β„•)))))
338, 14, 31, 32syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐽 fLimf (β„•filGen(β„€β‰₯ β€œ β„•)))β€˜πΊ) = (𝐽 fLim ((𝑋 FilMap 𝐺)β€˜(β„•filGen(β„€β‰₯ β€œ β„•)))))
34 eqid 2733 . . . . . . . 8 (β„•filGen(β„€β‰₯ β€œ β„•)) = (β„•filGen(β„€β‰₯ β€œ β„•))
3534fmfg 23453 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ dom CMet ∧ (β„€β‰₯ β€œ β„•) ∈ (fBasβ€˜β„•) ∧ 𝐺:β„•βŸΆπ‘‹) β†’ ((𝑋 FilMap 𝐺)β€˜(β„€β‰₯ β€œ β„•)) = ((𝑋 FilMap 𝐺)β€˜(β„•filGen(β„€β‰₯ β€œ β„•))))
3616, 12, 31, 35syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑋 FilMap 𝐺)β€˜(β„€β‰₯ β€œ β„•)) = ((𝑋 FilMap 𝐺)β€˜(β„•filGen(β„€β‰₯ β€œ β„•))))
3736oveq2d 7425 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐽 fLim ((𝑋 FilMap 𝐺)β€˜(β„€β‰₯ β€œ β„•))) = (𝐽 fLim ((𝑋 FilMap 𝐺)β€˜(β„•filGen(β„€β‰₯ β€œ β„•)))))
3833, 37eqtr4d 2776 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐽 fLimf (β„•filGen(β„€β‰₯ β€œ β„•)))β€˜πΊ) = (𝐽 fLim ((𝑋 FilMap 𝐺)β€˜(β„€β‰₯ β€œ β„•))))
39 biidd 262 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘˜ ∈ dom 𝐹 ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘˜ ∈ dom 𝐹))
40 1zzd 12593 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
4110, 5, 40iscau3 24795 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘€ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < 𝑧))))
4241simplbda 501 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘€ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < 𝑧))
4319, 42mpdan 686 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘€ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < 𝑧))
44 simp1 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘€ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < 𝑧) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
4544ralimi 3084 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘€ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < 𝑧) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘˜ ∈ dom 𝐹)
4645reximi 3085 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘€ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < 𝑧) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘˜ ∈ dom 𝐹)
4746ralimi 3084 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘€ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) < 𝑧) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘˜ ∈ dom 𝐹)
4843, 47syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘˜ ∈ dom 𝐹)
49 1rp 12978 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
5049a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ+)
5139, 48, 50rspcdva 3614 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘˜ ∈ dom 𝐹)
52 dfss3 3971 . . . . . . . . 9 ((β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘˜ ∈ dom 𝐹)
53 nnsscn 12217 . . . . . . . . . . . . . 14 β„• βŠ† β„‚
5431, 53jctir 522 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐺:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ β„• βŠ† β„‚))
55 elpm2r 8839 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 ∈ dom CMet ∧ β„‚ ∈ V) ∧ (𝐺:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ β„• βŠ† β„‚)) β†’ 𝐺 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
5616, 18, 54, 55syl21anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
5756adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹)) β†’ 𝐺 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
58 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„€β‰₯β€˜π‘—) = (β„€β‰₯β€˜π‘—)
595adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
60 nnz 12579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ β„€)
6160ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹)) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
62 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
63 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘š))
6458, 59, 61, 62, 63iscau4 24796 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹)) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < 𝑧))))
6564simplbda 501 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹)) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < 𝑧))
6619, 65mpidan 688 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < 𝑧))
67 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹)) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
68 eluznn 12902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘š ∈ β„•)
6967, 68sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘š ∈ β„•)
70 eluznn 12902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘š ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
7130, 29dmmptd 6696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ dom 𝐺 = β„•)
7271adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹)) β†’ dom 𝐺 = β„•)
7372eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹)) β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐺 ↔ π‘˜ ∈ β„•))
7473biimpar 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐺)
7574a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐺))
76 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋))
77 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < 𝑧))
7875, 76, 773anim123d 1444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < 𝑧) β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐺 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < 𝑧)))
7970, 78sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹)) ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š))) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < 𝑧) β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐺 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < 𝑧)))
8079anassrs 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹)) ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < 𝑧) β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐺 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < 𝑧)))
8180ralimdva 3168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹)) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < 𝑧) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(π‘˜ ∈ dom 𝐺 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < 𝑧)))
8269, 81syldan 592 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < 𝑧) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(π‘˜ ∈ dom 𝐺 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < 𝑧)))
8382reximdva 3169 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹)) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < 𝑧) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(π‘˜ ∈ dom 𝐺 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < 𝑧)))
8483ralimdv 3170 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < 𝑧) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(π‘˜ ∈ dom 𝐺 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < 𝑧)))
8566, 84mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(π‘˜ ∈ dom 𝐺 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < 𝑧))
86 eluznn 12902 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
8767, 86sylan 581 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
88 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹)) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹)
8988sselda 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
90 iftrue 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ dom 𝐹 β†’ if(π‘˜ ∈ dom 𝐹, (πΉβ€˜π‘˜), 𝑃) = (πΉβ€˜π‘˜))
9190adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ dom 𝐹) β†’ if(π‘˜ ∈ dom 𝐹, (πΉβ€˜π‘˜), 𝑃) = (πΉβ€˜π‘˜))
92 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ V
9391, 92eqeltrdi 2842 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ dom 𝐹) β†’ if(π‘˜ ∈ dom 𝐹, (πΉβ€˜π‘˜), 𝑃) ∈ V)
94 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝐹 ↔ π‘˜ ∈ dom 𝐹))
95 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘˜))
9694, 95ifbieq1d 4553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = π‘˜ β†’ if(π‘₯ ∈ dom 𝐹, (πΉβ€˜π‘₯), 𝑃) = if(π‘˜ ∈ dom 𝐹, (πΉβ€˜π‘˜), 𝑃))
9796, 30fvmptg 6997 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ if(π‘˜ ∈ dom 𝐹, (πΉβ€˜π‘˜), 𝑃) ∈ V) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ dom 𝐹, (πΉβ€˜π‘˜), 𝑃))
9893, 97syldan 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ dom 𝐹) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ dom 𝐹, (πΉβ€˜π‘˜), 𝑃))
9998, 91eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ dom 𝐹) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
10087, 89, 99syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
10188sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘š ∈ dom 𝐹)
10269, 101elind 4195 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘š ∈ (β„• ∩ dom 𝐹))
103 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = π‘š β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π‘š))
104 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘š))
105103, 104eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = π‘š β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜) ↔ (πΊβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘š)))
106 elin 3965 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (β„• ∩ dom 𝐹) ↔ (π‘˜ ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ dom 𝐹))
107106, 99sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (β„• ∩ dom 𝐹) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
108105, 107vtoclga 3566 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ (β„• ∩ dom 𝐹) β†’ (πΊβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘š))
109102, 108syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹)) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΊβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘š))
11058, 59, 61, 100, 109iscau4 24796 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹)) β†’ (𝐺 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝐺 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)(π‘˜ ∈ dom 𝐺 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < 𝑧))))
11157, 85, 110mpbir2and 712 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ (β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹)) β†’ 𝐺 ∈ (Cauβ€˜π·))
112111expr 458 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((β„€β‰₯β€˜π‘—) βŠ† dom 𝐹 β†’ 𝐺 ∈ (Cauβ€˜π·)))
11352, 112biimtrrid 242 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘˜ ∈ dom 𝐹 β†’ 𝐺 ∈ (Cauβ€˜π·)))
114113rexlimdva 3156 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘˜ ∈ dom 𝐹 β†’ 𝐺 ∈ (Cauβ€˜π·)))
11551, 114mpd 15 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Cauβ€˜π·))
116 eqid 2733 . . . . . . . 8 ((𝑋 FilMap 𝐺)β€˜(β„€β‰₯ β€œ β„•)) = ((𝑋 FilMap 𝐺)β€˜(β„€β‰₯ β€œ β„•))
11710, 116caucfil 24800 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 1 ∈ β„€ ∧ 𝐺:β„•βŸΆπ‘‹) β†’ (𝐺 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ ((𝑋 FilMap 𝐺)β€˜(β„€β‰₯ β€œ β„•)) ∈ (CauFilβ€˜π·)))
1185, 40, 31, 117syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ ((𝑋 FilMap 𝐺)β€˜(β„€β‰₯ β€œ β„•)) ∈ (CauFilβ€˜π·)))
119115, 118mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑋 FilMap 𝐺)β€˜(β„€β‰₯ β€œ β„•)) ∈ (CauFilβ€˜π·))
1206cmetcvg 24802 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐺)β€˜(β„€β‰₯ β€œ β„•)) ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ (𝐽 fLim ((𝑋 FilMap 𝐺)β€˜(β„€β‰₯ β€œ β„•))) β‰  βˆ…)
1211, 119, 120syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐽 fLim ((𝑋 FilMap 𝐺)β€˜(β„€β‰₯ β€œ β„•))) β‰  βˆ…)
12238, 121eqnetrd 3009 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐽 fLimf (β„•filGen(β„€β‰₯ β€œ β„•)))β€˜πΊ) β‰  βˆ…)
123 n0 4347 . . 3 (((𝐽 fLimf (β„•filGen(β„€β‰₯ β€œ β„•)))β€˜πΊ) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ ((𝐽 fLimf (β„•filGen(β„€β‰₯ β€œ β„•)))β€˜πΊ))
124122, 123sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ ((𝐽 fLimf (β„•filGen(β„€β‰₯ β€œ β„•)))β€˜πΊ))
12510, 34lmflf 23509 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 1 ∈ β„€ ∧ 𝐺:β„•βŸΆπ‘‹) β†’ (𝐺(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦 ↔ 𝑦 ∈ ((𝐽 fLimf (β„•filGen(β„€β‰₯ β€œ β„•)))β€˜πΊ)))
1268, 40, 31, 125syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦 ↔ 𝑦 ∈ ((𝐽 fLimf (β„•filGen(β„€β‰₯ β€œ β„•)))β€˜πΊ)))
12721adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐺(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
128 lmcl 22801 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐺(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
1298, 128sylan 581 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐺(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
1306, 5, 10, 40lmmbr3 24777 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐺(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦 ↔ (𝐺 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧))))
131130biimpa 478 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐺(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ (𝐺 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧)))
132131simp3d 1145 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐺(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧))
133 r19.26 3112 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧)) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧)))
13410rexanuz2 15296 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧)) ↔ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧)))
135 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧))) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
13699ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧))) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
137 simprr2 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧))) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
138136, 137eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
139136oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧))) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑦))
140 simprr3 1224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧))) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧)
141139, 140eqbrtrrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧))) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧)
142135, 138, 1413jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧))) β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧))
143142ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧)) β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧)))
14486, 143sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧)) β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧)))
145144anassrs 469 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧)) β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧)))
146145ralimdva 3168 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧)))
147146reximdva 3169 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (π‘˜ ∈ dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧)))
148134, 147biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧)))
149148ralimdv 3170 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧)))
150133, 149biimtrrid 242 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧)))
15148, 150mpand 694 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧)))
152151adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐺(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧)))
153132, 152mpd 15 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐺(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧))
1545adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐺(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
155 1zzd 12593 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐺(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ 1 ∈ β„€)
1566, 154, 10, 155lmmbr3 24777 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐺(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) < 𝑧))))
157127, 129, 153, 156mpbir3and 1343 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐺(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦)
158 lmrel 22734 . . . . . . 7 Rel (β‡π‘‘β€˜π½)
159158releldmi 5948 . . . . . 6 (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦 β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
160157, 159syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐺(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦) β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
161160ex 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺(β‡π‘‘β€˜π½)𝑦 β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½)))
162126, 161sylbird 260 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ((𝐽 fLimf (β„•filGen(β„€β‰₯ β€œ β„•)))β€˜πΊ) β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½)))
163162exlimdv 1937 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ ((𝐽 fLimf (β„•filGen(β„€β‰₯ β€œ β„•)))β€˜πΊ) β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½)))
164124, 163mpd 15 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑pm cpm 8821  β„‚cc 11108  1c1 11111   < clt 11248  β„•cn 12212  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  βˆžMetcxmet 20929  Metcmet 20930  fBascfbas 20932  filGencfg 20933  MetOpencmopn 20934  TopOnctopon 22412  β‡π‘‘clm 22730  Filcfil 23349   FilMap cfm 23437   fLim cflim 23438   fLimf cflf 23439  CauFilccfil 24769  Cauccau 24770  CMetccmet 24771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ico 13330  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-ntr 22524  df-nei 22602  df-lm 22733  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-cfil 24772  df-cau 24773  df-cmet 24774
This theorem is referenced by:  cmetcau  24806
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