Theorem cmetmet 25520

Description: A complete metric space is a metric space. (Contributed by NM, 18-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cmetmet	⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem cmetmet

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
2	1	iscmet 25518	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑓) ≠ ∅))
3	2	simplbi 502	1 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∅c0 4282  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Metcmet 21577  MetOpencmopn 21581   fLim cflim 24166  CauFilccfil 25486  CMetccmet 25488

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7420  df-cmet 25491

This theorem is used by:  cmetmeti  25521  cmetcaulem  25522  cmetcau  25523  iscmet2  25528  metsscmetcld  25549  cmetss  25550  bcthlem2  25559  bcthlem3  25560  bcthlem4  25561  bcthlem5  25562  bcth2  25564  bcth3  25565  cmetcusp1  25587  cmetcusp  25588  minveclem3  25663  ubthlem1  31359  ubthlem2  31360  hlmet  31384  fmcncfil  34449  heiborlem3  38571  heiborlem6  38574  heiborlem8  38576  heiborlem9  38577  heiborlem10  38578  heibor  38579  bfplem1  38580  bfplem2  38581  bfp  38582