Theorem cmetmet 25214

Description: A complete metric space is a metric space. (Contributed by NM, 18-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cmetmet	⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem cmetmet

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
2	1	iscmet 25212	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑓) ≠ ∅))
3	2	simplbi 497	1 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∅c0 4283  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Metcmet 21278  MetOpencmopn 21282   fLim cflim 23850  CauFilccfil 25180  CMetccmet 25182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-ov 7349  df-cmet 25185

This theorem is referenced by:  cmetmeti  25215  cmetcaulem  25216  cmetcau  25217  iscmet2  25222  metsscmetcld  25243  cmetss  25244  bcthlem2  25253  bcthlem3  25254  bcthlem4  25255  bcthlem5  25256  bcth2  25258  bcth3  25259  cmetcusp1  25281  cmetcusp  25282  minveclem3  25357  ubthlem1  30848  ubthlem2  30849  hlmet  30873  fmcncfil  33942  heiborlem3  37859  heiborlem6  37862  heiborlem8  37864  heiborlem9  37865  heiborlem10  37866  heibor  37867  bfplem1  37868  bfplem2  37869  bfp  37870