Theorem cmetmet 25587

Description: A complete metric space is a metric space. (Contributed by NM, 18-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cmetmet	⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem cmetmet

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
2	1	iscmet 25585	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑓) ≠ ∅))
3	2	simplbi 502	1 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∅c0 4279  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Metcmet 21644  MetOpencmopn 21648   fLim cflim 24233  CauFilccfil 25553  CMetccmet 25555

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fv 6539  df-ov 7415  df-cmet 25558

This theorem is used by:  cmetmeti  25588  cmetcaulem  25589  cmetcau  25590  iscmet2  25595  metsscmetcld  25616  cmetss  25617  bcthlem2  25626  bcthlem3  25627  bcthlem4  25628  bcthlem5  25629  bcth2  25631  bcth3  25632  cmetcusp1  25654  cmetcusp  25655  minveclem3  25730  ubthlem1  31454  ubthlem2  31455  hlmet  31479  fmcncfil  34545  heiborlem3  38715  heiborlem6  38718  heiborlem8  38720  heiborlem9  38721  heiborlem10  38722  heibor  38723  bfplem1  38724  bfplem2  38725  bfp  38726