Theorem cmetmet 25263

Description: A complete metric space is a metric space. (Contributed by NM, 18-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cmetmet	⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem cmetmet

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
2	1	iscmet 25261	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑓) ≠ ∅))
3	2	simplbi 496	1 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∅c0 4274  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Metcmet 21330  MetOpencmopn 21334   fLim cflim 23909  CauFilccfil 25229  CMetccmet 25231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7363  df-cmet 25234

This theorem is referenced by:  cmetmeti  25264  cmetcaulem  25265  cmetcau  25266  iscmet2  25271  metsscmetcld  25292  cmetss  25293  bcthlem2  25302  bcthlem3  25303  bcthlem4  25304  bcthlem5  25305  bcth2  25307  bcth3  25308  cmetcusp1  25330  cmetcusp  25331  minveclem3  25406  ubthlem1  30956  ubthlem2  30957  hlmet  30981  fmcncfil  34091  heiborlem3  38148  heiborlem6  38151  heiborlem8  38153  heiborlem9  38154  heiborlem10  38155  heibor  38156  bfplem1  38157  bfplem2  38158  bfp  38159