Theorem cmetmet 25426

Description: A complete metric space is a metric space. (Contributed by NM, 18-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cmetmet	⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem cmetmet

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
2	1	iscmet 25424	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑓) ≠ ∅))
3	2	simplbi 501	1 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∅c0 4287  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Metcmet 21489  MetOpencmopn 21493   fLim cflim 24072  CauFilccfil 25392  CMetccmet 25394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-ov 7415  df-cmet 25397

This theorem is referenced by:  cmetmeti  25427  cmetcaulem  25428  cmetcau  25429  iscmet2  25434  metsscmetcld  25455  cmetss  25456  bcthlem2  25465  bcthlem3  25466  bcthlem4  25467  bcthlem5  25468  bcth2  25470  bcth3  25471  cmetcusp1  25493  cmetcusp  25494  minveclem3  25569  ubthlem1  31203  ubthlem2  31204  hlmet  31228  fmcncfil  34302  heiborlem3  38445  heiborlem6  38448  heiborlem8  38450  heiborlem9  38451  heiborlem10  38452  heibor  38453  bfplem1  38454  bfplem2  38455  bfp  38456