Theorem cmetmet 25216

Description: A complete metric space is a metric space. (Contributed by NM, 18-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cmetmet	⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem cmetmet

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
2	1	iscmet 25214	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑓) ≠ ∅))
3	2	simplbi 497	1 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048  ∅c0 4282  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  Metcmet 21281  MetOpencmopn 21285   fLim cflim 23852  CauFilccfil 25182  CMetccmet 25184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fv 6496  df-ov 7357  df-cmet 25187

This theorem is referenced by:  cmetmeti  25217  cmetcaulem  25218  cmetcau  25219  iscmet2  25224  metsscmetcld  25245  cmetss  25246  bcthlem2  25255  bcthlem3  25256  bcthlem4  25257  bcthlem5  25258  bcth2  25260  bcth3  25261  cmetcusp1  25283  cmetcusp  25284  minveclem3  25359  ubthlem1  30854  ubthlem2  30855  hlmet  30879  fmcncfil  33967  heiborlem3  37876  heiborlem6  37879  heiborlem8  37881  heiborlem9  37882  heiborlem10  37883  heibor  37884  bfplem1  37885  bfplem2  37886  bfp  37887