Theorem cmetmet 25613

Description: A complete metric space is a metric space. (Contributed by NM, 18-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cmetmet	⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem cmetmet

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
2	1	iscmet 25611	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑓) ≠ ∅))
3	2	simplbi 502	1 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∅c0 4278  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Metcmet 21670  MetOpencmopn 21674   fLim cflim 24259  CauFilccfil 25579  CMetccmet 25581

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fv 6547  df-ov 7424  df-cmet 25584

This theorem is used by:  cmetmeti  25614  cmetcaulem  25615  cmetcau  25616  iscmet2  25621  metsscmetcld  25642  cmetss  25643  bcthlem2  25652  bcthlem3  25653  bcthlem4  25654  bcthlem5  25655  bcth2  25657  bcth3  25658  cmetcusp1  25680  cmetcusp  25681  minveclem3  25756  ubthlem1  31478  ubthlem2  31479  hlmet  31503  fmcncfil  34610  heiborlem3  38841  heiborlem6  38844  heiborlem8  38846  heiborlem9  38847  heiborlem10  38848  heibor  38849  bfplem1  38850  bfplem2  38851  bfp  38852