Theorem cmetmet 25238

Description: A complete metric space is a metric space. (Contributed by NM, 18-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cmetmet	⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem cmetmet

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
2	1	iscmet 25236	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑓) ≠ ∅))
3	2	simplbi 497	1 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∅c0 4308  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Metcmet 21301  MetOpencmopn 21305   fLim cflim 23872  CauFilccfil 25204  CMetccmet 25206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fv 6539  df-ov 7408  df-cmet 25209

This theorem is referenced by:  cmetmeti  25239  cmetcaulem  25240  cmetcau  25241  iscmet2  25246  metsscmetcld  25267  cmetss  25268  bcthlem2  25277  bcthlem3  25278  bcthlem4  25279  bcthlem5  25280  bcth2  25282  bcth3  25283  cmetcusp1  25305  cmetcusp  25306  minveclem3  25381  ubthlem1  30851  ubthlem2  30852  hlmet  30876  fmcncfil  33962  heiborlem3  37837  heiborlem6  37840  heiborlem8  37842  heiborlem9  37843  heiborlem10  37844  heibor  37845  bfplem1  37846  bfplem2  37847  bfp  37848