Theorem cmetmet 25482

Description: A complete metric space is a metric space. (Contributed by NM, 18-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cmetmet	⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem cmetmet

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . 3 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
2	1	iscmet 25480	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑓) ≠ ∅))
3	2	simplbi 502	1 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082  ∅c0 4289  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Metcmet 21545  MetOpencmopn 21549   fLim cflim 24128  CauFilccfil 25448  CMetccmet 25450

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7426  df-cmet 25453

This theorem is used by:  cmetmeti  25483  cmetcaulem  25484  cmetcau  25485  iscmet2  25490  metsscmetcld  25511  cmetss  25512  bcthlem2  25521  bcthlem3  25522  bcthlem4  25523  bcthlem5  25524  bcth2  25526  bcth3  25527  cmetcusp1  25549  cmetcusp  25550  minveclem3  25625  ubthlem1  31259  ubthlem2  31260  hlmet  31284  fmcncfil  34352  heiborlem3  38505  heiborlem6  38508  heiborlem8  38510  heiborlem9  38511  heiborlem10  38512  heibor  38513  bfplem1  38514  bfplem2  38515  bfp  38516