Theorem cmetmet 24687

Description: A complete metric space is a metric space. (Contributed by NM, 18-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cmetmet	⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem cmetmet

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
2	1	iscmet 24685	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑓) ≠ ∅))
3	2	simplbi 498	1 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∅c0 4287  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  Metcmet 20819  MetOpencmopn 20823   fLim cflim 23322  CauFilccfil 24653  CMetccmet 24655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fv 6509  df-ov 7365  df-cmet 24658

This theorem is referenced by:  cmetmeti  24688  cmetcaulem  24689  cmetcau  24690  iscmet2  24695  metsscmetcld  24716  cmetss  24717  bcthlem2  24726  bcthlem3  24727  bcthlem4  24728  bcthlem5  24729  bcth2  24731  bcth3  24732  cmetcusp1  24754  cmetcusp  24755  minveclem3  24830  ubthlem1  29875  ubthlem2  29876  hlmet  29900  fmcncfil  32601  heiborlem3  36345  heiborlem6  36348  heiborlem8  36350  heiborlem9  36351  heiborlem10  36352  heibor  36353  bfplem1  36354  bfplem2  36355  bfp  36356