Theorem cmetmet 25278

Description: A complete metric space is a metric space. (Contributed by NM, 18-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cmetmet	⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem cmetmet

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
2	1	iscmet 25276	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑓) ≠ ∅))
3	2	simplbi 497	1 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  ∅c0 4268  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Metcmet 21340  MetOpencmopn 21344   fLim cflim 23924  CauFilccfil 25244  CMetccmet 25246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7366  df-cmet 25249

This theorem is referenced by:  cmetmeti  25279  cmetcaulem  25280  cmetcau  25281  iscmet2  25286  metsscmetcld  25307  cmetss  25308  bcthlem2  25317  bcthlem3  25318  bcthlem4  25319  bcthlem5  25320  bcth2  25322  bcth3  25323  cmetcusp1  25345  cmetcusp  25346  minveclem3  25421  ubthlem1  30966  ubthlem2  30967  hlmet  30991  fmcncfil  34122  heiborlem3  38187  heiborlem6  38190  heiborlem8  38192  heiborlem9  38193  heiborlem10  38194  heibor  38195  bfplem1  38196  bfplem2  38197  bfp  38198