MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dflim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dflim2 6440
Description: An alternate definition of a limit ordinal. (Contributed by NM, 4-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
dflim2 (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴𝐴 = 𝐴))

Proof of Theorem dflim2
StepHypRef Expression
1 df-lim 6388 . 2 (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴))
2 ord0eln0 6438 . . . . 5 (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
32anbi1d 631 . . . 4 (Ord 𝐴 → ((∅ ∈ 𝐴𝐴 = 𝐴) ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴)))
43pm5.32i 574 . . 3 ((Ord 𝐴 ∧ (∅ ∈ 𝐴𝐴 = 𝐴)) ↔ (Ord 𝐴 ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴)))
5 3anass 1094 . . 3 ((Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴𝐴 = 𝐴) ↔ (Ord 𝐴 ∧ (∅ ∈ 𝐴𝐴 = 𝐴)))
6 3anass 1094 . . 3 ((Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴) ↔ (Ord 𝐴 ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴)))
74, 5, 63bitr4i 303 . 2 ((Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴𝐴 = 𝐴) ↔ (Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴))
81, 7bitr4i 278 1 (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴𝐴 = 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  c0 4332   cuni 4906  Ord word 6382  Lim wlim 6384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-sb 2064  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-tr 5259  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-ord 6386  df-lim 6388
This theorem is referenced by:  nlim0  6442  dflim4  7870  nlimsuc  43459
  Copyright terms: Public domain W3C validator