MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dflim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dflim2 6443
Description: An alternate definition of a limit ordinal. (Contributed by NM, 4-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
dflim2 (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴𝐴 = 𝐴))

Proof of Theorem dflim2
StepHypRef Expression
1 df-lim 6391 . 2 (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴))
2 ord0eln0 6441 . . . . 5 (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
32anbi1d 631 . . . 4 (Ord 𝐴 → ((∅ ∈ 𝐴𝐴 = 𝐴) ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴)))
43pm5.32i 574 . . 3 ((Ord 𝐴 ∧ (∅ ∈ 𝐴𝐴 = 𝐴)) ↔ (Ord 𝐴 ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴)))
5 3anass 1094 . . 3 ((Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴𝐴 = 𝐴) ↔ (Ord 𝐴 ∧ (∅ ∈ 𝐴𝐴 = 𝐴)))
6 3anass 1094 . . 3 ((Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴) ↔ (Ord 𝐴 ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴)))
74, 5, 63bitr4i 303 . 2 ((Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴𝐴 = 𝐴) ↔ (Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴))
81, 7bitr4i 278 1 (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴𝐴 = 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  c0 4339   cuni 4912  Ord word 6385  Lim wlim 6387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-ord 6389  df-lim 6391
This theorem is referenced by:  nlim0  6445  dflim4  7869  nlimsuc  43431
  Copyright terms: Public domain W3C validator