Theorem dflim2 5963

Description: An alternate definition of a limit ordinal. (Contributed by NM, 4-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dflim2	⊢ (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴))

Proof of Theorem dflim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lim 5912	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴))
2		ord0eln0 5961	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3	2	anbi1d 623	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴) ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴)))
4	3	pm5.32i 570	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ (∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴)) ↔ (Ord 𝐴 ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴)))
5		3anass 1116	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴) ↔ (Ord 𝐴 ∧ (∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴)))
6		3anass 1116	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴) ↔ (Ord 𝐴 ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴)))
7	4, 5, 6	3bitr4i 294	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴) ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴))
8	1, 7	bitr4i 269	1 ⊢ (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 197   ∧ wa 384   ∧ w3a 1107   = wceq 1652   ∈ wcel 2155   ≠ wne 2936  ∅c0 4078  ∪ cuni 4593  Ord word 5906  Lim wlim 5908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pr 5061

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-ral 3059  df-rex 3060  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-op 4340  df-uni 4594  df-br 4809  df-opab 4871  df-tr 4911  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-ord 5910  df-lim 5912

This theorem is referenced by:  nlim0  5965  dflim4  7245