MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dflim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dflim2 6129
Description: An alternate definition of a limit ordinal. (Contributed by NM, 4-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
dflim2 (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴𝐴 = 𝐴))

Proof of Theorem dflim2
StepHypRef Expression
1 df-lim 6078 . 2 (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴))
2 ord0eln0 6127 . . . . 5 (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
32anbi1d 629 . . . 4 (Ord 𝐴 → ((∅ ∈ 𝐴𝐴 = 𝐴) ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴)))
43pm5.32i 575 . . 3 ((Ord 𝐴 ∧ (∅ ∈ 𝐴𝐴 = 𝐴)) ↔ (Ord 𝐴 ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴)))
5 3anass 1088 . . 3 ((Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴𝐴 = 𝐴) ↔ (Ord 𝐴 ∧ (∅ ∈ 𝐴𝐴 = 𝐴)))
6 3anass 1088 . . 3 ((Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴) ↔ (Ord 𝐴 ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴)))
74, 5, 63bitr4i 304 . 2 ((Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴𝐴 = 𝐴) ↔ (Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴))
81, 7bitr4i 279 1 (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴𝐴 = 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wcel 2083  wne 2986  c0 4217   cuni 4751  Ord word 6072  Lim wlim 6074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pr 5228
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-br 4969  df-opab 5031  df-tr 5071  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-ord 6076  df-lim 6078
This theorem is referenced by:  nlim0  6131  dflim4  7426
  Copyright terms: Public domain W3C validator