Theorem dflim2 6420

Description: An alternate definition of a limit ordinal. (Contributed by NM, 4-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dflim2	⊢ (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴))

Proof of Theorem dflim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lim 6368	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴))
2		ord0eln0 6418	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3	2	anbi1d 628	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴) ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴)))
4	3	pm5.32i 573	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ (∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴)) ↔ (Ord 𝐴 ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴)))
5		3anass 1093	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴) ↔ (Ord 𝐴 ∧ (∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴)))
6		3anass 1093	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴) ↔ (Ord 𝐴 ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴)))
7	4, 5, 6	3bitr4i 302	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴) ↔ (Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴))
8	1, 7	bitr4i 277	1 ⊢ (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∪ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ∅c0 4321  ∪ cuni 4907  Ord word 6362  Lim wlim 6364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-tr 5265  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-ord 6366  df-lim 6368

This theorem is referenced by:  nlim0  6422  dflim4  7839  nlimsuc  42494