MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dflim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dflim2 6433
Description: An alternate definition of a limit ordinal. (Contributed by NM, 4-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
dflim2 (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴𝐴 = 𝐴))

Proof of Theorem dflim2
StepHypRef Expression
1 df-lim 6381 . 2 (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴))
2 ord0eln0 6431 . . . . 5 (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
32anbi1d 629 . . . 4 (Ord 𝐴 → ((∅ ∈ 𝐴𝐴 = 𝐴) ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴)))
43pm5.32i 573 . . 3 ((Ord 𝐴 ∧ (∅ ∈ 𝐴𝐴 = 𝐴)) ↔ (Ord 𝐴 ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴)))
5 3anass 1092 . . 3 ((Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴𝐴 = 𝐴) ↔ (Ord 𝐴 ∧ (∅ ∈ 𝐴𝐴 = 𝐴)))
6 3anass 1092 . . 3 ((Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴) ↔ (Ord 𝐴 ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴)))
74, 5, 63bitr4i 302 . 2 ((Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴𝐴 = 𝐴) ↔ (Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴))
81, 7bitr4i 277 1 (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴𝐴 = 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  c0 4325   cuni 4913  Ord word 6375  Lim wlim 6377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-tr 5271  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-ord 6379  df-lim 6381
This theorem is referenced by:  nlim0  6435  dflim4  7858  nlimsuc  43108
  Copyright terms: Public domain W3C validator