Theorem on0eln0 6374

Description: An ordinal number contains zero iff it is nonzero. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
on0eln0	⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem on0eln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6327	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ord0eln0 6373	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∅c0 4285  Ord word 6316  Oncon0 6317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-tr 5206  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-ord 6320  df-on 6321

This theorem is referenced by:  ondif1  8428  oe0lem  8440  oevn0  8442  oa00  8486  omord  8495  om00  8502  om00el  8503  omeulem1  8509  omeulem2  8510  oewordri  8520  oeordsuc  8522  oelim2  8523  oeoa  8525  oeoe  8527  oeeui  8530  omabs  8579  omxpenlem  9006  cantnff  9583  cantnfp1  9590  cantnflem1d  9597  cantnflem1  9598  cantnflem3  9600  cantnflem4  9601  cantnf  9602  cnfcomlem  9608  cnfcom3  9613  r1tskina  10693  onsucconni  36631  onint1  36643  frlmpwfi  43336  omge1  43535  omge2  43536  omlim2  43537  omord2lim  43538  omord2i  43539  dflim5  43567  tfsconcatb0  43582  tfsconcat0b  43584  oaun3lem1  43612  naddwordnexlem4  43639  omltoe  43644