Theorem on0eln0 6374

Description: An ordinal number contains zero iff it is nonzero. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
on0eln0	⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem on0eln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6327	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ord0eln0 6373	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4274  Ord word 6316  Oncon0 6317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-ord 6320  df-on 6321

This theorem is referenced by:  ondif1  8429  oe0lem  8441  oevn0  8443  oa00  8487  omord  8496  om00  8503  om00el  8504  omeulem1  8510  omeulem2  8511  oewordri  8521  oeordsuc  8523  oelim2  8524  oeoa  8526  oeoe  8528  oeeui  8531  omabs  8580  omxpenlem  9009  cantnff  9586  cantnfp1  9593  cantnflem1d  9600  cantnflem1  9601  cantnflem3  9603  cantnflem4  9604  cantnf  9605  cnfcomlem  9611  cnfcom3  9616  r1tskina  10696  onsucconni  36635  onint1  36647  frlmpwfi  43544  omge1  43743  omge2  43744  omlim2  43745  omord2lim  43746  omord2i  43747  dflim5  43775  tfsconcatb0  43790  tfsconcat0b  43792  oaun3lem1  43820  naddwordnexlem4  43847  omltoe  43852