Theorem on0eln0 6375

Description: An ordinal number contains zero iff it is nonzero. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
on0eln0	⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem on0eln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6328	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ord0eln0 6374	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4286  Ord word 6317  Oncon0 6318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-tr 5207  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-ord 6321  df-on 6322

This theorem is referenced by:  ondif1  8430  oe0lem  8442  oevn0  8444  oa00  8488  omord  8497  om00  8504  om00el  8505  omeulem1  8511  omeulem2  8512  oewordri  8522  oeordsuc  8524  oelim2  8525  oeoa  8527  oeoe  8529  oeeui  8532  omabs  8581  omxpenlem  9010  cantnff  9587  cantnfp1  9594  cantnflem1d  9601  cantnflem1  9602  cantnflem3  9604  cantnflem4  9605  cantnf  9606  cnfcomlem  9612  cnfcom3  9617  r1tskina  10697  onsucconni  36612  onint1  36624  frlmpwfi  43382  omge1  43581  omge2  43582  omlim2  43583  omord2lim  43584  omord2i  43585  dflim5  43613  tfsconcatb0  43628  tfsconcat0b  43630  oaun3lem1  43658  naddwordnexlem4  43685  omltoe  43690