Theorem on0eln0 6382

Description: An ordinal number contains zero iff it is nonzero. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
on0eln0	⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem on0eln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6335	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ord0eln0 6381	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4287  Ord word 6324  Oncon0 6325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-ord 6328  df-on 6329

This theorem is referenced by:  ondif1  8438  oe0lem  8450  oevn0  8452  oa00  8496  omord  8505  om00  8512  om00el  8513  omeulem1  8519  omeulem2  8520  oewordri  8530  oeordsuc  8532  oelim2  8533  oeoa  8535  oeoe  8537  oeeui  8540  omabs  8589  omxpenlem  9018  cantnff  9595  cantnfp1  9602  cantnflem1d  9609  cantnflem1  9610  cantnflem3  9612  cantnflem4  9613  cantnf  9614  cnfcomlem  9620  cnfcom3  9625  r1tskina  10705  onsucconni  36650  onint1  36662  frlmpwfi  43449  omge1  43648  omge2  43649  omlim2  43650  omord2lim  43651  omord2i  43652  dflim5  43680  tfsconcatb0  43695  tfsconcat0b  43697  oaun3lem1  43725  naddwordnexlem4  43752  omltoe  43757