MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  on0eln0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem on0eln0 5963
Description: An ordinal number contains zero iff it is nonzero. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
on0eln0 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem on0eln0
StepHypRef Expression
1 eloni 5918 . 2 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2 ord0eln0 5962 . 2 (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
31, 2syl 17 1 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wcel 2155  wne 2937  c0 4079  Ord word 5907  Oncon0 5908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pr 5062
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-tr 4912  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-ord 5911  df-on 5912
This theorem is referenced by:  ondif1  7786  oe0lem  7798  oevn0  7800  oa00  7844  omord  7853  om00  7860  om00el  7861  omeulem1  7867  omeulem2  7868  oewordri  7877  oeordsuc  7879  oelim2  7880  oeoa  7882  oeoe  7884  oeeui  7887  omabs  7932  omxpenlem  8268  cantnff  8786  cantnfp1lem2  8791  cantnfp1lem3  8792  cantnfp1  8793  cantnflem1d  8800  cantnflem1  8801  cantnflem3  8803  cantnflem4  8804  cantnf  8805  cnfcomlem  8811  cnfcom3  8816  r1tskina  9857  onsucconni  32875  onint1  32887  frlmpwfi  38345
  Copyright terms: Public domain W3C validator