Theorem on0eln0 6420

Description: An ordinal number contains zero iff it is nonzero. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
on0eln0	⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem on0eln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6372	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ord0eln0 6419	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∅c0 4287  Ord word 6361  Oncon0 6362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-tr 5220  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-ord 6365  df-on 6366

This theorem is referenced by:  ondif1  8487  oe0lem  8499  oevn0  8501  oa00  8545  omord  8554  om00  8561  om00el  8562  omeulem1  8568  omeulem2  8569  oewordri  8579  oeordsuc  8581  oelim2  8582  oeoa  8584  oeoe  8586  oeeui  8589  omabs  8638  omxpenlem  9067  cantnff  9644  cantnfp1  9651  cantnflem1d  9658  cantnflem1  9659  cantnflem3  9661  cantnflem4  9662  cantnf  9663  cnfcomlem  9669  cnfcom3  9674  r1tskina  10768  onsucconni  36929  onint1  36941  frlmpwfi  43808  omge1  44007  omge2  44008  omlim2  44009  omord2lim  44010  omord2i  44011  dflim5  44039  tfsconcatb0  44054  tfsconcat0b  44056  oaun3lem1  44084  naddwordnexlem4  44111  omltoe  44116