Theorem on0eln0 6374

Description: An ordinal number contains zero iff it is nonzero. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
on0eln0	⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem on0eln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6327	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ord0eln0 6373	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∅c0 4268  Ord word 6316  Oncon0 6317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-tr 5187  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-ord 6320  df-on 6321

This theorem is referenced by:  ondif1  8433  oe0lem  8445  oevn0  8447  oa00  8491  omord  8500  om00  8507  om00el  8508  omeulem1  8514  omeulem2  8515  oewordri  8525  oeordsuc  8527  oelim2  8528  oeoa  8530  oeoe  8532  oeeui  8535  omabs  8584  omxpenlem  9013  cantnff  9593  cantnfp1  9600  cantnflem1d  9607  cantnflem1  9608  cantnflem3  9610  cantnflem4  9611  cantnf  9612  cnfcomlem  9618  cnfcom3  9623  r1tskina  10703  onsucconni  36672  onint1  36684  frlmpwfi  43550  omge1  43749  omge2  43750  omlim2  43751  omord2lim  43752  omord2i  43753  dflim5  43781  tfsconcatb0  43796  tfsconcat0b  43798  oaun3lem1  43826  naddwordnexlem4  43853  omltoe  43858