Theorem on0eln0 6451

Description: An ordinal number contains zero iff it is nonzero. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
on0eln0	⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem on0eln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6405	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ord0eln0 6450	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∅c0 4352  Ord word 6394  Oncon0 6395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-tr 5284  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-ord 6398  df-on 6399

This theorem is referenced by:  ondif1  8557  oe0lem  8569  oevn0  8571  oa00  8615  omord  8624  om00  8631  om00el  8632  omeulem1  8638  omeulem2  8639  oewordri  8648  oeordsuc  8650  oelim2  8651  oeoa  8653  oeoe  8655  oeeui  8658  omabs  8707  omxpenlem  9139  cantnff  9743  cantnfp1  9750  cantnflem1d  9757  cantnflem1  9758  cantnflem3  9760  cantnflem4  9761  cantnf  9762  cnfcomlem  9768  cnfcom3  9773  r1tskina  10851  onsucconni  36403  onint1  36415  frlmpwfi  43055  omge1  43259  omge2  43260  omlim2  43261  omord2lim  43262  omord2i  43263  dflim5  43291  tfsconcatb0  43306  tfsconcat0b  43308  oaun3lem1  43336  naddwordnexlem4  43363  omltoe  43369