MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  on0eln0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem on0eln0 6239
Description: An ordinal number contains zero iff it is nonzero. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
on0eln0 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem on0eln0
StepHypRef Expression
1 eloni 6194 . 2 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2 ord0eln0 6238 . 2 (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
31, 2syl 17 1 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wcel 2105  wne 3013  c0 4288  Ord word 6183  Oncon0 6184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-tr 5164  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-ord 6187  df-on 6188
This theorem is referenced by:  ondif1  8115  oe0lem  8127  oevn0  8129  oa00  8174  omord  8183  om00  8190  om00el  8191  omeulem1  8197  omeulem2  8198  oewordri  8207  oeordsuc  8209  oelim2  8210  oeoa  8212  oeoe  8214  oeeui  8217  omabs  8263  omxpenlem  8606  cantnff  9125  cantnfp1  9132  cantnflem1d  9139  cantnflem1  9140  cantnflem3  9142  cantnflem4  9143  cantnf  9144  cnfcomlem  9150  cnfcom3  9155  r1tskina  10192  onsucconni  33682  onint1  33694  frlmpwfi  39576
  Copyright terms: Public domain W3C validator