Theorem on0eln0 6421

Description: An ordinal number contains zero iff it is nonzero. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
on0eln0	⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem on0eln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6375	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ord0eln0 6420	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∅c0 4323  Ord word 6364  Oncon0 6365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-ord 6368  df-on 6369

This theorem is referenced by:  ondif1  8501  oe0lem  8513  oevn0  8515  oa00  8559  omord  8568  om00  8575  om00el  8576  omeulem1  8582  omeulem2  8583  oewordri  8592  oeordsuc  8594  oelim2  8595  oeoa  8597  oeoe  8599  oeeui  8602  omabs  8650  omxpenlem  9073  cantnff  9669  cantnfp1  9676  cantnflem1d  9683  cantnflem1  9684  cantnflem3  9686  cantnflem4  9687  cantnf  9688  cnfcomlem  9694  cnfcom3  9699  r1tskina  10777  onsucconni  35322  onint1  35334  frlmpwfi  41840  omge1  42047  omge2  42048  omlim2  42049  omord2lim  42050  omord2i  42051  dflim5  42079  tfsconcatb0  42094  tfsconcat0b  42096  oaun3lem1  42124  naddwordnexlem4  42152  omltoe  42158