Theorem on0eln0 6368

Description: An ordinal number contains zero iff it is nonzero. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
on0eln0	⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem on0eln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6321	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ord0eln0 6367	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∅c0 4282  Ord word 6310  Oncon0 6311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-tr 5201  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-ord 6314  df-on 6315

This theorem is referenced by:  ondif1  8422  oe0lem  8434  oevn0  8436  oa00  8480  omord  8489  om00  8496  om00el  8497  omeulem1  8503  omeulem2  8504  oewordri  8513  oeordsuc  8515  oelim2  8516  oeoa  8518  oeoe  8520  oeeui  8523  omabs  8572  omxpenlem  8998  cantnff  9571  cantnfp1  9578  cantnflem1d  9585  cantnflem1  9586  cantnflem3  9588  cantnflem4  9589  cantnf  9590  cnfcomlem  9596  cnfcom3  9601  r1tskina  10680  onsucconni  36502  onint1  36514  frlmpwfi  43216  omge1  43415  omge2  43416  omlim2  43417  omord2lim  43418  omord2i  43419  dflim5  43447  tfsconcatb0  43462  tfsconcat0b  43464  oaun3lem1  43492  naddwordnexlem4  43519  omltoe  43525