Theorem on0eln0 6357

Description: An ordinal number contains zero iff it is nonzero. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
on0eln0	⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem on0eln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6312	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ord0eln0 6356	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  ∅c0 4269  Ord word 6301  Oncon0 6302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-br 5093  df-opab 5155  df-tr 5210  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-ord 6305  df-on 6306

This theorem is referenced by:  ondif1  8402  oe0lem  8414  oevn0  8416  oa00  8461  omord  8470  om00  8477  om00el  8478  omeulem1  8484  omeulem2  8485  oewordri  8494  oeordsuc  8496  oelim2  8497  oeoa  8499  oeoe  8501  oeeui  8504  omabs  8552  omxpenlem  8938  cantnff  9531  cantnfp1  9538  cantnflem1d  9545  cantnflem1  9546  cantnflem3  9548  cantnflem4  9549  cantnf  9550  cnfcomlem  9556  cnfcom3  9561  r1tskina  10639  onsucconni  34722  onint1  34734  frlmpwfi  41194  dflim5  41323