Theorem on0eln0 6368

Description: An ordinal number contains zero iff it is nonzero. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
on0eln0	⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem on0eln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6321	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ord0eln0 6367	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4286  Ord word 6310  Oncon0 6311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-tr 5203  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-ord 6314  df-on 6315

This theorem is referenced by:  ondif1  8426  oe0lem  8438  oevn0  8440  oa00  8484  omord  8493  om00  8500  om00el  8501  omeulem1  8507  omeulem2  8508  oewordri  8517  oeordsuc  8519  oelim2  8520  oeoa  8522  oeoe  8524  oeeui  8527  omabs  8576  omxpenlem  9002  cantnff  9589  cantnfp1  9596  cantnflem1d  9603  cantnflem1  9604  cantnflem3  9606  cantnflem4  9607  cantnf  9608  cnfcomlem  9614  cnfcom3  9619  r1tskina  10695  onsucconni  36410  onint1  36422  frlmpwfi  43071  omge1  43270  omge2  43271  omlim2  43272  omord2lim  43273  omord2i  43274  dflim5  43302  tfsconcatb0  43317  tfsconcat0b  43319  oaun3lem1  43347  naddwordnexlem4  43374  omltoe  43380