Theorem on0eln0 6380

Description: An ordinal number contains zero iff it is nonzero. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
on0eln0	⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem on0eln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6333	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ord0eln0 6379	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∅c0 4273  Ord word 6322  Oncon0 6323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-tr 5193  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-ord 6326  df-on 6327

This theorem is referenced by:  ondif1  8436  oe0lem  8448  oevn0  8450  oa00  8494  omord  8503  om00  8510  om00el  8511  omeulem1  8517  omeulem2  8518  oewordri  8528  oeordsuc  8530  oelim2  8531  oeoa  8533  oeoe  8535  oeeui  8538  omabs  8587  omxpenlem  9016  cantnff  9595  cantnfp1  9602  cantnflem1d  9609  cantnflem1  9610  cantnflem3  9612  cantnflem4  9613  cantnf  9614  cnfcomlem  9620  cnfcom3  9625  r1tskina  10705  onsucconni  36619  onint1  36631  frlmpwfi  43526  omge1  43725  omge2  43726  omlim2  43727  omord2lim  43728  omord2i  43729  dflim5  43757  tfsconcatb0  43772  tfsconcat0b  43774  oaun3lem1  43802  naddwordnexlem4  43829  omltoe  43834