Theorem on0eln0 6420

Description: An ordinal number contains zero iff it is nonzero. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
on0eln0	⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem on0eln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6372	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ord0eln0 6419	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∅c0 4278  Ord word 6361  Oncon0 6362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-ord 6365  df-on 6366

This theorem is used by:  ondif1  8513  oe0lem  8525  oevn0  8527  oa00  8571  omord  8580  om00  8587  om00el  8588  omeulem1  8594  omeulem2  8595  oewordri  8605  oeordsuc  8607  oelim2  8608  oeoa  8610  oeoe  8612  oeeui  8615  omabs  8664  omxpenlem  9101  cantnff  9679  cantnfp1  9686  cantnflem1d  9693  cantnflem1  9694  cantnflem3  9696  cantnflem4  9697  cantnf  9698  cnfcomlem  9704  cnfcom3  9709  r1tskina  10871  maxssj0  35946  onsucconni  37318  onint1  37330  frlmpwfi  44194  omge1  44393  omge2  44394  omlim2  44395  omord2lim  44396  omord2i  44397  dflim5  44425  tfsconcatb0  44440  tfsconcat0b  44442  oaun3lem1  44470  naddwordnexlem4  44497  omltoe  44502