Theorem on0eln0 6419

Description: An ordinal number contains zero iff it is nonzero. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
on0eln0	⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem on0eln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6371	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ord0eln0 6418	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∅c0 4282  Ord word 6360  Oncon0 6361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-tr 5217  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-ord 6364  df-on 6365

This theorem is used by:  ondif1  8491  oe0lem  8503  oevn0  8505  oa00  8549  omord  8558  om00  8565  om00el  8566  omeulem1  8572  omeulem2  8573  oewordri  8583  oeordsuc  8585  oelim2  8586  oeoa  8588  oeoe  8590  oeeui  8593  omabs  8642  omxpenlem  9079  cantnff  9656  cantnfp1  9663  cantnflem1d  9670  cantnflem1  9671  cantnflem3  9673  cantnflem4  9674  cantnf  9675  cnfcomlem  9681  cnfcom3  9686  r1tskina  10794  onsucconni  37058  onint1  37070  frlmpwfi  43941  omge1  44140  omge2  44141  omlim2  44142  omord2lim  44143  omord2i  44144  dflim5  44172  tfsconcatb0  44187  tfsconcat0b  44189  oaun3lem1  44217  naddwordnexlem4  44244  omltoe  44249