Theorem on0eln0 6407

Description: An ordinal number contains zero iff it is nonzero. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
on0eln0	⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem on0eln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6360	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ord0eln0 6406	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∅c0 4288  Ord word 6349  Oncon0 6350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-tr 5213  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-ord 6353  df-on 6354

This theorem is referenced by:  ondif1  8474  oe0lem  8486  oevn0  8488  oa00  8532  omord  8541  om00  8548  om00el  8549  omeulem1  8555  omeulem2  8556  oewordri  8566  oeordsuc  8568  oelim2  8569  oeoa  8571  oeoe  8573  oeeui  8576  omabs  8625  omxpenlem  9054  cantnff  9631  cantnfp1  9638  cantnflem1d  9645  cantnflem1  9646  cantnflem3  9648  cantnflem4  9649  cantnf  9650  cnfcomlem  9656  cnfcom3  9661  r1tskina  10755  onsucconni  36810  onint1  36822  frlmpwfi  43687  omge1  43886  omge2  43887  omlim2  43888  omord2lim  43889  omord2i  43890  dflim5  43918  tfsconcatb0  43933  tfsconcat0b  43935  oaun3lem1  43963  naddwordnexlem4  43990  omltoe  43995