Theorem on0eln0 6363

Description: An ordinal number contains zero iff it is nonzero. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
on0eln0	⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem on0eln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6316	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ord0eln0 6362	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∅c0 4283  Ord word 6305  Oncon0 6306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-tr 5199  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-ord 6309  df-on 6310

This theorem is referenced by:  ondif1  8416  oe0lem  8428  oevn0  8430  oa00  8474  omord  8483  om00  8490  om00el  8491  omeulem1  8497  omeulem2  8498  oewordri  8507  oeordsuc  8509  oelim2  8510  oeoa  8512  oeoe  8514  oeeui  8517  omabs  8566  omxpenlem  8991  cantnff  9564  cantnfp1  9571  cantnflem1d  9578  cantnflem1  9579  cantnflem3  9581  cantnflem4  9582  cantnf  9583  cnfcomlem  9589  cnfcom3  9594  r1tskina  10670  onsucconni  36470  onint1  36482  frlmpwfi  43130  omge1  43329  omge2  43330  omlim2  43331  omord2lim  43332  omord2i  43333  dflim5  43361  tfsconcatb0  43376  tfsconcat0b  43378  oaun3lem1  43406  naddwordnexlem4  43433  omltoe  43439