Theorem on0eln0 6407

Description: An ordinal number contains zero iff it is nonzero. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
on0eln0	⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem on0eln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6359	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ord0eln0 6406	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∅c0 4288  Ord word 6348  Oncon0 6349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-pr 5394

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-tr 5212  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-ord 6352  df-on 6353

This theorem is referenced by:  ondif1  8474  oe0lem  8486  oevn0  8488  oa00  8532  omord  8541  om00  8548  om00el  8549  omeulem1  8555  omeulem2  8556  oewordri  8566  oeordsuc  8568  oelim2  8569  oeoa  8571  oeoe  8573  oeeui  8576  omabs  8625  omxpenlem  9054  cantnff  9631  cantnfp1  9638  cantnflem1d  9645  cantnflem1  9646  cantnflem3  9648  cantnflem4  9649  cantnf  9650  cnfcomlem  9656  cnfcom3  9661  r1tskina  10755  onsucconni  36805  onint1  36817  frlmpwfi  43682  omge1  43881  omge2  43882  omlim2  43883  omord2lim  43884  omord2i  43885  dflim5  43913  tfsconcatb0  43928  tfsconcat0b  43930  oaun3lem1  43958  naddwordnexlem4  43985  omltoe  43990