Theorem on0eln0 6389

Description: An ordinal number contains zero iff it is nonzero. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
on0eln0	⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem on0eln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6342	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ord0eln0 6388	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4296  Ord word 6331  Oncon0 6332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-tr 5215  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-ord 6335  df-on 6336

This theorem is referenced by:  ondif1  8465  oe0lem  8477  oevn0  8479  oa00  8523  omord  8532  om00  8539  om00el  8540  omeulem1  8546  omeulem2  8547  oewordri  8556  oeordsuc  8558  oelim2  8559  oeoa  8561  oeoe  8563  oeeui  8566  omabs  8615  omxpenlem  9042  cantnff  9627  cantnfp1  9634  cantnflem1d  9641  cantnflem1  9642  cantnflem3  9644  cantnflem4  9645  cantnf  9646  cnfcomlem  9652  cnfcom3  9657  r1tskina  10735  onsucconni  36425  onint1  36437  frlmpwfi  43087  omge1  43286  omge2  43287  omlim2  43288  omord2lim  43289  omord2i  43290  dflim5  43318  tfsconcatb0  43333  tfsconcat0b  43335  oaun3lem1  43363  naddwordnexlem4  43390  omltoe  43396