MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dflim4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dflim4 7547
Description: An alternate definition of a limit ordinal. (Contributed by NM, 1-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
dflim4 (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 suc 𝑥𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem dflim4
StepHypRef Expression
1 dflim2 6219 . 2 (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴𝐴 = 𝐴))
2 ordunisuc2 7543 . . . . 5 (Ord 𝐴 → (𝐴 = 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴 suc 𝑥𝐴))
32anbi2d 631 . . . 4 (Ord 𝐴 → ((∅ ∈ 𝐴𝐴 = 𝐴) ↔ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 suc 𝑥𝐴)))
43pm5.32i 578 . . 3 ((Ord 𝐴 ∧ (∅ ∈ 𝐴𝐴 = 𝐴)) ↔ (Ord 𝐴 ∧ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 suc 𝑥𝐴)))
5 3anass 1092 . . 3 ((Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴𝐴 = 𝐴) ↔ (Ord 𝐴 ∧ (∅ ∈ 𝐴𝐴 = 𝐴)))
6 3anass 1092 . . 3 ((Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 suc 𝑥𝐴) ↔ (Ord 𝐴 ∧ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 suc 𝑥𝐴)))
74, 5, 63bitr4i 306 . 2 ((Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴𝐴 = 𝐴) ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 suc 𝑥𝐴))
81, 7bitri 278 1 (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 suc 𝑥𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  c0 4246   cuni 4803  Ord word 6162  Lim wlim 6164  suc csuc 6165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-tr 5140  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169
This theorem is referenced by:  limsuc  7548  limuni3  7551  oelimcl  8213
  Copyright terms: Public domain W3C validator