Theorem nlimsuc 44632

Description: A successor is not a limit ordinal. (Contributed by RP, 13-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nlimsuc	⊢ (𝐴 ∈ On → ¬ Lim suc 𝐴)

Proof of Theorem nlimsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sucidg 6461	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
2		eloni 6387	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3		ordirr 6395	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
4	2, 3	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ On → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
5		eleq2 2853	. . . . . . . . 9 ⊢ (suc 𝐴 = 𝐴 → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ 𝐴))
6	5	notbid 321	. . . . . . . 8 ⊢ (suc 𝐴 = 𝐴 → (¬ 𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴))
7	4, 6	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → (suc 𝐴 = 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ suc 𝐴))
8	1, 7	mt2d 137	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → ¬ suc 𝐴 = 𝐴)
9	8	neqned 2966	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ≠ 𝐴)
10		onunisuc 6490	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∪ suc 𝐴 = 𝐴)
11	9, 10	neeqtrrd 3033	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ≠ ∪ suc 𝐴)
12	11	neneqd 2964	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ¬ suc 𝐴 = ∪ suc 𝐴)
13	12	intn3an3d 1513	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ¬ (Ord suc 𝐴 ∧ ∅ ∈ suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 = ∪ suc 𝐴))
14		dflim2 6436	. 2 ⊢ (Lim suc 𝐴 ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ ∅ ∈ suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 = ∪ suc 𝐴))
15	13, 14	sylnibr 332	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → ¬ Lim suc 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∅c0 4281  ∪ cuni 4870  Ord word 6376  Oncon0 6377  Lim wlim 6378  suc csuc 6379

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-tr 5216  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383

This theorem is used by:  nlim1NEW  44633  nlim2NEW  44634  nlim3  44635  nlim4  44636  dfsucon  44714