Theorem nlimsuc 44442

Description: A successor is not a limit ordinal. (Contributed by RP, 13-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nlimsuc	⊢ (𝐴 ∈ On → ¬ Lim suc 𝐴)

Proof of Theorem nlimsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sucidg 6446	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
2		eloni 6372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3		ordirr 6380	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
4	2, 3	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ On → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
5		eleq2 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ (suc 𝐴 = 𝐴 → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ 𝐴))
6	5	notbid 321	. . . . . . . 8 ⊢ (suc 𝐴 = 𝐴 → (¬ 𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴))
7	4, 6	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → (suc 𝐴 = 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ suc 𝐴))
8	1, 7	mt2d 137	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → ¬ suc 𝐴 = 𝐴)
9	8	neqned 2962	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ≠ 𝐴)
10		onunisuc 6475	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∪ suc 𝐴 = 𝐴)
11	9, 10	neeqtrrd 3029	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ≠ ∪ suc 𝐴)
12	11	neneqd 2960	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ¬ suc 𝐴 = ∪ suc 𝐴)
13	12	intn3an3d 1512	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ¬ (Ord suc 𝐴 ∧ ∅ ∈ suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 = ∪ suc 𝐴))
14		dflim2 6421	. 2 ⊢ (Lim suc 𝐴 ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ ∅ ∈ suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 = ∪ suc 𝐴))
15	13, 14	sylnibr 332	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → ¬ Lim suc 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∅c0 4278  ∪ cuni 4866  Ord word 6361  Oncon0 6362  Lim wlim 6363  suc csuc 6364

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368

This theorem is used by:  nlim1NEW  44443  nlim2NEW  44444  nlim3  44445  nlim4  44446  dfsucon  44524