Theorem nlim0 6383

Description: The empty set is not a limit ordinal. (Contributed by NM, 24-Mar-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nlim0	⊢ ¬ Lim ∅

Proof of Theorem nlim0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 4278	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ∈ ∅
2		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((Ord ∅ ∧ ∅ ∈ ∅ ∧ ∅ = ∪ ∅) → ∅ ∈ ∅)
3	1, 2	mto 197	. 2 ⊢ ¬ (Ord ∅ ∧ ∅ ∈ ∅ ∧ ∅ = ∪ ∅)
4		dflim2 6381	. 2 ⊢ (Lim ∅ ↔ (Ord ∅ ∧ ∅ ∈ ∅ ∧ ∅ = ∪ ∅))
5	3, 4	mtbir 323	1 ⊢ ¬ Lim ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4273  ∪ cuni 4850  Ord word 6322  Lim wlim 6324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-tr 5193  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-ord 6326  df-lim 6328

This theorem is referenced by:  tz7.44lem1  8344  tz7.44-3  8347  1ellim  8433  2ellim  8434  cflim2  10185  rankcf  10700  dfrdg4  36133  limsucncmpi  36627  onov0suclim  43702