Theorem nlim0 6370

Description: The empty set is not a limit ordinal. (Contributed by NM, 24-Mar-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nlim0	⊢ ¬ Lim ∅

Proof of Theorem nlim0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 4266	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ∈ ∅
2		simp2 1143	. . 3 ⊢ ((Ord ∅ ∧ ∅ ∈ ∅ ∧ ∅ = ∪ ∅) → ∅ ∈ ∅)
3	1, 2	mto 198	. 2 ⊢ ¬ (Ord ∅ ∧ ∅ ∈ ∅ ∧ ∅ = ∪ ∅)
4		dflim2 6368	. 2 ⊢ (Lim ∅ ↔ (Ord ∅ ∧ ∅ ∈ ∅ ∧ ∅ = ∪ ∅))
5	3, 4	mtbir 324	1 ⊢ ¬ Lim ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∅c0 4261  ∪ cuni 4838  Ord word 6309  Lim wlim 6311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-tr 5180  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-ord 6313  df-lim 6315

This theorem is referenced by:  tz7.44lem1  8334  tz7.44-3  8337  1ellim  8423  2ellim  8424  cflim2  10176  rankcf  10691  dfrdg4  36179  limsucncmpi  36673  onov0suclim  43719