Theorem nlim0 6371

Description: The empty set is not a limit ordinal. (Contributed by NM, 24-Mar-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nlim0	⊢ ¬ Lim ∅

Proof of Theorem nlim0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 4291	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ∈ ∅
2		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((Ord ∅ ∧ ∅ ∈ ∅ ∧ ∅ = ∪ ∅) → ∅ ∈ ∅)
3	1, 2	mto 197	. 2 ⊢ ¬ (Ord ∅ ∧ ∅ ∈ ∅ ∧ ∅ = ∪ ∅)
4		dflim2 6369	. 2 ⊢ (Lim ∅ ↔ (Ord ∅ ∧ ∅ ∈ ∅ ∧ ∅ = ∪ ∅))
5	3, 4	mtbir 323	1 ⊢ ¬ Lim ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4286  ∪ cuni 4861  Ord word 6310  Lim wlim 6312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-tr 5203  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-ord 6314  df-lim 6316

This theorem is referenced by:  tz7.44lem1  8334  tz7.44-3  8337  1ellim  8423  2ellim  8424  cflim2  10176  rankcf  10690  dfrdg4  35944  limsucncmpi  36438  onov0suclim  43267