Theorem dmopabss 5865

Description: Upper bound for the domain of a restricted class of ordered pairs. (Contributed by NM, 31-Jan-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmopabss	⊢ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ⊆ 𝐴

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dmopabss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmopab 5862	. 2 ⊢ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)}
2		19.42v 1953	. . . 4 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑))
3	2	abbii 2796	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)}
4		ssab2 4032	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)} ⊆ 𝐴
5	3, 4	eqsstri 3984	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ⊆ 𝐴
6	1, 5	eqsstri 3984	1 ⊢ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ⊆ 𝐴

Syntax hints:   ∧ wa 395  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  {cab 2707   ⊆ wss 3905  {copab 5157  dom cdm 5623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-br 5096  df-opab 5158  df-dm 5633

This theorem is referenced by:  fvopab4ndm  6964  opabex  7160  pwfir  9224  perpln1  28673  dmadjss  31849  abrexdomjm  32469  abrexdom  37709  modelaxreplem2  44953