Theorem abrexdom 37431

Description: An indexed set is dominated by the indexing set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
abrexdom.1	⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ∃*𝑥𝜑)

Assertion

Ref	Expression
abrexdom	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝜑} ≼ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem abrexdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 3061	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
2	1	abbii 2796	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝜑} = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)}
3		rnopab 5960	. . 3 ⊢ ran {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)}
4	2, 3	eqtr4i 2757	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝜑} = ran {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)}
5		dmopabss 5925	. . . . 5 ⊢ dom {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ⊆ 𝐴
6		ssexg 5328	. . . . 5 ⊢ ((dom {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → dom {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ∈ V)
7	5, 6	mpan 688	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ∈ V)
8		funopab 6594	. . . . . . 7 ⊢ (Fun {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ↔ ∀𝑦∃*𝑥(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
9		abrexdom.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ∃*𝑥𝜑)
10		moanimv 2608	. . . . . . . 8 ⊢ (∃*𝑥(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 → ∃*𝑥𝜑))
11	9, 10	mpbir 230	. . . . . . 7 ⊢ ∃*𝑥(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)
12	8, 11	mpgbir 1794	. . . . . 6 ⊢ Fun {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)}
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → Fun {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)})
14		funfn 6589	. . . . 5 ⊢ (Fun {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ↔ {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} Fn dom {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)})
15	13, 14	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} Fn dom {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)})
16		fnrndomg 10579	. . . 4 ⊢ (dom {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ∈ V → ({⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} Fn dom {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} → ran {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ≼ dom {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)}))
17	7, 15, 16	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ≼ dom {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)})
18		ssdomg 9031	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (dom {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ⊆ 𝐴 → dom {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ≼ 𝐴))
19	5, 18	mpi 20	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ≼ 𝐴)
20		domtr 9038	. . 3 ⊢ ((ran {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ≼ dom {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ∧ dom {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ≼ 𝐴) → ran {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ≼ 𝐴)
21	17, 19, 20	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} ≼ 𝐴)
22	4, 21	eqbrtrid 5188	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝜑} ≼ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394  ∃wex 1774   ∈ wcel 2099  ∃*wmo 2527  {cab 2703  ∃wrex 3060  Vcvv 3462   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5153  {copab 5215  dom cdm 5682  ran crn 5683  Fun wfun 6548   Fn wfn 6549   ≼ cdom 8972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-ac2 10506

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-card 9982  df-acn 9985  df-ac 10159

This theorem is referenced by:  abrexdom2  37432