Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  abrexdomjm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abrexdomjm 32526
Description: An indexed set is dominated by the indexing set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
abrexdomjm.1 (𝑦𝐴 → ∃*𝑥𝜑)
Assertion
Ref Expression
abrexdomjm (𝐴𝑉 → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐴 𝜑} ≼ 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem abrexdomjm
StepHypRef Expression
1 df-rex 3071 . . . 4 (∃𝑦𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑦(𝑦𝐴𝜑))
21abbii 2809 . . 3 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐴 𝜑} = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦𝐴𝜑)}
3 rnopab 5965 . . 3 ran {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦𝐴𝜑)} = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦𝐴𝜑)}
42, 3eqtr4i 2768 . 2 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐴 𝜑} = ran {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦𝐴𝜑)}
5 dmopabss 5929 . . . . 5 dom {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦𝐴𝜑)} ⊆ 𝐴
6 ssexg 5323 . . . . 5 ((dom {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦𝐴𝜑)} ⊆ 𝐴𝐴𝑉) → dom {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦𝐴𝜑)} ∈ V)
75, 6mpan 690 . . . 4 (𝐴𝑉 → dom {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦𝐴𝜑)} ∈ V)
8 funopab 6601 . . . . . . 7 (Fun {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦𝐴𝜑)} ↔ ∀𝑦∃*𝑥(𝑦𝐴𝜑))
9 abrexdomjm.1 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴 → ∃*𝑥𝜑)
10 moanimv 2619 . . . . . . . 8 (∃*𝑥(𝑦𝐴𝜑) ↔ (𝑦𝐴 → ∃*𝑥𝜑))
119, 10mpbir 231 . . . . . . 7 ∃*𝑥(𝑦𝐴𝜑)
128, 11mpgbir 1799 . . . . . 6 Fun {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦𝐴𝜑)}
1312a1i 11 . . . . 5 (𝐴𝑉 → Fun {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦𝐴𝜑)})
14 funfn 6596 . . . . 5 (Fun {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦𝐴𝜑)} ↔ {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦𝐴𝜑)} Fn dom {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦𝐴𝜑)})
1513, 14sylib 218 . . . 4 (𝐴𝑉 → {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦𝐴𝜑)} Fn dom {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦𝐴𝜑)})
16 fnrndomg 10576 . . . 4 (dom {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦𝐴𝜑)} ∈ V → ({⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦𝐴𝜑)} Fn dom {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦𝐴𝜑)} → ran {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦𝐴𝜑)} ≼ dom {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦𝐴𝜑)}))
177, 15, 16sylc 65 . . 3 (𝐴𝑉 → ran {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦𝐴𝜑)} ≼ dom {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦𝐴𝜑)})
18 ssdomg 9040 . . . 4 (𝐴𝑉 → (dom {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦𝐴𝜑)} ⊆ 𝐴 → dom {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦𝐴𝜑)} ≼ 𝐴))
195, 18mpi 20 . . 3 (𝐴𝑉 → dom {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦𝐴𝜑)} ≼ 𝐴)
20 domtr 9047 . . 3 ((ran {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦𝐴𝜑)} ≼ dom {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦𝐴𝜑)} ∧ dom {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦𝐴𝜑)} ≼ 𝐴) → ran {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦𝐴𝜑)} ≼ 𝐴)
2117, 19, 20syl2anc 584 . 2 (𝐴𝑉 → ran {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦𝐴𝜑)} ≼ 𝐴)
224, 21eqbrtrid 5178 1 (𝐴𝑉 → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐴 𝜑} ≼ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wex 1779  wcel 2108  ∃*wmo 2538  {cab 2714  wrex 3070  Vcvv 3480  wss 3951   class class class wbr 5143  {copab 5205  dom cdm 5685  ran crn 5686  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  cdom 8983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-ac2 10503
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156
This theorem is referenced by:  abrexdom2jm  32527
  Copyright terms: Public domain W3C validator