Theorem dmadjss 29922

Description: The domain of the adjoint function is a subset of the maps from ℋ to ℋ. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dmadjss	⊢ dom adjℎ ⊆ ( ℋ ↑m ℋ)

Proof of Theorem dmadjss

Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfadj2 29920	. . . 4 ⊢ adjℎ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))}
2		3anass 1097	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)) ↔ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))))
3		ax-hilex 29034	. . . . . . . 8 ⊢ ℋ ∈ V
4	3, 3	elmap 8530	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ↔ 𝑡: ℋ⟶ ℋ)
5	4	anbi1i 627	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ∧ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))) ↔ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))))
6	2, 5	bitr4i 281	. . . . 5 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)) ↔ (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ∧ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))))
7	6	opabbii 5106	. . . 4 ⊢ {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))} = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ∧ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))}
8	1, 7	eqtri 2759	. . 3 ⊢ adjℎ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ∧ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))}
9	8	dmeqi 5758	. 2 ⊢ dom adjℎ = dom {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ∧ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))}
10		dmopabss 5772	. 2 ⊢ dom {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ∧ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))} ⊆ ( ℋ ↑m ℋ)
11	9, 10	eqsstri 3921	1 ⊢ dom adjℎ ⊆ ( ℋ ↑m ℋ)

Syntax hints:   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ∀wral 3051   ⊆ wss 3853  {copab 5101  dom cdm 5536  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191   ↑_m cmap 8486   ℋchba 28954   ·_ih csp 28957  adj_ℎcado 28990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-hilex 29034  ax-hfi 29114  ax-his1 29117

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-po 5453  df-so 5454  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-er 8369  df-map 8488  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-2 11858  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-adjh 29884

This theorem is referenced by:  dmadjop  29923