Theorem dmadjss 29460

Description: The domain of the adjoint function is a subset of the maps from ℋ to ℋ. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dmadjss	⊢ dom adjℎ ⊆ ( ℋ ↑𝑚 ℋ)

Proof of Theorem dmadjss

Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfadj2 29458	. . . 4 ⊢ adjℎ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))}
2		3anass 1077	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)) ↔ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))))
3		ax-hilex 28570	. . . . . . . 8 ⊢ ℋ ∈ V
4	3, 3	elmap 8233	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ) ↔ 𝑡: ℋ⟶ ℋ)
5	4	anbi1i 615	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ) ∧ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))) ↔ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))))
6	2, 5	bitr4i 270	. . . . 5 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)) ↔ (𝑡 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ) ∧ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))))
7	6	opabbii 4992	. . . 4 ⊢ {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))} = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ) ∧ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))}
8	1, 7	eqtri 2795	. . 3 ⊢ adjℎ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ) ∧ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))}
9	8	dmeqi 5619	. 2 ⊢ dom adjℎ = dom {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ) ∧ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))}
10		dmopabss 5631	. 2 ⊢ dom {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ) ∧ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))} ⊆ ( ℋ ↑𝑚 ℋ)
11	9, 10	eqsstri 3884	1 ⊢ dom adjℎ ⊆ ( ℋ ↑𝑚 ℋ)

Syntax hints:   ∧ wa 387   ∧ w3a 1069   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  ∀wral 3081   ⊆ wss 3822  {copab 4987  dom cdm 5403  ⟶wf 6181  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974   ↑_𝑚 cmap 8204   ℋchba 28490   ·_ih csp 28493  adj_ℎcado 28526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-hilex 28570  ax-hfi 28650  ax-his1 28653

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-po 5322  df-so 5323  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-er 8087  df-map 8206  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-2 11501  df-cj 14317  df-re 14318  df-im 14319  df-adjh 29422

This theorem is referenced by:  dmadjop  29461