Theorem dmadjss 32092

Description: The domain of the adjoint function is a subset of the maps from ℋ to ℋ. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dmadjss	⊢ dom adjℎ ⊆ ( ℋ ↑m ℋ)

Proof of Theorem dmadjss

Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfadj2 32090	. . . 4 ⊢ adjℎ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))}
2		3anass 1107	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)) ↔ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))))
3		ax-hilex 31204	. . . . . . . 8 ⊢ ℋ ∈ V
4	3, 3	elmap 8855	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ↔ 𝑡: ℋ⟶ ℋ)
5	4	anbi1i 633	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ∧ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))) ↔ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))))
6	2, 5	bitr4i 280	. . . . 5 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)) ↔ (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ∧ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))))
7	6	opabbii 5169	. . . 4 ⊢ {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦))} = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ∧ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))}
8	1, 7	eqtri 2787	. . 3 ⊢ adjℎ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ∧ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))}
9	8	dmeqi 5882	. 2 ⊢ dom adjℎ = dom {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ∧ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))}
10		dmopabss 5896	. 2 ⊢ dom {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ∧ (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡‘𝑦)) = ((𝑢‘𝑥) ·ih 𝑦)))} ⊆ ( ℋ ↑m ℋ)
11	9, 10	eqsstri 3984	1 ⊢ dom adjℎ ⊆ ( ℋ ↑m ℋ)

Syntax hints:   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∀wral 3078   ⊆ wss 3906  {copab 5164  dom cdm 5649  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398   ↑_m cmap 8810   ℋchba 31124   ·_ih csp 31127  adj_ℎcado 31160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-hilex 31204  ax-hfi 31284  ax-his1 31287

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-adjh 32054

This theorem is referenced by:  dmadjop  32093