Theorem dmopab 5905

Description: The domain of a class of ordered pairs. (Contributed by NM, 16-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dmopab	⊢ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝜑}

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem dmopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfopab1 5179	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}
2		nfopab2 5180	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}
3	1, 2	dfdmf 5886	. 2 ⊢ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}𝑦}
4		df-br 5107	. . . . 5 ⊢ (𝑥{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑})
5		opabidw 5503	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} ↔ 𝜑)
6	4, 5	bitri 278	. . . 4 ⊢ (𝑥{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}𝑦 ↔ 𝜑)
7	6	exbii 1881	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝑥{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}𝑦 ↔ ∃𝑦𝜑)
8	7	abbii 2830	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}𝑦} = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝜑}
9	3, 8	eqtri 2786	1 ⊢ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝜑}

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  {cab 2741  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106  {copab 5171  dom cdm 5656

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5172  df-dm 5666

This theorem is used by:  dmopabelb  5906  dmopabss  5908  dmopab3  5909  mptfnf  6699  opabiotadm  6992  fndmin  7070  dmoprab  7549  zfrep6OLD  7994  hartogslem1  9566  dmttrcl  9752  rankf  9832  dfac3  10230  axdc2lem  10556  shftdm  15256  dfiso2  17979  adjeu  32524  satfdm  36314  fmla0  36327  fmlasuc0  36329