Theorem dmopab 5910

Description: The domain of a class of ordered pairs. (Contributed by NM, 16-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dmopab	⊢ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝜑}

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem dmopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfopab1 5186	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}
2		nfopab2 5187	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}
3	1, 2	dfdmf 5891	. 2 ⊢ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}𝑦}
4		df-br 5115	. . . . 5 ⊢ (𝑥{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑})
5		opabidw 5513	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} ↔ 𝜑)
6	4, 5	bitri 278	. . . 4 ⊢ (𝑥{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}𝑦 ↔ 𝜑)
7	6	exbii 1881	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝑥{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}𝑦 ↔ ∃𝑦𝜑)
8	7	abbii 2833	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}𝑦} = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝜑}
9	3, 8	eqtri 2789	1 ⊢ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝜑}

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146  {cab 2744  ⟨cop 4600   class class class wbr 5114  {copab 5178  dom cdm 5666

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-br 5115  df-opab 5179  df-dm 5676

This theorem is used by:  dmopabelb  5911  dmopabss  5913  dmopab3  5914  mptfnf  6677  opabiotadm  6969  fndmin  7047  dmoprab  7526  zfrep6OLD  7961  hartogslem1  9514  dmttrcl  9700  rankf  9776  dfac3  10124  axdc2lem  10450  shftdm  15134  dfiso2  17854  adjeu  32278  satfdm  35882  fmla0  35895  fmlasuc0  35897