Theorem dmopab3 5933

Description: The domain of a restricted class of ordered pairs. (Contributed by NM, 31-Jan-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmopab3	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦𝜑 ↔ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} = 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dmopab3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 3060	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦𝜑))
2		pm4.71 557	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)))
3	2	albii 1816	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)))
4		dmopab 5929	. . . . 5 ⊢ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)}
5		19.42v 1951	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑))
6	5	abbii 2807	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)}
7	4, 6	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)}
8	7	eqeq1i 2740	. . 3 ⊢ (dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} = 𝐴 ↔ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)} = 𝐴)
9		eqcom 2742	. . 3 ⊢ (𝐴 = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)} ↔ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)} = 𝐴)
10		eqabb 2879	. . 3 ⊢ (𝐴 = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)))
11	8, 9, 10	3bitr2ri 300	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)) ↔ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} = 𝐴)
12	1, 3, 11	3bitri 297	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦𝜑 ↔ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1535   = wceq 1537  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106  {cab 2712  ∀wral 3059  {copab 5210  dom cdm 5689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149  df-opab 5211  df-dm 5699

This theorem is referenced by:  dmxpOLD  5943  fnopabg  6706  opabn1stprc  8082  n0el2  38315