Theorem dmopab3 5863

Description: The domain of a restricted class of ordered pairs. (Contributed by NM, 31-Jan-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmopab3	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦𝜑 ↔ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} = 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dmopab3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 3049	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦𝜑))
2		pm4.71 557	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)))
3	2	albii 1820	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)))
4		dmopab 5859	. . . . 5 ⊢ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)}
5		19.42v 1954	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑))
6	5	abbii 2800	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)}
7	4, 6	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)}
8	7	eqeq1i 2738	. . 3 ⊢ (dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} = 𝐴 ↔ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)} = 𝐴)
9		eqcom 2740	. . 3 ⊢ (𝐴 = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)} ↔ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)} = 𝐴)
10		eqabb 2872	. . 3 ⊢ (𝐴 = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)))
11	8, 9, 10	3bitr2ri 300	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦𝜑)) ↔ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} = 𝐴)
12	1, 3, 11	3bitri 297	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦𝜑 ↔ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)} = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  {cab 2711  ∀wral 3048  {copab 5155  dom cdm 5619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ral 3049  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-br 5094  df-opab 5156  df-dm 5629

This theorem is referenced by:  fnopabg  6623  opabn1stprc  7996  n0el2  38387