Theorem dmqscoelseq 39785

Description: Two ways to express the equality of the domain quotient of the coelements on the class 𝐴 with the class 𝐴. (Contributed by Peter Mazsa, 26-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dmqscoelseq	⊢ ((dom ∼ 𝐴 / ∼ 𝐴) = 𝐴 ↔ (∪ 𝐴 / ∼ 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem dmqscoelseq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmcoels 39586	. . 3 ⊢ dom ∼ 𝐴 = ∪ 𝐴
2	1	qseq1i 39335	. 2 ⊢ (dom ∼ 𝐴 / ∼ 𝐴) = (∪ 𝐴 / ∼ 𝐴)
3	2	eqeq1i 2765	1 ⊢ ((dom ∼ 𝐴 / ∼ 𝐴) = 𝐴 ↔ (∪ 𝐴 / ∼ 𝐴) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1569  ∪ cuni 4866  dom cdm 5650   / cqs 8721   ∼ ccoels 39223

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-eprel 5550  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-qs 8728  df-coss 39540  df-coels 39541

This theorem is used by:  dmqs1cosscnvepreseq  39786  dfcomember3  39798