![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dvdscmul | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiplication by a constant maintains the divides relation. Theorem 1.1(d) in [ApostolNT] p. 14 (multiplication property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
Ref | Expression |
---|---|
dvdscmul | โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐พ โ โค) โ (๐ โฅ ๐ โ (๐พ ยท ๐) โฅ (๐พ ยท ๐))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 3simpc 1147 | . . 3 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โ โค โง ๐ โ โค)) | |
2 | zmulcl 12615 | . . . . 5 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ ยท ๐) โ โค) | |
3 | 2 | 3adant3 1129 | . . . 4 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ ยท ๐) โ โค) |
4 | zmulcl 12615 | . . . . 5 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ ยท ๐) โ โค) | |
5 | 4 | 3adant2 1128 | . . . 4 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐พ ยท ๐) โ โค) |
6 | 3, 5 | jca 511 | . . 3 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐พ ยท ๐) โ โค โง (๐พ ยท ๐) โ โค)) |
7 | simpr 484 | . . 3 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ฅ โ โค) โ ๐ฅ โ โค) | |
8 | zcn 12567 | . . . . . . . . 9 โข (๐ฅ โ โค โ ๐ฅ โ โ) | |
9 | zcn 12567 | . . . . . . . . 9 โข (๐พ โ โค โ ๐พ โ โ) | |
10 | zcn 12567 | . . . . . . . . 9 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โ) | |
11 | mul12 11383 | . . . . . . . . 9 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐พ โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ฅ ยท (๐พ ยท ๐)) = (๐พ ยท (๐ฅ ยท ๐))) | |
12 | 8, 9, 10, 11 | syl3an 1157 | . . . . . . . 8 โข ((๐ฅ โ โค โง ๐พ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ฅ ยท (๐พ ยท ๐)) = (๐พ ยท (๐ฅ ยท ๐))) |
13 | 12 | 3coml 1124 | . . . . . . 7 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ฅ โ โค) โ (๐ฅ ยท (๐พ ยท ๐)) = (๐พ ยท (๐ฅ ยท ๐))) |
14 | 13 | 3expa 1115 | . . . . . 6 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ฅ โ โค) โ (๐ฅ ยท (๐พ ยท ๐)) = (๐พ ยท (๐ฅ ยท ๐))) |
15 | 14 | 3adantl3 1165 | . . . . 5 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ฅ โ โค) โ (๐ฅ ยท (๐พ ยท ๐)) = (๐พ ยท (๐ฅ ยท ๐))) |
16 | oveq2 7413 | . . . . 5 โข ((๐ฅ ยท ๐) = ๐ โ (๐พ ยท (๐ฅ ยท ๐)) = (๐พ ยท ๐)) | |
17 | 15, 16 | sylan9eq 2786 | . . . 4 โข ((((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ฅ โ โค) โง (๐ฅ ยท ๐) = ๐) โ (๐ฅ ยท (๐พ ยท ๐)) = (๐พ ยท ๐)) |
18 | 17 | ex 412 | . . 3 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ฅ โ โค) โ ((๐ฅ ยท ๐) = ๐ โ (๐ฅ ยท (๐พ ยท ๐)) = (๐พ ยท ๐))) |
19 | 1, 6, 7, 18 | dvds1lem 16218 | . 2 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โฅ ๐ โ (๐พ ยท ๐) โฅ (๐พ ยท ๐))) |
20 | 19 | 3coml 1124 | 1 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐พ โ โค) โ (๐ โฅ ๐ โ (๐พ ยท ๐) โฅ (๐พ ยท ๐))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 class class class wbr 5141 (class class class)co 7405 โcc 11110 ยท cmul 11117 โคcz 12562 โฅ cdvds 16204 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7853 df-2nd 7975 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-ltxr 11257 df-sub 11450 df-neg 11451 df-nn 12217 df-n0 12477 df-z 12563 df-dvds 16205 |
This theorem is referenced by: dvdscmulr 16235 mulgcd 16497 dvdsmulgcd 16504 rpmulgcd2 16600 pcprendvds2 16783 pcpremul 16785 prmreclem1 16858 sylow3lem4 19550 ablfacrp2 19989 mpodvdsmulf1o 27081 dvdsmulf1o 27083 jm2.27a 42319 jm2.27c 42321 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |