Theorem dvdsnegb 16356

Description: An integer divides another iff it divides its negation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsnegb	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑀 ∥ -𝑁))

Proof of Theorem dvdsnegb

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
2		znegcl 12647	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
3	2	anim2i 629	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ))
4		znegcl 12647	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
5	4	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → -𝑥 ∈ ℤ)
6		zcn 12614	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
7		zcn 12614	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
8		mulneg1 11668	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (-𝑥 · 𝑀) = -(𝑥 · 𝑀))
9		negeq 11467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 · 𝑀) = 𝑁 → -(𝑥 · 𝑀) = -𝑁)
10	9	eqeq2d 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 · 𝑀) = 𝑁 → ((-𝑥 · 𝑀) = -(𝑥 · 𝑀) ↔ (-𝑥 · 𝑀) = -𝑁))
11	8, 10	syl5ibcom 248	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑀) = 𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = -𝑁))
12	6, 7, 11	syl2anr 609	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑀) = 𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = -𝑁))
13	12	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑀) = 𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = -𝑁))
14	1, 3, 5, 13	dvds1lem 16350	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → 𝑀 ∥ -𝑁))
15		zcn 12614	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
16		negeq 11467	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 · 𝑀) = -𝑁 → -(𝑥 · 𝑀) = --𝑁)
17		negneg 11526	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → --𝑁 = 𝑁)
18	16, 17	sylan9eqr 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑀) = -𝑁) → -(𝑥 · 𝑀) = 𝑁)
19	8, 18	sylan9eq 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑀) = -𝑁)) → (-𝑥 · 𝑀) = 𝑁)
20	19	expr 462	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑀) = -𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
21	20	3impa 1127	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑀) = -𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
22	6, 7, 15, 21	syl3an 1178	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑀) = -𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
23	22	3coml 1145	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑀) = -𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
24	23	3expa 1136	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑀) = -𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
25	3, 1, 5, 24	dvds1lem 16350	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ -𝑁 → 𝑀 ∥ 𝑁))
26	14, 25	impbid 215	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑀 ∥ -𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  (class class class)co 7423  ℂcc 11116   · cmul 11123  -cneg 11460  ℤcz 12609   ∥ cdvds 16335

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-z 12610  df-dvds 16336

This theorem is used by:  dvdsabsb  16358  dvdssub  16387  dvdsadd2b  16389  3dvds  16414  bitscmp  16521  gcdneg  16605  prmdiv  16869  pcneg  16959  znunit  21750  2sqblem  27632  ex-mod  30837  aks6d1c5lem1  42944  congsym  43736  etransclem9  46998