MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsnegb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsnegb 16163
Description: An integer divides another iff it divides its negation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdsnegb ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘€ โˆฅ -๐‘))

Proof of Theorem dvdsnegb
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
2 znegcl 12545 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
32anim2i 618 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง -๐‘ โˆˆ โ„ค))
4 znegcl 12545 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ -๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
54adantl 483 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ -๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
6 zcn 12511 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
7 zcn 12511 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
8 mulneg1 11598 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -(๐‘ฅ ยท ๐‘€))
9 negeq 11400 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ -(๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘)
109eqeq2d 2748 . . . . . 6 ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ ((-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -(๐‘ฅ ยท ๐‘€) โ†” (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘))
118, 10syl5ibcom 244 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘))
126, 7, 11syl2anr 598 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘))
1312adantlr 714 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘))
141, 3, 5, 13dvds1lem 16157 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ -๐‘))
15 zcn 12511 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
16 negeq 11400 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘ โ†’ -(๐‘ฅ ยท ๐‘€) = --๐‘)
17 negneg 11458 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ --๐‘ = ๐‘)
1816, 17sylan9eqr 2799 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘) โ†’ -(๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘)
198, 18sylan9eq 2797 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘)) โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘)
2019expr 458 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
21203impa 1111 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
226, 7, 15, 21syl3an 1161 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
23223coml 1128 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
24233expa 1119 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
253, 1, 5, 24dvds1lem 16157 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ -๐‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
2614, 25impbid 211 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘€ โˆฅ -๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056   ยท cmul 11063  -cneg 11393  โ„คcz 12506   โˆฅ cdvds 16143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-ltxr 11201  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-z 12507  df-dvds 16144
This theorem is referenced by:  dvdsabsb  16165  dvdssub  16193  dvdsadd2b  16195  3dvds  16220  bitscmp  16325  gcdneg  16409  prmdiv  16664  pcneg  16753  znunit  20986  2sqblem  26795  ex-mod  29435  congsym  41321  etransclem9  44558
  Copyright terms: Public domain W3C validator