MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsnegb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsnegb 16216
Description: An integer divides another iff it divides its negation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdsnegb ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘€ โˆฅ -๐‘))

Proof of Theorem dvdsnegb
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
2 znegcl 12596 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
32anim2i 617 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง -๐‘ โˆˆ โ„ค))
4 znegcl 12596 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ -๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
54adantl 482 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ -๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
6 zcn 12562 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
7 zcn 12562 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
8 mulneg1 11649 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -(๐‘ฅ ยท ๐‘€))
9 negeq 11451 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ -(๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘)
109eqeq2d 2743 . . . . . 6 ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ ((-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -(๐‘ฅ ยท ๐‘€) โ†” (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘))
118, 10syl5ibcom 244 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘))
126, 7, 11syl2anr 597 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘))
1312adantlr 713 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘))
141, 3, 5, 13dvds1lem 16210 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ -๐‘))
15 zcn 12562 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
16 negeq 11451 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘ โ†’ -(๐‘ฅ ยท ๐‘€) = --๐‘)
17 negneg 11509 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ --๐‘ = ๐‘)
1816, 17sylan9eqr 2794 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘) โ†’ -(๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘)
198, 18sylan9eq 2792 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘)) โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘)
2019expr 457 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
21203impa 1110 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
226, 7, 15, 21syl3an 1160 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
23223coml 1127 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
24233expa 1118 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
253, 1, 5, 24dvds1lem 16210 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ -๐‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
2614, 25impbid 211 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘€ โˆฅ -๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107   ยท cmul 11114  -cneg 11444  โ„คcz 12557   โˆฅ cdvds 16196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-z 12558  df-dvds 16197
This theorem is referenced by:  dvdsabsb  16218  dvdssub  16246  dvdsadd2b  16248  3dvds  16273  bitscmp  16378  gcdneg  16462  prmdiv  16717  pcneg  16806  znunit  21118  2sqblem  26931  ex-mod  29699  congsym  41697  etransclem9  44949
  Copyright terms: Public domain W3C validator