MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsnegb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsnegb 16224
Description: An integer divides another iff it divides its negation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdsnegb ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘€ โˆฅ -๐‘))

Proof of Theorem dvdsnegb
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
2 znegcl 12601 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
32anim2i 616 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง -๐‘ โˆˆ โ„ค))
4 znegcl 12601 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ -๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
54adantl 481 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ -๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
6 zcn 12567 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
7 zcn 12567 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
8 mulneg1 11654 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -(๐‘ฅ ยท ๐‘€))
9 negeq 11456 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ -(๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘)
109eqeq2d 2737 . . . . . 6 ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ ((-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -(๐‘ฅ ยท ๐‘€) โ†” (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘))
118, 10syl5ibcom 244 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘))
126, 7, 11syl2anr 596 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘))
1312adantlr 712 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘))
141, 3, 5, 13dvds1lem 16218 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ -๐‘))
15 zcn 12567 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
16 negeq 11456 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘ โ†’ -(๐‘ฅ ยท ๐‘€) = --๐‘)
17 negneg 11514 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ --๐‘ = ๐‘)
1816, 17sylan9eqr 2788 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘) โ†’ -(๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘)
198, 18sylan9eq 2786 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘)) โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘)
2019expr 456 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
21203impa 1107 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
226, 7, 15, 21syl3an 1157 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
23223coml 1124 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
24233expa 1115 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
253, 1, 5, 24dvds1lem 16218 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ -๐‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
2614, 25impbid 211 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘€ โˆฅ -๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110   ยท cmul 11117  -cneg 11449  โ„คcz 12562   โˆฅ cdvds 16204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-z 12563  df-dvds 16205
This theorem is referenced by:  dvdsabsb  16226  dvdssub  16254  dvdsadd2b  16256  3dvds  16281  bitscmp  16386  gcdneg  16470  prmdiv  16727  pcneg  16816  znunit  21458  2sqblem  27319  ex-mod  30211  aks6d1c5lem1  41512  congsym  42282  etransclem9  45528
  Copyright terms: Public domain W3C validator