MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsnegb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsnegb 16260
Description: An integer divides another iff it divides its negation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdsnegb ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘€ โˆฅ -๐‘))

Proof of Theorem dvdsnegb
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
2 znegcl 12637 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
32anim2i 615 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง -๐‘ โˆˆ โ„ค))
4 znegcl 12637 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ -๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
54adantl 480 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ -๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
6 zcn 12603 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
7 zcn 12603 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
8 mulneg1 11690 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -(๐‘ฅ ยท ๐‘€))
9 negeq 11492 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ -(๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘)
109eqeq2d 2739 . . . . . 6 ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ ((-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -(๐‘ฅ ยท ๐‘€) โ†” (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘))
118, 10syl5ibcom 244 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘))
126, 7, 11syl2anr 595 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘))
1312adantlr 713 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘))
141, 3, 5, 13dvds1lem 16254 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ -๐‘))
15 zcn 12603 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
16 negeq 11492 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘ โ†’ -(๐‘ฅ ยท ๐‘€) = --๐‘)
17 negneg 11550 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ --๐‘ = ๐‘)
1816, 17sylan9eqr 2790 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘) โ†’ -(๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘)
198, 18sylan9eq 2788 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘)) โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘)
2019expr 455 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
21203impa 1107 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
226, 7, 15, 21syl3an 1157 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
23223coml 1124 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
24233expa 1115 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = -๐‘ โ†’ (-๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
253, 1, 5, 24dvds1lem 16254 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ -๐‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
2614, 25impbid 211 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘€ โˆฅ -๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11146   ยท cmul 11153  -cneg 11485  โ„คcz 12598   โˆฅ cdvds 16240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-ltxr 11293  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-z 12599  df-dvds 16241
This theorem is referenced by:  dvdsabsb  16262  dvdssub  16290  dvdsadd2b  16292  3dvds  16317  bitscmp  16422  gcdneg  16506  prmdiv  16763  pcneg  16852  znunit  21511  2sqblem  27392  ex-mod  30287  aks6d1c5lem1  41647  congsym  42438  etransclem9  45678
  Copyright terms: Public domain W3C validator