Theorem dvdsnegb 16186

Description: An integer divides another iff it divides its negation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsnegb	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑀 ∥ -𝑁))

Proof of Theorem dvdsnegb

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
2		znegcl 12513	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
3	2	anim2i 617	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ))
4		znegcl 12513	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → -𝑥 ∈ ℤ)
6		zcn 12480	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
7		zcn 12480	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
8		mulneg1 11560	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (-𝑥 · 𝑀) = -(𝑥 · 𝑀))
9		negeq 11359	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 · 𝑀) = 𝑁 → -(𝑥 · 𝑀) = -𝑁)
10	9	eqeq2d 2744	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 · 𝑀) = 𝑁 → ((-𝑥 · 𝑀) = -(𝑥 · 𝑀) ↔ (-𝑥 · 𝑀) = -𝑁))
11	8, 10	syl5ibcom 245	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑀) = 𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = -𝑁))
12	6, 7, 11	syl2anr 597	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑀) = 𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = -𝑁))
13	12	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑀) = 𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = -𝑁))
14	1, 3, 5, 13	dvds1lem 16180	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → 𝑀 ∥ -𝑁))
15		zcn 12480	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
16		negeq 11359	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 · 𝑀) = -𝑁 → -(𝑥 · 𝑀) = --𝑁)
17		negneg 11418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → --𝑁 = 𝑁)
18	16, 17	sylan9eqr 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑀) = -𝑁) → -(𝑥 · 𝑀) = 𝑁)
19	8, 18	sylan9eq 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑥 · 𝑀) = -𝑁)) → (-𝑥 · 𝑀) = 𝑁)
20	19	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑀) = -𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
21	20	3impa 1109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑀) = -𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
22	6, 7, 15, 21	syl3an 1160	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑀) = -𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
23	22	3coml 1127	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑀) = -𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
24	23	3expa 1118	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑀) = -𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
25	3, 1, 5, 24	dvds1lem 16180	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ -𝑁 → 𝑀 ∥ 𝑁))
26	14, 25	impbid 212	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑀 ∥ -𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  ℂcc 11011   · cmul 11018  -cneg 11352  ℤcz 12475   ∥ cdvds 16165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-ltxr 11158  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-z 12476  df-dvds 16166

This theorem is referenced by:  dvdsabsb  16188  dvdssub  16217  dvdsadd2b  16219  3dvds  16244  bitscmp  16351  gcdneg  16435  prmdiv  16698  pcneg  16788  znunit  21502  2sqblem  27370  ex-mod  30431  aks6d1c5lem1  42249  congsym  43085  etransclem9  46365