MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsmulcr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsmulcr 15499
Description: Cancellation law for the divides relation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdsmulcr ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝐾) ∥ (𝑁 · 𝐾) ↔ 𝑀𝑁))

Proof of Theorem dvdsmulcr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zmulcl 11844 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝐾) ∈ ℤ)
213adant2 1111 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝐾) ∈ ℤ)
3 zmulcl 11844 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐾) ∈ ℤ)
433adant1 1110 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐾) ∈ ℤ)
52, 4jca 504 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝐾) ∈ ℤ))
653adant3r 1161 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝐾) ∈ ℤ))
7 3simpa 1128 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
8 simpr 477 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
9 zcn 11798 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
10 zcn 11798 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
119, 10anim12i 603 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ))
12 zcn 11798 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
13 zcn 11798 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
1413anim1i 605 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0))
15 mulass 10423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑀) · 𝐾) = (𝑥 · (𝑀 · 𝐾)))
16153expa 1098 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑀) · 𝐾) = (𝑥 · (𝑀 · 𝐾)))
1716adantrr 704 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝑥 · 𝑀) · 𝐾) = (𝑥 · (𝑀 · 𝐾)))
18173adant2 1111 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝑥 · 𝑀) · 𝐾) = (𝑥 · (𝑀 · 𝐾)))
1918eqeq1d 2780 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (((𝑥 · 𝑀) · 𝐾) = (𝑁 · 𝐾) ↔ (𝑥 · (𝑀 · 𝐾)) = (𝑁 · 𝐾)))
20 mulcl 10419 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑀) ∈ ℂ)
21 mulcan2 11079 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (((𝑥 · 𝑀) · 𝐾) = (𝑁 · 𝐾) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
2220, 21syl3an1 1143 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (((𝑥 · 𝑀) · 𝐾) = (𝑁 · 𝐾) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
2319, 22bitr3d 273 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝑥 · (𝑀 · 𝐾)) = (𝑁 · 𝐾) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
2411, 12, 14, 23syl3an 1140 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝑥 · (𝑀 · 𝐾)) = (𝑁 · 𝐾) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
25243expb 1100 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0))) → ((𝑥 · (𝑀 · 𝐾)) = (𝑁 · 𝐾) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
26253impa 1090 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0))) → ((𝑥 · (𝑀 · 𝐾)) = (𝑁 · 𝐾) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
27263coml 1107 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · (𝑀 · 𝐾)) = (𝑁 · 𝐾) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
28273expia 1101 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0))) → (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 · (𝑀 · 𝐾)) = (𝑁 · 𝐾) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁)))
29283impb 1095 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 · (𝑀 · 𝐾)) = (𝑁 · 𝐾) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁)))
3029imp 398 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · (𝑀 · 𝐾)) = (𝑁 · 𝐾) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
3130biimpd 221 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · (𝑀 · 𝐾)) = (𝑁 · 𝐾) → (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
326, 7, 8, 31dvds1lem 15481 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝐾) ∥ (𝑁 · 𝐾) → 𝑀𝑁))
33 dvdsmulc 15497 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 → (𝑀 · 𝐾) ∥ (𝑁 · 𝐾)))
34333adant3r 1161 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (𝑀𝑁 → (𝑀 · 𝐾) ∥ (𝑁 · 𝐾)))
3532, 34impbid 204 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝐾) ∥ (𝑁 · 𝐾) ↔ 𝑀𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967   class class class wbr 4929  (class class class)co 6976  cc 10333  0cc0 10335   · cmul 10340  cz 11793  cdvds 15467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-n0 11708  df-z 11794  df-dvds 15468
This theorem is referenced by:  mulgcddvds  15855  prmpwdvds  16096  4sqlem10  16139  sylow3lem4  18516  odadd1  18724  odadd2  18725  ablfacrp2  18939  ablfac1eu  18945  fsumdvdsdiaglem  25462  nn0prpwlem  33197  jm2.20nn  38996  etransclem38  41994
  Copyright terms: Public domain W3C validator