Theorem dvdsmulcr 16225

Description: Cancellation law for the divides relation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmulcr	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝐾) ∥ (𝑁 · 𝐾) ↔ 𝑀 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem dvdsmulcr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmulcl 12607	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝐾) ∈ ℤ)
2	1	3adant2 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝐾) ∈ ℤ)
3		zmulcl 12607	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐾) ∈ ℤ)
4	3	3adant1 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐾) ∈ ℤ)
5	2, 4	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝐾) ∈ ℤ))
6	5	3adant3r 1178	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝐾) ∈ ℤ))
7		3simpa 1145	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
8		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
9		zcn 12559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
10		zcn 12559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
11	9, 10	anim12i 612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ))
12		zcn 12559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
13		zcn 12559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
14	13	anim1i 614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0))
15		mulass 11193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑀) · 𝐾) = (𝑥 · (𝑀 · 𝐾)))
16	15	3expa 1115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑀) · 𝐾) = (𝑥 · (𝑀 · 𝐾)))
17	16	adantrr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝑥 · 𝑀) · 𝐾) = (𝑥 · (𝑀 · 𝐾)))
18	17	3adant2 1128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝑥 · 𝑀) · 𝐾) = (𝑥 · (𝑀 · 𝐾)))
19	18	eqeq1d 2726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (((𝑥 · 𝑀) · 𝐾) = (𝑁 · 𝐾) ↔ (𝑥 · (𝑀 · 𝐾)) = (𝑁 · 𝐾)))
20		mulcl 11189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑀) ∈ ℂ)
21		mulcan2 11848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (((𝑥 · 𝑀) · 𝐾) = (𝑁 · 𝐾) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
22	20, 21	syl3an1 1160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (((𝑥 · 𝑀) · 𝐾) = (𝑁 · 𝐾) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
23	19, 22	bitr3d 281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝑥 · (𝑀 · 𝐾)) = (𝑁 · 𝐾) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
24	11, 12, 14, 23	syl3an 1157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝑥 · (𝑀 · 𝐾)) = (𝑁 · 𝐾) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
25	24	3expb 1117	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0))) → ((𝑥 · (𝑀 · 𝐾)) = (𝑁 · 𝐾) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
26	25	3impa 1107	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0))) → ((𝑥 · (𝑀 · 𝐾)) = (𝑁 · 𝐾) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
27	26	3coml 1124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · (𝑀 · 𝐾)) = (𝑁 · 𝐾) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
28	27	3expia 1118	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0))) → (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 · (𝑀 · 𝐾)) = (𝑁 · 𝐾) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁)))
29	28	3impb 1112	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 · (𝑀 · 𝐾)) = (𝑁 · 𝐾) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁)))
30	29	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · (𝑀 · 𝐾)) = (𝑁 · 𝐾) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
31	30	biimpd 228	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · (𝑀 · 𝐾)) = (𝑁 · 𝐾) → (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
32	6, 7, 8, 31	dvds1lem 16207	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝐾) ∥ (𝑁 · 𝐾) → 𝑀 ∥ 𝑁))
33		dvdsmulc 16223	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑀 · 𝐾) ∥ (𝑁 · 𝐾)))
34	33	3adant3r 1178	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑀 · 𝐾) ∥ (𝑁 · 𝐾)))
35	32, 34	impbid 211	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝐾) ∥ (𝑁 · 𝐾) ↔ 𝑀 ∥ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401  ℂcc 11103  0cc0 11105   · cmul 11110  ℤcz 12554   ∥ cdvds 16193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-dvds 16194

This theorem is referenced by:  mulgcddvds  16588  prmpwdvds  16835  4sqlem10  16878  sylow3lem4  19539  odadd1  19757  odadd2  19758  ablfacrp2  19978  ablfac1eu  19984  fsumdvdsdiaglem  27030  nn0prpwlem  35663  jm2.20nn  42191  etransclem38  45439