![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dvdsmulc | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiplication by a constant maintains the divides relation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
Ref | Expression |
---|---|
dvdsmulc | โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐พ โ โค) โ (๐ โฅ ๐ โ (๐ ยท ๐พ) โฅ (๐ ยท ๐พ))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 3simpc 1151 | . . 3 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โ โค โง ๐ โ โค)) | |
2 | zmulcl 12553 | . . . . . 6 โข ((๐ โ โค โง ๐พ โ โค) โ (๐ ยท ๐พ) โ โค) | |
3 | 2 | 3adant2 1132 | . . . . 5 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐พ โ โค) โ (๐ ยท ๐พ) โ โค) |
4 | zmulcl 12553 | . . . . . 6 โข ((๐ โ โค โง ๐พ โ โค) โ (๐ ยท ๐พ) โ โค) | |
5 | 4 | 3adant1 1131 | . . . . 5 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐พ โ โค) โ (๐ ยท ๐พ) โ โค) |
6 | 3, 5 | jca 513 | . . . 4 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐พ โ โค) โ ((๐ ยท ๐พ) โ โค โง (๐ ยท ๐พ) โ โค)) |
7 | 6 | 3comr 1126 | . . 3 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐ ยท ๐พ) โ โค โง (๐ ยท ๐พ) โ โค)) |
8 | simpr 486 | . . 3 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ฅ โ โค) โ ๐ฅ โ โค) | |
9 | zcn 12505 | . . . . . . . . 9 โข (๐ฅ โ โค โ ๐ฅ โ โ) | |
10 | zcn 12505 | . . . . . . . . 9 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โ) | |
11 | zcn 12505 | . . . . . . . . 9 โข (๐พ โ โค โ ๐พ โ โ) | |
12 | mulass 11140 | . . . . . . . . 9 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ โ โ โง ๐พ โ โ) โ ((๐ฅ ยท ๐) ยท ๐พ) = (๐ฅ ยท (๐ ยท ๐พ))) | |
13 | 9, 10, 11, 12 | syl3an 1161 | . . . . . . . 8 โข ((๐ฅ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐พ โ โค) โ ((๐ฅ ยท ๐) ยท ๐พ) = (๐ฅ ยท (๐ ยท ๐พ))) |
14 | 13 | 3com13 1125 | . . . . . . 7 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ฅ โ โค) โ ((๐ฅ ยท ๐) ยท ๐พ) = (๐ฅ ยท (๐ ยท ๐พ))) |
15 | 14 | 3expa 1119 | . . . . . 6 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ฅ โ โค) โ ((๐ฅ ยท ๐) ยท ๐พ) = (๐ฅ ยท (๐ ยท ๐พ))) |
16 | 15 | 3adantl3 1169 | . . . . 5 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ฅ โ โค) โ ((๐ฅ ยท ๐) ยท ๐พ) = (๐ฅ ยท (๐ ยท ๐พ))) |
17 | oveq1 7365 | . . . . 5 โข ((๐ฅ ยท ๐) = ๐ โ ((๐ฅ ยท ๐) ยท ๐พ) = (๐ ยท ๐พ)) | |
18 | 16, 17 | sylan9req 2798 | . . . 4 โข ((((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ฅ โ โค) โง (๐ฅ ยท ๐) = ๐) โ (๐ฅ ยท (๐ ยท ๐พ)) = (๐ ยท ๐พ)) |
19 | 18 | ex 414 | . . 3 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ฅ โ โค) โ ((๐ฅ ยท ๐) = ๐ โ (๐ฅ ยท (๐ ยท ๐พ)) = (๐ ยท ๐พ))) |
20 | 1, 7, 8, 19 | dvds1lem 16151 | . 2 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โฅ ๐ โ (๐ ยท ๐พ) โฅ (๐ ยท ๐พ))) |
21 | 20 | 3coml 1128 | 1 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐พ โ โค) โ (๐ โฅ ๐ โ (๐ ยท ๐พ) โฅ (๐ ยท ๐พ))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 class class class wbr 5106 (class class class)co 7358 โcc 11050 ยท cmul 11057 โคcz 12500 โฅ cdvds 16137 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-resscn 11109 ax-1cn 11110 ax-icn 11111 ax-addcl 11112 ax-addrcl 11113 ax-mulcl 11114 ax-mulrcl 11115 ax-mulcom 11116 ax-addass 11117 ax-mulass 11118 ax-distr 11119 ax-i2m1 11120 ax-1ne0 11121 ax-1rid 11122 ax-rnegex 11123 ax-rrecex 11124 ax-cnre 11125 ax-pre-lttri 11126 ax-pre-lttrn 11127 ax-pre-ltadd 11128 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-reu 3355 df-rab 3409 df-v 3448 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7804 df-2nd 7923 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-er 8649 df-en 8885 df-dom 8886 df-sdom 8887 df-pnf 11192 df-mnf 11193 df-ltxr 11195 df-sub 11388 df-neg 11389 df-nn 12155 df-n0 12415 df-z 12501 df-dvds 16138 |
This theorem is referenced by: dvdsmulcr 16169 coprmdvds2 16531 mulgcddvds 16532 rpmulgcd2 16533 pcpremul 16716 odadd2 19628 ablfacrp2 19847 znrrg 20975 dvdsmulf1o 26546 nnproddivdvdsd 40461 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |