Theorem dvdscmulr 16333

Description: Cancellation law for the divides relation. Theorem 1.1(e) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdscmulr	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝐾 · 𝑀) ∥ (𝐾 · 𝑁) ↔ 𝑀 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem dvdscmulr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmulcl 12692	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ)
2	1	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ)
3		zmulcl 12692	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ)
4	3	3adant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ)
5	2, 4	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ))
6	5	3coml 1127	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ))
7	6	3adant3r 1181	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ))
8		3simpa 1148	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
9		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
10		zcn 12644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
11		zcn 12644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
12	10, 11	anim12i 612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ))
13		zcn 12644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
14		zcn 12644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
15	14	anim1i 614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0))
16		mul12 11455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 · (𝑥 · 𝑀)) = (𝑥 · (𝐾 · 𝑀)))
17	16	3adant1r 1177	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 · (𝑥 · 𝑀)) = (𝑥 · (𝐾 · 𝑀)))
18	17	3expb 1120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ)) → (𝐾 · (𝑥 · 𝑀)) = (𝑥 · (𝐾 · 𝑀)))
19	18	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (𝐾 · (𝑥 · 𝑀)) = (𝑥 · (𝐾 · 𝑀)))
20	19	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (𝐾 · (𝑥 · 𝑀)) = (𝑥 · (𝐾 · 𝑀)))
21	20	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝐾 · (𝑥 · 𝑀)) = (𝐾 · 𝑁) ↔ (𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = (𝐾 · 𝑁)))
22		mulcl 11268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑀) ∈ ℂ)
23		mulcan 11927	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝐾 · (𝑥 · 𝑀)) = (𝐾 · 𝑁) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
24	22, 23	syl3an1 1163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝐾 · (𝑥 · 𝑀)) = (𝐾 · 𝑁) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
25	21, 24	bitr3d 281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = (𝐾 · 𝑁) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
26	12, 13, 15, 25	syl3an 1160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = (𝐾 · 𝑁) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
27	26	3expb 1120	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0))) → ((𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = (𝐾 · 𝑁) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
28	27	3impa 1110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0))) → ((𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = (𝐾 · 𝑁) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
29	28	3coml 1127	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = (𝐾 · 𝑁) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
30	29	3expia 1121	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0))) → (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = (𝐾 · 𝑁) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁)))
31	30	3impb 1115	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = (𝐾 · 𝑁) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁)))
32	31	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = (𝐾 · 𝑁) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
33	32	biimpd 229	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = (𝐾 · 𝑁) → (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
34	7, 8, 9, 33	dvds1lem 16316	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝐾 · 𝑀) ∥ (𝐾 · 𝑁) → 𝑀 ∥ 𝑁))
35		dvdscmul 16331	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝐾 · 𝑀) ∥ (𝐾 · 𝑁)))
36	35	3adant3r 1181	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝐾 · 𝑀) ∥ (𝐾 · 𝑁)))
37	34, 36	impbid 212	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝐾 · 𝑀) ∥ (𝐾 · 𝑁) ↔ 𝑀 ∥ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184   · cmul 11189  ℤcz 12639   ∥ cdvds 16302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-dvds 16303

This theorem is referenced by:  modmulconst  16336  bitsmod  16482  mulgcd  16595  pcpremul  16890  4sqlem17  17008  odmulg  19598  ablfacrp2  20111  ablfac1b  20114  pgpfac1lem3a  20120  znrrg  21607  fsumdvdsdiaglem  27244  oddpwdc  34319  jm2.20nn  42954