MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdscmulr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdscmulr 16233
Description: Cancellation law for the divides relation. Theorem 1.1(e) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdscmulr ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘) โ†” ๐‘€ โˆฅ ๐‘))

Proof of Theorem dvdscmulr
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zmulcl 12616 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
213adant3 1131 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
3 zmulcl 12616 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
433adant2 1130 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
52, 4jca 511 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค))
653coml 1126 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค))
763adant3r 1180 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค))
8 3simpa 1147 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
9 simpr 484 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
10 zcn 12568 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
11 zcn 12568 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
1210, 11anim12i 612 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚))
13 zcn 12568 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
14 zcn 12568 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
1514anim1i 614 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โ‰  0))
16 mul12 11384 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐พ ยท (๐‘ฅ ยท ๐‘€)) = (๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)))
17163adant1r 1176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐พ ยท (๐‘ฅ ยท ๐‘€)) = (๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)))
18173expb 1119 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐พ ยท (๐‘ฅ ยท ๐‘€)) = (๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)))
1918ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ (๐พ ยท (๐‘ฅ ยท ๐‘€)) = (๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)))
20193adant2 1130 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ (๐พ ยท (๐‘ฅ ยท ๐‘€)) = (๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)))
2120eqeq1d 2733 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((๐พ ยท (๐‘ฅ ยท ๐‘€)) = (๐พ ยท ๐‘) โ†” (๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)) = (๐พ ยท ๐‘)))
22 mulcl 11198 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
23 mulcan 11856 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฅ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((๐พ ยท (๐‘ฅ ยท ๐‘€)) = (๐พ ยท ๐‘) โ†” (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
2422, 23syl3an1 1162 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((๐พ ยท (๐‘ฅ ยท ๐‘€)) = (๐พ ยท ๐‘) โ†” (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
2521, 24bitr3d 281 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)) = (๐พ ยท ๐‘) โ†” (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
2612, 13, 15, 25syl3an 1159 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)) = (๐พ ยท ๐‘) โ†” (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
27263expb 1119 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)) = (๐พ ยท ๐‘) โ†” (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
28273impa 1109 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)) = (๐พ ยท ๐‘) โ†” (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
29283coml 1126 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)) = (๐พ ยท ๐‘) โ†” (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
30293expia 1120 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)) = (๐พ ยท ๐‘) โ†” (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘)))
31303impb 1114 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)) = (๐พ ยท ๐‘) โ†” (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘)))
3231imp 406 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)) = (๐พ ยท ๐‘) โ†” (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
3332biimpd 228 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)) = (๐พ ยท ๐‘) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
347, 8, 9, 33dvds1lem 16216 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
35 dvdscmul 16231 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘)))
36353adant3r 1180 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘)))
3734, 36impbid 211 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘) โ†” ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11112  0cc0 11114   ยท cmul 11119  โ„คcz 12563   โˆฅ cdvds 16202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-dvds 16203
This theorem is referenced by:  modmulconst  16236  bitsmod  16382  mulgcd  16495  pcpremul  16781  4sqlem17  16899  odmulg  19466  ablfacrp2  19979  ablfac1b  19982  pgpfac1lem3a  19988  znrrg  21341  fsumdvdsdiaglem  26924  oddpwdc  33652  jm2.20nn  42039
  Copyright terms: Public domain W3C validator