Theorem dvdscmulr 16213

Description: Cancellation law for the divides relation. Theorem 1.1(e) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdscmulr	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝐾 · 𝑀) ∥ (𝐾 · 𝑁) ↔ 𝑀 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem dvdscmulr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmulcl 12542	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ)
2	1	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ)
3		zmulcl 12542	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ)
4	3	3adant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ)
5	2, 4	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ))
6	5	3coml 1127	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ))
7	6	3adant3r 1182	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ))
8		3simpa 1148	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
9		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
10		zcn 12494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
11		zcn 12494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
12	10, 11	anim12i 613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ))
13		zcn 12494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
14		zcn 12494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
15	14	anim1i 615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0))
16		mul12 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 · (𝑥 · 𝑀)) = (𝑥 · (𝐾 · 𝑀)))
17	16	3adant1r 1178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 · (𝑥 · 𝑀)) = (𝑥 · (𝐾 · 𝑀)))
18	17	3expb 1120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ)) → (𝐾 · (𝑥 · 𝑀)) = (𝑥 · (𝐾 · 𝑀)))
19	18	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (𝐾 · (𝑥 · 𝑀)) = (𝑥 · (𝐾 · 𝑀)))
20	19	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (𝐾 · (𝑥 · 𝑀)) = (𝑥 · (𝐾 · 𝑀)))
21	20	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝐾 · (𝑥 · 𝑀)) = (𝐾 · 𝑁) ↔ (𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = (𝐾 · 𝑁)))
22		mulcl 11112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑀) ∈ ℂ)
23		mulcan 11775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝐾 · (𝑥 · 𝑀)) = (𝐾 · 𝑁) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
24	22, 23	syl3an1 1163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝐾 · (𝑥 · 𝑀)) = (𝐾 · 𝑁) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
25	21, 24	bitr3d 281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = (𝐾 · 𝑁) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
26	12, 13, 15, 25	syl3an 1160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = (𝐾 · 𝑁) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
27	26	3expb 1120	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0))) → ((𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = (𝐾 · 𝑁) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
28	27	3impa 1109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0))) → ((𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = (𝐾 · 𝑁) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
29	28	3coml 1127	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = (𝐾 · 𝑁) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
30	29	3expia 1121	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0))) → (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = (𝐾 · 𝑁) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁)))
31	30	3impb 1114	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = (𝐾 · 𝑁) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁)))
32	31	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = (𝐾 · 𝑁) ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
33	32	biimpd 229	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = (𝐾 · 𝑁) → (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
34	7, 8, 9, 33	dvds1lem 16196	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝐾 · 𝑀) ∥ (𝐾 · 𝑁) → 𝑀 ∥ 𝑁))
35		dvdscmul 16211	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝐾 · 𝑀) ∥ (𝐾 · 𝑁)))
36	35	3adant3r 1182	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝐾 · 𝑀) ∥ (𝐾 · 𝑁)))
37	34, 36	impbid 212	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝐾 · 𝑀) ∥ (𝐾 · 𝑁) ↔ 𝑀 ∥ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028   · cmul 11033  ℤcz 12489   ∥ cdvds 16181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-dvds 16182

This theorem is referenced by:  modmulconst  16217  bitsmod  16365  mulgcd  16477  pcpremul  16773  4sqlem17  16891  odmulg  19453  ablfacrp2  19966  ablfac1b  19969  pgpfac1lem3a  19975  znrrg  21490  fsumdvdsdiaglem  27109  oddpwdc  34321  jm2.20nn  42970