MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdscmulr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdscmulr 16102
Description: Cancellation law for the divides relation. Theorem 1.1(e) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdscmulr ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘) โ†” ๐‘€ โˆฅ ๐‘))

Proof of Theorem dvdscmulr
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zmulcl 12483 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
213adant3 1133 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
3 zmulcl 12483 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
433adant2 1132 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
52, 4jca 513 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค))
653coml 1128 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค))
763adant3r 1182 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค))
8 3simpa 1149 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
9 simpr 486 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
10 zcn 12438 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
11 zcn 12438 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
1210, 11anim12i 614 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚))
13 zcn 12438 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
14 zcn 12438 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
1514anim1i 616 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โ‰  0))
16 mul12 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐พ ยท (๐‘ฅ ยท ๐‘€)) = (๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)))
17163adant1r 1178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โ‰  0) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐พ ยท (๐‘ฅ ยท ๐‘€)) = (๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)))
18173expb 1121 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐พ ยท (๐‘ฅ ยท ๐‘€)) = (๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)))
1918ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ (๐พ ยท (๐‘ฅ ยท ๐‘€)) = (๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)))
20193adant2 1132 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ (๐พ ยท (๐‘ฅ ยท ๐‘€)) = (๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)))
2120eqeq1d 2740 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((๐พ ยท (๐‘ฅ ยท ๐‘€)) = (๐พ ยท ๐‘) โ†” (๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)) = (๐พ ยท ๐‘)))
22 mulcl 11069 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
23 mulcan 11726 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฅ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((๐พ ยท (๐‘ฅ ยท ๐‘€)) = (๐พ ยท ๐‘) โ†” (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
2422, 23syl3an1 1164 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((๐พ ยท (๐‘ฅ ยท ๐‘€)) = (๐พ ยท ๐‘) โ†” (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
2521, 24bitr3d 281 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)) = (๐พ ยท ๐‘) โ†” (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
2612, 13, 15, 25syl3an 1161 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)) = (๐พ ยท ๐‘) โ†” (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
27263expb 1121 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)) = (๐พ ยท ๐‘) โ†” (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
28273impa 1111 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)) = (๐พ ยท ๐‘) โ†” (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
29283coml 1128 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)) = (๐พ ยท ๐‘) โ†” (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
30293expia 1122 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)) = (๐พ ยท ๐‘) โ†” (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘)))
31303impb 1116 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)) = (๐พ ยท ๐‘) โ†” (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘)))
3231imp 408 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)) = (๐พ ยท ๐‘) โ†” (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
3332biimpd 228 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)) = (๐พ ยท ๐‘) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
347, 8, 9, 33dvds1lem 16085 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
35 dvdscmul 16100 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘)))
36353adant3r 1182 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘)))
3734, 36impbid 211 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ (๐พ ยท ๐‘) โ†” ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2942   class class class wbr 5104  (class class class)co 7350  โ„‚cc 10983  0cc0 10985   ยท cmul 10990  โ„คcz 12433   โˆฅ cdvds 16071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-n0 12348  df-z 12434  df-dvds 16072
This theorem is referenced by:  modmulconst  16105  bitsmod  16251  mulgcd  16364  pcpremul  16650  4sqlem17  16768  odmulg  19269  ablfacrp2  19775  ablfac1b  19778  pgpfac1lem3a  19784  znrrg  20895  fsumdvdsdiaglem  26454  oddpwdc  32715  jm2.20nn  41155
  Copyright terms: Public domain W3C validator