MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  muldvds2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem muldvds2 16268
Description: If a product divides an integer, so does one of its factors. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
muldvds2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))

Proof of Theorem muldvds2
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zmulcl 12651 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
21anim1i 613 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
323impa 1107 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
4 3simpc 1147 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
5 zmulcl 12651 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐พ) โˆˆ โ„ค)
65ancoms 457 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐พ) โˆˆ โ„ค)
763ad2antl1 1182 . 2 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐พ) โˆˆ โ„ค)
8 zcn 12603 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
9 zcn 12603 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
10 zcn 12603 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
11 mulass 11236 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐พ) ยท ๐‘€) = (๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)))
128, 9, 10, 11syl3an 1157 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐พ) ยท ๐‘€) = (๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)))
13123coml 1124 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐พ) ยท ๐‘€) = (๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)))
14133expa 1115 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐พ) ยท ๐‘€) = (๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)))
15143adantl3 1165 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐พ) ยท ๐‘€) = (๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)))
1615eqeq1d 2730 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐พ) ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†” (๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)) = ๐‘))
1716biimprd 247 . 2 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ ยท (๐พ ยท ๐‘€)) = ๐‘ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐พ) ยท ๐‘€) = ๐‘))
183, 4, 7, 17dvds1lem 16254 1 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11146   ยท cmul 11153  โ„คcz 12598   โˆฅ cdvds 16240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-ltxr 11293  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-n0 12513  df-z 12599  df-dvds 16241
This theorem is referenced by:  muldvds2d  41509  nnproddivdvdsd  41511  jm2.27a  42475  fmtnofac2lem  46955
  Copyright terms: Public domain W3C validator