MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvds0lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvds0lem 15370
Description: A lemma to assist theorems of with no antecedents. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvds0lem (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 · 𝑀) = 𝑁) → 𝑀𝑁)

Proof of Theorem dvds0lem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6913 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 · 𝑀) = (𝐾 · 𝑀))
21eqeq1d 2828 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 · 𝑀) = 𝑁 ↔ (𝐾 · 𝑀) = 𝑁))
32rspcev 3527 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑀) = 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁)
43adantl 475 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑀) = 𝑁)) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁)
5 divides 15360 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
65adantr 474 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑀) = 𝑁)) → (𝑀𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
74, 6mpbird 249 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑀) = 𝑁)) → 𝑀𝑁)
87expr 450 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) = 𝑁𝑀𝑁))
983impa 1142 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) = 𝑁𝑀𝑁))
1093comr 1161 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) = 𝑁𝑀𝑁))
1110imp 397 1 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 · 𝑀) = 𝑁) → 𝑀𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wrex 3119   class class class wbr 4874  (class class class)co 6906   · cmul 10258  cz 11705  cdvds 15358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pr 5128
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-rex 3124  df-rab 3127  df-v 3417  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-nul 4146  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4660  df-br 4875  df-opab 4937  df-iota 6087  df-fv 6132  df-ov 6909  df-dvds 15359
This theorem is referenced by:  iddvds  15373  1dvds  15374  dvds0  15375  dvdsmul1  15381  dvdsmul2  15382  divalgmod  15504  isprm5  15791  ex-dvds  27872  oddpwdc  30962  inductionexd  39294
  Copyright terms: Public domain W3C validator