Theorem dvds0lem 15791

Description: A lemma to assist theorems of ∥ with no antecedents. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvds0lem	⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 · 𝑀) = 𝑁) → 𝑀 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem dvds0lem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7198	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 · 𝑀) = (𝐾 · 𝑀))
2	1	eqeq1d 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 · 𝑀) = 𝑁 ↔ (𝐾 · 𝑀) = 𝑁))
3	2	rspcev 3527	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑀) = 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁)
4	3	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑀) = 𝑁)) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁)
5		divides 15780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
6	5	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑀) = 𝑁)) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
7	4, 6	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑀) = 𝑁)) → 𝑀 ∥ 𝑁)
8	7	expr 460	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) = 𝑁 → 𝑀 ∥ 𝑁))
9	8	3impa 1112	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) = 𝑁 → 𝑀 ∥ 𝑁))
10	9	3comr 1127	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) = 𝑁 → 𝑀 ∥ 𝑁))
11	10	imp 410	1 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 · 𝑀) = 𝑁) → 𝑀 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ∃wrex 3052   class class class wbr 5039  (class class class)co 7191   · cmul 10699  ℤcz 12141   ∥ cdvds 15778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-sb 2073  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-iota 6316  df-fv 6366  df-ov 7194  df-dvds 15779

This theorem is referenced by:  iddvds  15794  1dvds  15795  dvds0  15796  dvdsmul1  15802  dvdsmul2  15803  divalgmod  15930  isprm5  16227  ex-dvds  28493  oddpwdc  31987  inductionexd  41383