MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvds0lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvds0lem 16217
Description: A lemma to assist theorems of โˆฅ with no antecedents. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvds0lem (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘)

Proof of Theorem dvds0lem
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = (๐พ ยท ๐‘€))
21eqeq1d 2728 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†” (๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘))
32rspcev 3606 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘)
43adantl 481 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘)
5 divides 16206 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
65adantr 480 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
74, 6mpbird 257 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘)
87expr 456 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
983impa 1107 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
1093comr 1122 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
1110imp 406 1 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405   ยท cmul 11117  โ„คcz 12562   โˆฅ cdvds 16204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-iota 6489  df-fv 6545  df-ov 7408  df-dvds 16205
This theorem is referenced by:  iddvds  16220  1dvds  16221  dvds0  16222  dvdsmul1  16228  dvdsmul2  16229  divalgmod  16356  isprm5  16651  ex-dvds  30218  oddpwdc  33883  inductionexd  43479
  Copyright terms: Public domain W3C validator