![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dvds0lem | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A lemma to assist theorems of โฅ with no antecedents. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
Ref | Expression |
---|---|
dvds0lem | โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ ยท ๐) = ๐) โ ๐ โฅ ๐) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | oveq1 7412 | . . . . . . . . 9 โข (๐ฅ = ๐พ โ (๐ฅ ยท ๐) = (๐พ ยท ๐)) | |
2 | 1 | eqeq1d 2728 | . . . . . . . 8 โข (๐ฅ = ๐พ โ ((๐ฅ ยท ๐) = ๐ โ (๐พ ยท ๐) = ๐)) |
3 | 2 | rspcev 3606 | . . . . . . 7 โข ((๐พ โ โค โง (๐พ ยท ๐) = ๐) โ โ๐ฅ โ โค (๐ฅ ยท ๐) = ๐) |
4 | 3 | adantl 481 | . . . . . 6 โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ โ โค โง (๐พ ยท ๐) = ๐)) โ โ๐ฅ โ โค (๐ฅ ยท ๐) = ๐) |
5 | divides 16206 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โฅ ๐ โ โ๐ฅ โ โค (๐ฅ ยท ๐) = ๐)) | |
6 | 5 | adantr 480 | . . . . . 6 โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ โ โค โง (๐พ ยท ๐) = ๐)) โ (๐ โฅ ๐ โ โ๐ฅ โ โค (๐ฅ ยท ๐) = ๐)) |
7 | 4, 6 | mpbird 257 | . . . . 5 โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ โ โค โง (๐พ ยท ๐) = ๐)) โ ๐ โฅ ๐) |
8 | 7 | expr 456 | . . . 4 โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐พ โ โค) โ ((๐พ ยท ๐) = ๐ โ ๐ โฅ ๐)) |
9 | 8 | 3impa 1107 | . . 3 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐พ โ โค) โ ((๐พ ยท ๐) = ๐ โ ๐ โฅ ๐)) |
10 | 9 | 3comr 1122 | . 2 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐พ ยท ๐) = ๐ โ ๐ โฅ ๐)) |
11 | 10 | imp 406 | 1 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ ยท ๐) = ๐) โ ๐ โฅ ๐) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โwrex 3064 class class class wbr 5141 (class class class)co 7405 ยท cmul 11117 โคcz 12562 โฅ cdvds 16204 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pr 5420 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-sb 2060 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rab 3427 df-v 3470 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-br 5142 df-opab 5204 df-iota 6489 df-fv 6545 df-ov 7408 df-dvds 16205 |
This theorem is referenced by: iddvds 16220 1dvds 16221 dvds0 16222 dvdsmul1 16228 dvdsmul2 16229 divalgmod 16356 isprm5 16651 ex-dvds 30218 oddpwdc 33883 inductionexd 43479 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |