MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvds0lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvds0lem 16156
Description: A lemma to assist theorems of โˆฅ with no antecedents. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvds0lem (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘)

Proof of Theorem dvds0lem
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7369 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = (๐พ ยท ๐‘€))
21eqeq1d 2739 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†” (๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘))
32rspcev 3584 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘)
43adantl 483 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘)
5 divides 16145 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
65adantr 482 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
74, 6mpbird 257 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘)
87expr 458 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
983impa 1111 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
1093comr 1126 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
1110imp 408 1 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3074   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362   ยท cmul 11063  โ„คcz 12506   โˆฅ cdvds 16143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-iota 6453  df-fv 6509  df-ov 7365  df-dvds 16144
This theorem is referenced by:  iddvds  16159  1dvds  16160  dvds0  16161  dvdsmul1  16167  dvdsmul2  16168  divalgmod  16295  isprm5  16590  ex-dvds  29442  oddpwdc  32994  inductionexd  42501
  Copyright terms: Public domain W3C validator