Theorem dvds0lem 16209

Description: A lemma to assist theorems of ∥ with no antecedents. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvds0lem	⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 · 𝑀) = 𝑁) → 𝑀 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem dvds0lem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 · 𝑀) = (𝐾 · 𝑀))
2	1	eqeq1d 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 · 𝑀) = 𝑁 ↔ (𝐾 · 𝑀) = 𝑁))
3	2	rspcev 3612	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑀) = 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁)
4	3	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑀) = 𝑁)) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁)
5		divides 16198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
6	5	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑀) = 𝑁)) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
7	4, 6	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑀) = 𝑁)) → 𝑀 ∥ 𝑁)
8	7	expr 457	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) = 𝑁 → 𝑀 ∥ 𝑁))
9	8	3impa 1110	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) = 𝑁 → 𝑀 ∥ 𝑁))
10	9	3comr 1125	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) = 𝑁 → 𝑀 ∥ 𝑁))
11	10	imp 407	1 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 · 𝑀) = 𝑁) → 𝑀 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408   · cmul 11114  ℤcz 12557   ∥ cdvds 16196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-iota 6495  df-fv 6551  df-ov 7411  df-dvds 16197

This theorem is referenced by:  iddvds  16212  1dvds  16213  dvds0  16214  dvdsmul1  16220  dvdsmul2  16221  divalgmod  16348  isprm5  16643  ex-dvds  29706  oddpwdc  33348  inductionexd  42896