MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvds0lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvds0lem 16253
Description: A lemma to assist theorems of โˆฅ with no antecedents. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvds0lem (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘)

Proof of Theorem dvds0lem
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7433 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = (๐พ ยท ๐‘€))
21eqeq1d 2730 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†” (๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘))
32rspcev 3611 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘)
43adantl 480 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘)
5 divides 16242 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
65adantr 479 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ ยท ๐‘€) = ๐‘))
74, 6mpbird 256 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘)
87expr 455 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
983impa 1107 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
1093comr 1122 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
1110imp 405 1 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ ยท ๐‘€) = ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426   ยท cmul 11153  โ„คcz 12598   โˆฅ cdvds 16240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-iota 6505  df-fv 6561  df-ov 7429  df-dvds 16241
This theorem is referenced by:  iddvds  16256  1dvds  16257  dvds0  16258  dvdsmul1  16264  dvdsmul2  16265  divalgmod  16392  isprm5  16687  ex-dvds  30294  oddpwdc  34015  inductionexd  43634
  Copyright terms: Public domain W3C validator