Theorem dvds0lem 16233

Description: A lemma to assist theorems of ∥ with no antecedents. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvds0lem	⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 · 𝑀) = 𝑁) → 𝑀 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem dvds0lem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 · 𝑀) = (𝐾 · 𝑀))
2	1	eqeq1d 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 · 𝑀) = 𝑁 ↔ (𝐾 · 𝑀) = 𝑁))
3	2	rspcev 3567	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑀) = 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁)
4	3	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑀) = 𝑁)) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁)
5		divides 16221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
6	5	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑀) = 𝑁)) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
7	4, 6	mpbird 258	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑀) = 𝑁)) → 𝑀 ∥ 𝑁)
8	7	expr 457	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) = 𝑁 → 𝑀 ∥ 𝑁))
9	8	3impa 1115	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) = 𝑁 → 𝑀 ∥ 𝑁))
10	9	3comr 1131	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) = 𝑁 → 𝑀 ∥ 𝑁))
11	10	imp 407	1 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 · 𝑀) = 𝑁) → 𝑀 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3064   class class class wbr 5079  (class class class)co 7363   · cmul 11041  ℤcz 12522   ∥ cdvds 16219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-iota 6448  df-fv 6500  df-ov 7366  df-dvds 16220

This theorem is referenced by:  iddvds  16236  1dvds  16237  dvds0  16238  dvdsmul1  16244  dvdsmul2  16245  divalgmod  16373  isprm5  16675  ex-dvds  30551  fldextrspundgdvds  33872  constrext2chnlem  33941  oddpwdc  34545  inductionexd  44600