![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dvds0lem | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A lemma to assist theorems of โฅ with no antecedents. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
Ref | Expression |
---|---|
dvds0lem | โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ ยท ๐) = ๐) โ ๐ โฅ ๐) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | oveq1 7433 | . . . . . . . . 9 โข (๐ฅ = ๐พ โ (๐ฅ ยท ๐) = (๐พ ยท ๐)) | |
2 | 1 | eqeq1d 2730 | . . . . . . . 8 โข (๐ฅ = ๐พ โ ((๐ฅ ยท ๐) = ๐ โ (๐พ ยท ๐) = ๐)) |
3 | 2 | rspcev 3611 | . . . . . . 7 โข ((๐พ โ โค โง (๐พ ยท ๐) = ๐) โ โ๐ฅ โ โค (๐ฅ ยท ๐) = ๐) |
4 | 3 | adantl 480 | . . . . . 6 โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ โ โค โง (๐พ ยท ๐) = ๐)) โ โ๐ฅ โ โค (๐ฅ ยท ๐) = ๐) |
5 | divides 16242 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โฅ ๐ โ โ๐ฅ โ โค (๐ฅ ยท ๐) = ๐)) | |
6 | 5 | adantr 479 | . . . . . 6 โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ โ โค โง (๐พ ยท ๐) = ๐)) โ (๐ โฅ ๐ โ โ๐ฅ โ โค (๐ฅ ยท ๐) = ๐)) |
7 | 4, 6 | mpbird 256 | . . . . 5 โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ โ โค โง (๐พ ยท ๐) = ๐)) โ ๐ โฅ ๐) |
8 | 7 | expr 455 | . . . 4 โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐พ โ โค) โ ((๐พ ยท ๐) = ๐ โ ๐ โฅ ๐)) |
9 | 8 | 3impa 1107 | . . 3 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐พ โ โค) โ ((๐พ ยท ๐) = ๐ โ ๐ โฅ ๐)) |
10 | 9 | 3comr 1122 | . 2 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐พ ยท ๐) = ๐ โ ๐ โฅ ๐)) |
11 | 10 | imp 405 | 1 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ ยท ๐) = ๐) โ ๐ โฅ ๐) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 394 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โwrex 3067 class class class wbr 5152 (class class class)co 7426 ยท cmul 11153 โคcz 12598 โฅ cdvds 16240 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-ext 2699 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pr 5433 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-sb 2060 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rab 3431 df-v 3475 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4327 df-if 4533 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-br 5153 df-opab 5215 df-iota 6505 df-fv 6561 df-ov 7429 df-dvds 16241 |
This theorem is referenced by: iddvds 16256 1dvds 16257 dvds0 16258 dvdsmul1 16264 dvdsmul2 16265 divalgmod 16392 isprm5 16687 ex-dvds 30294 oddpwdc 34015 inductionexd 43634 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |