Theorem dvds0lem 16330

Description: A lemma to assist theorems of ∥ with no antecedents. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvds0lem	⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 · 𝑀) = 𝑁) → 𝑀 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem dvds0lem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 · 𝑀) = (𝐾 · 𝑀))
2	1	eqeq1d 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 · 𝑀) = 𝑁 ↔ (𝐾 · 𝑀) = 𝑁))
3	2	rspcev 3580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑀) = 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁)
4	3	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑀) = 𝑁)) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁)
5		divides 16318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
6	5	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑀) = 𝑁)) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
7	4, 6	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑀) = 𝑁)) → 𝑀 ∥ 𝑁)
8	7	expr 461	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) = 𝑁 → 𝑀 ∥ 𝑁))
9	8	3impa 1126	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) = 𝑁 → 𝑀 ∥ 𝑁))
10	9	3comr 1142	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) = 𝑁 → 𝑀 ∥ 𝑁))
11	10	imp 411	1 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 · 𝑀) = 𝑁) → 𝑀 ∥ 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3088   class class class wbr 5108  (class class class)co 7412   · cmul 11111  ℤcz 12597   ∥ cdvds 16316

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-iota 6492  df-fv 6544  df-ov 7415  df-dvds 16317

This theorem is used by:  iddvds  16333  1dvds  16334  dvds0  16335  dvdsmul1  16341  dvdsmul2  16342  divalgmod  16470  isprm5  16772  ex-dvds  30818  fldextrspundgdvds  34080  constrext2chnlem  34149  oddpwdc  34753  inductionexd  44909