![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dvds0lem | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A lemma to assist theorems of โฅ with no antecedents. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
Ref | Expression |
---|---|
dvds0lem | โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ ยท ๐) = ๐) โ ๐ โฅ ๐) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | oveq1 7369 | . . . . . . . . 9 โข (๐ฅ = ๐พ โ (๐ฅ ยท ๐) = (๐พ ยท ๐)) | |
2 | 1 | eqeq1d 2739 | . . . . . . . 8 โข (๐ฅ = ๐พ โ ((๐ฅ ยท ๐) = ๐ โ (๐พ ยท ๐) = ๐)) |
3 | 2 | rspcev 3584 | . . . . . . 7 โข ((๐พ โ โค โง (๐พ ยท ๐) = ๐) โ โ๐ฅ โ โค (๐ฅ ยท ๐) = ๐) |
4 | 3 | adantl 483 | . . . . . 6 โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ โ โค โง (๐พ ยท ๐) = ๐)) โ โ๐ฅ โ โค (๐ฅ ยท ๐) = ๐) |
5 | divides 16145 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โฅ ๐ โ โ๐ฅ โ โค (๐ฅ ยท ๐) = ๐)) | |
6 | 5 | adantr 482 | . . . . . 6 โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ โ โค โง (๐พ ยท ๐) = ๐)) โ (๐ โฅ ๐ โ โ๐ฅ โ โค (๐ฅ ยท ๐) = ๐)) |
7 | 4, 6 | mpbird 257 | . . . . 5 โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ โ โค โง (๐พ ยท ๐) = ๐)) โ ๐ โฅ ๐) |
8 | 7 | expr 458 | . . . 4 โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐พ โ โค) โ ((๐พ ยท ๐) = ๐ โ ๐ โฅ ๐)) |
9 | 8 | 3impa 1111 | . . 3 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐พ โ โค) โ ((๐พ ยท ๐) = ๐ โ ๐ โฅ ๐)) |
10 | 9 | 3comr 1126 | . 2 โข ((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐พ ยท ๐) = ๐ โ ๐ โฅ ๐)) |
11 | 10 | imp 408 | 1 โข (((๐พ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ ยท ๐) = ๐) โ ๐ โฅ ๐) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 โwrex 3074 class class class wbr 5110 (class class class)co 7362 ยท cmul 11063 โคcz 12506 โฅ cdvds 16143 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-ext 2708 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pr 5389 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-sb 2069 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rab 3411 df-v 3450 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-nul 4288 df-if 4492 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4871 df-br 5111 df-opab 5173 df-iota 6453 df-fv 6509 df-ov 7365 df-dvds 16144 |
This theorem is referenced by: iddvds 16159 1dvds 16160 dvds0 16161 dvdsmul1 16167 dvdsmul2 16168 divalgmod 16295 isprm5 16590 ex-dvds 29442 oddpwdc 32994 inductionexd 42501 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |