Theorem negdvdsb 16307

Description: An integer divides another iff its negation does. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
negdvdsb	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ -𝑀 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem negdvdsb

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
2		znegcl 12650	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → -𝑀 ∈ ℤ)
3	2	anim1i 615	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
4		znegcl 12650	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → -𝑥 ∈ ℤ)
6		zcn 12616	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
7		zcn 12616	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
8		mul2neg 11700	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (-𝑥 · -𝑀) = (𝑥 · 𝑀))
9	6, 7, 8	syl2anr 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-𝑥 · -𝑀) = (𝑥 · 𝑀))
10	9	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-𝑥 · -𝑀) = (𝑥 · 𝑀))
11	10	eqeq1d 2737	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((-𝑥 · -𝑀) = 𝑁 ↔ (𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
12	11	biimprd 248	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑀) = 𝑁 → (-𝑥 · -𝑀) = 𝑁))
13	1, 3, 5, 12	dvds1lem 16302	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → -𝑀 ∥ 𝑁))
14		mulneg12 11699	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (-𝑥 · 𝑀) = (𝑥 · -𝑀))
15	6, 7, 14	syl2anr 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-𝑥 · 𝑀) = (𝑥 · -𝑀))
16	15	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-𝑥 · 𝑀) = (𝑥 · -𝑀))
17	16	eqeq1d 2737	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((-𝑥 · 𝑀) = 𝑁 ↔ (𝑥 · -𝑀) = 𝑁))
18	17	biimprd 248	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · -𝑀) = 𝑁 → (-𝑥 · 𝑀) = 𝑁))
19	3, 1, 5, 18	dvds1lem 16302	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-𝑀 ∥ 𝑁 → 𝑀 ∥ 𝑁))
20	13, 19	impbid 212	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ -𝑀 ∥ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℂcc 11151   · cmul 11158  -cneg 11491  ℤcz 12611   ∥ cdvds 16287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-z 12612  df-dvds 16288

This theorem is referenced by:  absdvdsb  16309  3dvds  16365  lcmneg  16637