![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > negdvdsb | Structured version Visualization version GIF version |
Description: An integer divides another iff its negation does. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
Ref | Expression |
---|---|
negdvdsb | โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โฅ ๐ โ -๐ โฅ ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | id 22 | . . 3 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โ โค โง ๐ โ โค)) | |
2 | znegcl 12545 | . . . 4 โข (๐ โ โค โ -๐ โ โค) | |
3 | 2 | anim1i 616 | . . 3 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (-๐ โ โค โง ๐ โ โค)) |
4 | znegcl 12545 | . . . 4 โข (๐ฅ โ โค โ -๐ฅ โ โค) | |
5 | 4 | adantl 483 | . . 3 โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ฅ โ โค) โ -๐ฅ โ โค) |
6 | zcn 12511 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ โ โค โ ๐ฅ โ โ) | |
7 | zcn 12511 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โ) | |
8 | mul2neg 11601 | . . . . . . 7 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ โ โ) โ (-๐ฅ ยท -๐) = (๐ฅ ยท ๐)) | |
9 | 6, 7, 8 | syl2anr 598 | . . . . . 6 โข ((๐ โ โค โง ๐ฅ โ โค) โ (-๐ฅ ยท -๐) = (๐ฅ ยท ๐)) |
10 | 9 | adantlr 714 | . . . . 5 โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ฅ โ โค) โ (-๐ฅ ยท -๐) = (๐ฅ ยท ๐)) |
11 | 10 | eqeq1d 2739 | . . . 4 โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ฅ โ โค) โ ((-๐ฅ ยท -๐) = ๐ โ (๐ฅ ยท ๐) = ๐)) |
12 | 11 | biimprd 248 | . . 3 โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ฅ โ โค) โ ((๐ฅ ยท ๐) = ๐ โ (-๐ฅ ยท -๐) = ๐)) |
13 | 1, 3, 5, 12 | dvds1lem 16157 | . 2 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โฅ ๐ โ -๐ โฅ ๐)) |
14 | mulneg12 11600 | . . . . . . 7 โข ((๐ฅ โ โ โง ๐ โ โ) โ (-๐ฅ ยท ๐) = (๐ฅ ยท -๐)) | |
15 | 6, 7, 14 | syl2anr 598 | . . . . . 6 โข ((๐ โ โค โง ๐ฅ โ โค) โ (-๐ฅ ยท ๐) = (๐ฅ ยท -๐)) |
16 | 15 | adantlr 714 | . . . . 5 โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ฅ โ โค) โ (-๐ฅ ยท ๐) = (๐ฅ ยท -๐)) |
17 | 16 | eqeq1d 2739 | . . . 4 โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ฅ โ โค) โ ((-๐ฅ ยท ๐) = ๐ โ (๐ฅ ยท -๐) = ๐)) |
18 | 17 | biimprd 248 | . . 3 โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ฅ โ โค) โ ((๐ฅ ยท -๐) = ๐ โ (-๐ฅ ยท ๐) = ๐)) |
19 | 3, 1, 5, 18 | dvds1lem 16157 | . 2 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (-๐ โฅ ๐ โ ๐ โฅ ๐)) |
20 | 13, 19 | impbid 211 | 1 โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โฅ ๐ โ -๐ โฅ ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 class class class wbr 5110 (class class class)co 7362 โcc 11056 ยท cmul 11063 -cneg 11393 โคcz 12506 โฅ cdvds 16143 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pow 5325 ax-pr 5389 ax-un 7677 ax-resscn 11115 ax-1cn 11116 ax-icn 11117 ax-addcl 11118 ax-addrcl 11119 ax-mulcl 11120 ax-mulrcl 11121 ax-mulcom 11122 ax-addass 11123 ax-mulass 11124 ax-distr 11125 ax-i2m1 11126 ax-1ne0 11127 ax-1rid 11128 ax-rnegex 11129 ax-rrecex 11130 ax-cnre 11131 ax-pre-lttri 11132 ax-pre-lttrn 11133 ax-pre-ltadd 11134 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-reu 3357 df-rab 3411 df-v 3450 df-sbc 3745 df-csb 3861 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-pss 3934 df-nul 4288 df-if 4492 df-pw 4567 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4871 df-iun 4961 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-tr 5228 df-id 5536 df-eprel 5542 df-po 5550 df-so 5551 df-fr 5593 df-we 5595 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6258 df-ord 6325 df-on 6326 df-lim 6327 df-suc 6328 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fn 6504 df-f 6505 df-f1 6506 df-fo 6507 df-f1o 6508 df-fv 6509 df-riota 7318 df-ov 7365 df-oprab 7366 df-mpo 7367 df-om 7808 df-2nd 7927 df-frecs 8217 df-wrecs 8248 df-recs 8322 df-rdg 8361 df-er 8655 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-pnf 11198 df-mnf 11199 df-ltxr 11201 df-sub 11394 df-neg 11395 df-nn 12161 df-z 12507 df-dvds 16144 |
This theorem is referenced by: absdvdsb 16164 3dvds 16220 lcmneg 16486 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |