Theorem elinlem 44598

Description: Two ways to say a set is a member of an intersection. (Contributed by RP, 19-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elinlem	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ( I ‘𝐴) ∈ 𝐶))

Proof of Theorem elinlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 4093	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶))
2		fvi 6961	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ( I ‘𝐴) = 𝐴)
3	2	eqcomd 2766	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 = ( I ‘𝐴))
4	3	eleq1d 2845	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ ( I ‘𝐴) ∈ 𝐶))
5	4	pm5.32i 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ( I ‘𝐴) ∈ 𝐶))
6	1, 5	bitri 278	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ( I ‘𝐴) ∈ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ∩ cin 4089   I cid 5544  ‘cfv 6538

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546

This theorem is used by:  elcnvcnvlem  44599