Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | elxp 5542 |
. 2
⊢ (𝐴 ∈ ((V × V) ×
V) ↔ ∃𝑤∃𝑧(𝐴 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ (𝑤 ∈ (V × V) ∧ 𝑧 ∈ V))) |
2 | | ancom 464 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝐴 = 〈𝑤, 𝑧〉) ↔ (𝐴 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ 𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉)) |
3 | 2 | 2exbii 1855 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑥∃𝑦(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝐴 = 〈𝑤, 𝑧〉) ↔ ∃𝑥∃𝑦(𝐴 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ 𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉)) |
4 | | 19.42vv 1964 |
. . . . . 6
⊢
(∃𝑥∃𝑦(𝐴 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ 𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉) ↔ (𝐴 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ ∃𝑥∃𝑦 𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉)) |
5 | | elvv 5591 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑤 ∈ (V × V) ↔
∃𝑥∃𝑦 𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉) |
6 | 5 | anbi2i 626 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ 𝑤 ∈ (V × V)) ↔ (𝐴 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ ∃𝑥∃𝑦 𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉)) |
7 | | vex 3401 |
. . . . . . 7
⊢ 𝑧 ∈ V |
8 | 7 | biantru 533 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ 𝑤 ∈ (V × V)) ↔ ((𝐴 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ 𝑤 ∈ (V × V)) ∧ 𝑧 ∈ V)) |
9 | 4, 6, 8 | 3bitr2i 302 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑥∃𝑦(𝐴 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ 𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉) ↔ ((𝐴 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ 𝑤 ∈ (V × V)) ∧ 𝑧 ∈ V)) |
10 | | anass 472 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ 𝑤 ∈ (V × V)) ∧ 𝑧 ∈ V) ↔ (𝐴 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ (𝑤 ∈ (V × V) ∧ 𝑧 ∈ V))) |
11 | 3, 9, 10 | 3bitrri 301 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ (𝑤 ∈ (V × V) ∧ 𝑧 ∈ V)) ↔ ∃𝑥∃𝑦(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝐴 = 〈𝑤, 𝑧〉)) |
12 | 11 | 2exbii 1855 |
. . 3
⊢
(∃𝑤∃𝑧(𝐴 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ (𝑤 ∈ (V × V) ∧ 𝑧 ∈ V)) ↔ ∃𝑤∃𝑧∃𝑥∃𝑦(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝐴 = 〈𝑤, 𝑧〉)) |
13 | | exrot4 2173 |
. . 3
⊢
(∃𝑥∃𝑦∃𝑤∃𝑧(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝐴 = 〈𝑤, 𝑧〉) ↔ ∃𝑤∃𝑧∃𝑥∃𝑦(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝐴 = 〈𝑤, 𝑧〉)) |
14 | | excom 2169 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑤∃𝑧(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝐴 = 〈𝑤, 𝑧〉) ↔ ∃𝑧∃𝑤(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝐴 = 〈𝑤, 𝑧〉)) |
15 | | opex 5319 |
. . . . . . 7
⊢
〈𝑥, 𝑦〉 ∈ V |
16 | | opeq1 4756 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 → 〈𝑤, 𝑧〉 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉) |
17 | 16 | eqeq2d 2749 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 → (𝐴 = 〈𝑤, 𝑧〉 ↔ 𝐴 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉)) |
18 | 15, 17 | ceqsexv 3444 |
. . . . . 6
⊢
(∃𝑤(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝐴 = 〈𝑤, 𝑧〉) ↔ 𝐴 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉) |
19 | 18 | exbii 1854 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑧∃𝑤(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝐴 = 〈𝑤, 𝑧〉) ↔ ∃𝑧 𝐴 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉) |
20 | 14, 19 | bitri 278 |
. . . 4
⊢
(∃𝑤∃𝑧(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝐴 = 〈𝑤, 𝑧〉) ↔ ∃𝑧 𝐴 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉) |
21 | 20 | 2exbii 1855 |
. . 3
⊢
(∃𝑥∃𝑦∃𝑤∃𝑧(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝐴 = 〈𝑤, 𝑧〉) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧 𝐴 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉) |
22 | 12, 13, 21 | 3bitr2i 302 |
. 2
⊢
(∃𝑤∃𝑧(𝐴 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ (𝑤 ∈ (V × V) ∧ 𝑧 ∈ V)) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧 𝐴 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉) |
23 | 1, 22 | bitri 278 |
1
⊢ (𝐴 ∈ ((V × V) ×
V) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧 𝐴 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉) |