Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | relcnv 5934 |
. . . . . . . . . 10
⊢ Rel ◡dom 𝐹 |
2 | | dmtpos 7887 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (Rel dom
𝐹 → dom tpos 𝐹 = ◡dom 𝐹) |
3 | 2 | releqd 5617 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (Rel dom
𝐹 → (Rel dom tpos
𝐹 ↔ Rel ◡dom 𝐹)) |
4 | 1, 3 | mpbiri 261 |
. . . . . . . . 9
⊢ (Rel dom
𝐹 → Rel dom tpos 𝐹) |
5 | | reltpos 7880 |
. . . . . . . . 9
⊢ Rel tpos
𝐹 |
6 | 4, 5 | jctil 523 |
. . . . . . . 8
⊢ (Rel dom
𝐹 → (Rel tpos 𝐹 ∧ Rel dom tpos 𝐹)) |
7 | | relrelss 6092 |
. . . . . . . 8
⊢ ((Rel
tpos 𝐹 ∧ Rel dom tpos
𝐹) ↔ tpos 𝐹 ⊆ ((V × V) ×
V)) |
8 | 6, 7 | sylib 221 |
. . . . . . 7
⊢ (Rel dom
𝐹 → tpos 𝐹 ⊆ ((V × V) ×
V)) |
9 | 8 | sseld 3914 |
. . . . . 6
⊢ (Rel dom
𝐹 → (𝑤 ∈ tpos 𝐹 → 𝑤 ∈ ((V × V) ×
V))) |
10 | | elvvv 5591 |
. . . . . 6
⊢ (𝑤 ∈ ((V × V) ×
V) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧 𝑤 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉) |
11 | 9, 10 | syl6ib 254 |
. . . . 5
⊢ (Rel dom
𝐹 → (𝑤 ∈ tpos 𝐹 → ∃𝑥∃𝑦∃𝑧 𝑤 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉)) |
12 | 11 | pm4.71rd 566 |
. . . 4
⊢ (Rel dom
𝐹 → (𝑤 ∈ tpos 𝐹 ↔ (∃𝑥∃𝑦∃𝑧 𝑤 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝑤 ∈ tpos 𝐹))) |
13 | | 19.41vvv 1952 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝑤 ∈ tpos 𝐹) ↔ (∃𝑥∃𝑦∃𝑧 𝑤 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝑤 ∈ tpos 𝐹)) |
14 | | eleq1 2877 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑤 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 → (𝑤 ∈ tpos 𝐹 ↔ 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∈ tpos 𝐹)) |
15 | | df-br 5031 |
. . . . . . . . 9
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉tpos 𝐹𝑧 ↔ 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∈ tpos 𝐹) |
16 | | brtpos 7884 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑧 ∈ V → (〈𝑥, 𝑦〉tpos 𝐹𝑧 ↔ 〈𝑦, 𝑥〉𝐹𝑧)) |
17 | 16 | elv 3446 |
. . . . . . . . 9
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉tpos 𝐹𝑧 ↔ 〈𝑦, 𝑥〉𝐹𝑧) |
18 | 15, 17 | bitr3i 280 |
. . . . . . . 8
⊢
(〈〈𝑥,
𝑦〉, 𝑧〉 ∈ tpos 𝐹 ↔ 〈𝑦, 𝑥〉𝐹𝑧) |
19 | 14, 18 | syl6bb 290 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑤 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 → (𝑤 ∈ tpos 𝐹 ↔ 〈𝑦, 𝑥〉𝐹𝑧)) |
20 | 19 | pm5.32i 578 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑤 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝑤 ∈ tpos 𝐹) ↔ (𝑤 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 〈𝑦, 𝑥〉𝐹𝑧)) |
21 | 20 | 3exbii 1851 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝑤 ∈ tpos 𝐹) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 〈𝑦, 𝑥〉𝐹𝑧)) |
22 | 13, 21 | bitr3i 280 |
. . . 4
⊢
((∃𝑥∃𝑦∃𝑧 𝑤 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝑤 ∈ tpos 𝐹) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 〈𝑦, 𝑥〉𝐹𝑧)) |
23 | 12, 22 | syl6bb 290 |
. . 3
⊢ (Rel dom
𝐹 → (𝑤 ∈ tpos 𝐹 ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 〈𝑦, 𝑥〉𝐹𝑧))) |
24 | 23 | abbi2dv 2927 |
. 2
⊢ (Rel dom
𝐹 → tpos 𝐹 = {𝑤 ∣ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 〈𝑦, 𝑥〉𝐹𝑧)}) |
25 | | df-oprab 7139 |
. 2
⊢
{〈〈𝑥,
𝑦〉, 𝑧〉 ∣ 〈𝑦, 𝑥〉𝐹𝑧} = {𝑤 ∣ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 〈𝑦, 𝑥〉𝐹𝑧)} |
26 | 24, 25 | eqtr4di 2851 |
1
⊢ (Rel dom
𝐹 → tpos 𝐹 = {〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∣ 〈𝑦, 𝑥〉𝐹𝑧}) |