Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlemt0 33009
Description: Lemma for eulerpart 33022. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p ๐‘ƒ = {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ ((โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘˜) ยท ๐‘˜) = ๐‘)}
eulerpart.o ๐‘‚ = {๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆ€๐‘› โˆˆ (โ—ก๐‘” โ€œ โ„•) ยฌ 2 โˆฅ ๐‘›}
eulerpart.d ๐ท = {๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘”โ€˜๐‘›) โ‰ค 1}
eulerpart.j ๐ฝ = {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}
eulerpart.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ))
eulerpart.h ๐ป = {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m ๐ฝ) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin}
eulerpart.m ๐‘€ = (๐‘Ÿ โˆˆ ๐ป โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})
eulerpart.r ๐‘… = {๐‘“ โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
eulerpart.t ๐‘‡ = {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โŠ† ๐ฝ}
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemt0 (๐ด โˆˆ (๐‘‡ โˆฉ ๐‘…) โ†” (๐ด โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆง (โ—ก๐ด โ€œ โ„•) โˆˆ Fin โˆง (โ—ก๐ด โ€œ โ„•) โŠ† ๐ฝ))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘“   ๐‘“,๐ฝ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘Ÿ)   ๐ท(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘Ÿ)   ๐‘ƒ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘Ÿ)   ๐‘…(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘Ÿ)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘Ÿ)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘Ÿ)   ๐ป(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘Ÿ)   ๐ฝ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘Ÿ)   ๐‘€(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘Ÿ)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘Ÿ)   ๐‘‚(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘Ÿ)

Proof of Theorem eulerpartlemt0
StepHypRef Expression
1 cnveq 5834 . . . . . 6 (๐‘“ = ๐ด โ†’ โ—ก๐‘“ = โ—ก๐ด)
21imaeq1d 6017 . . . . 5 (๐‘“ = ๐ด โ†’ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) = (โ—ก๐ด โ€œ โ„•))
32sseq1d 3980 . . . 4 (๐‘“ = ๐ด โ†’ ((โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โŠ† ๐ฝ โ†” (โ—ก๐ด โ€œ โ„•) โŠ† ๐ฝ))
4 eulerpart.t . . . 4 ๐‘‡ = {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โŠ† ๐ฝ}
53, 4elrab2 3653 . . 3 (๐ด โˆˆ ๐‘‡ โ†” (๐ด โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆง (โ—ก๐ด โ€œ โ„•) โŠ† ๐ฝ))
62eleq1d 2823 . . . 4 (๐‘“ = ๐ด โ†’ ((โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin โ†” (โ—ก๐ด โ€œ โ„•) โˆˆ Fin))
7 eulerpart.r . . . 4 ๐‘… = {๐‘“ โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
86, 7elab4g 3640 . . 3 (๐ด โˆˆ ๐‘… โ†” (๐ด โˆˆ V โˆง (โ—ก๐ด โ€œ โ„•) โˆˆ Fin))
95, 8anbi12i 628 . 2 ((๐ด โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘…) โ†” ((๐ด โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆง (โ—ก๐ด โ€œ โ„•) โŠ† ๐ฝ) โˆง (๐ด โˆˆ V โˆง (โ—ก๐ด โ€œ โ„•) โˆˆ Fin)))
10 elin 3931 . 2 (๐ด โˆˆ (๐‘‡ โˆฉ ๐‘…) โ†” (๐ด โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘…))
11 elex 3466 . . . . 5 (๐ด โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ V)
1211pm4.71i 561 . . . 4 (๐ด โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โ†” (๐ด โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆง ๐ด โˆˆ V))
1312anbi1i 625 . . 3 ((๐ด โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆง ((โ—ก๐ด โ€œ โ„•) โˆˆ Fin โˆง (โ—ก๐ด โ€œ โ„•) โŠ† ๐ฝ)) โ†” ((๐ด โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆง ๐ด โˆˆ V) โˆง ((โ—ก๐ด โ€œ โ„•) โˆˆ Fin โˆง (โ—ก๐ด โ€œ โ„•) โŠ† ๐ฝ)))
14 3anass 1096 . . 3 ((๐ด โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆง (โ—ก๐ด โ€œ โ„•) โˆˆ Fin โˆง (โ—ก๐ด โ€œ โ„•) โŠ† ๐ฝ) โ†” (๐ด โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆง ((โ—ก๐ด โ€œ โ„•) โˆˆ Fin โˆง (โ—ก๐ด โ€œ โ„•) โŠ† ๐ฝ)))
15 an42 656 . . 3 (((๐ด โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆง (โ—ก๐ด โ€œ โ„•) โŠ† ๐ฝ) โˆง (๐ด โˆˆ V โˆง (โ—ก๐ด โ€œ โ„•) โˆˆ Fin)) โ†” ((๐ด โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆง ๐ด โˆˆ V) โˆง ((โ—ก๐ด โ€œ โ„•) โˆˆ Fin โˆง (โ—ก๐ด โ€œ โ„•) โŠ† ๐ฝ)))
1613, 14, 153bitr4i 303 . 2 ((๐ด โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆง (โ—ก๐ด โ€œ โ„•) โˆˆ Fin โˆง (โ—ก๐ด โ€œ โ„•) โŠ† ๐ฝ) โ†” ((๐ด โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆง (โ—ก๐ด โ€œ โ„•) โŠ† ๐ฝ) โˆง (๐ด โˆˆ V โˆง (โ—ก๐ด โ€œ โ„•) โˆˆ Fin)))
179, 10, 163bitr4i 303 1 (๐ด โˆˆ (๐‘‡ โˆฉ ๐‘…) โ†” (๐ด โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆง (โ—ก๐ด โ€œ โ„•) โˆˆ Fin โˆง (โ—ก๐ด โ€œ โ„•) โŠ† ๐ฝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {cab 2714  โˆ€wral 3065  {crab 3410  Vcvv 3448   โˆฉ cin 3914   โŠ† wss 3915  โˆ…c0 4287  ๐’ซ cpw 4565   class class class wbr 5110  {copab 5172   โ†ฆ cmpt 5193  โ—กccnv 5637   โ€œ cima 5641  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   โˆˆ cmpo 7364   supp csupp 8097   โ†‘m cmap 8772  Fincfn 8890  1c1 11059   ยท cmul 11063   โ‰ค cle 11197  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„•0cn0 12420  โ†‘cexp 13974  ฮฃcsu 15577   โˆฅ cdvds 16143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2708
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5111  df-opab 5173  df-cnv 5646  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651
This theorem is referenced by:  eulerpartlemf  33010  eulerpartlemt  33011  eulerpartlemmf  33015  eulerpartlemgvv  33016  eulerpartlemgu  33017  eulerpartlemgh  33018  eulerpartlemgs2  33020  eulerpartlemn  33021
  Copyright terms: Public domain W3C validator