![]() |
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > eulerpartlemt0 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for eulerpart 33022. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2017.) |
Ref | Expression |
---|---|
eulerpart.p | โข ๐ = {๐ โ (โ0 โm โ) โฃ ((โก๐ โ โ) โ Fin โง ฮฃ๐ โ โ ((๐โ๐) ยท ๐) = ๐)} |
eulerpart.o | โข ๐ = {๐ โ ๐ โฃ โ๐ โ (โก๐ โ โ) ยฌ 2 โฅ ๐} |
eulerpart.d | โข ๐ท = {๐ โ ๐ โฃ โ๐ โ โ (๐โ๐) โค 1} |
eulerpart.j | โข ๐ฝ = {๐ง โ โ โฃ ยฌ 2 โฅ ๐ง} |
eulerpart.f | โข ๐น = (๐ฅ โ ๐ฝ, ๐ฆ โ โ0 โฆ ((2โ๐ฆ) ยท ๐ฅ)) |
eulerpart.h | โข ๐ป = {๐ โ ((๐ซ โ0 โฉ Fin) โm ๐ฝ) โฃ (๐ supp โ ) โ Fin} |
eulerpart.m | โข ๐ = (๐ โ ๐ป โฆ {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ (๐ฅ โ ๐ฝ โง ๐ฆ โ (๐โ๐ฅ))}) |
eulerpart.r | โข ๐ = {๐ โฃ (โก๐ โ โ) โ Fin} |
eulerpart.t | โข ๐ = {๐ โ (โ0 โm โ) โฃ (โก๐ โ โ) โ ๐ฝ} |
Ref | Expression |
---|---|
eulerpartlemt0 | โข (๐ด โ (๐ โฉ ๐ ) โ (๐ด โ (โ0 โm โ) โง (โก๐ด โ โ) โ Fin โง (โก๐ด โ โ) โ ๐ฝ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | cnveq 5834 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐ด โ โก๐ = โก๐ด) | |
2 | 1 | imaeq1d 6017 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ด โ (โก๐ โ โ) = (โก๐ด โ โ)) |
3 | 2 | sseq1d 3980 | . . . 4 โข (๐ = ๐ด โ ((โก๐ โ โ) โ ๐ฝ โ (โก๐ด โ โ) โ ๐ฝ)) |
4 | eulerpart.t | . . . 4 โข ๐ = {๐ โ (โ0 โm โ) โฃ (โก๐ โ โ) โ ๐ฝ} | |
5 | 3, 4 | elrab2 3653 | . . 3 โข (๐ด โ ๐ โ (๐ด โ (โ0 โm โ) โง (โก๐ด โ โ) โ ๐ฝ)) |
6 | 2 | eleq1d 2823 | . . . 4 โข (๐ = ๐ด โ ((โก๐ โ โ) โ Fin โ (โก๐ด โ โ) โ Fin)) |
7 | eulerpart.r | . . . 4 โข ๐ = {๐ โฃ (โก๐ โ โ) โ Fin} | |
8 | 6, 7 | elab4g 3640 | . . 3 โข (๐ด โ ๐ โ (๐ด โ V โง (โก๐ด โ โ) โ Fin)) |
9 | 5, 8 | anbi12i 628 | . 2 โข ((๐ด โ ๐ โง ๐ด โ ๐ ) โ ((๐ด โ (โ0 โm โ) โง (โก๐ด โ โ) โ ๐ฝ) โง (๐ด โ V โง (โก๐ด โ โ) โ Fin))) |
10 | elin 3931 | . 2 โข (๐ด โ (๐ โฉ ๐ ) โ (๐ด โ ๐ โง ๐ด โ ๐ )) | |
11 | elex 3466 | . . . . 5 โข (๐ด โ (โ0 โm โ) โ ๐ด โ V) | |
12 | 11 | pm4.71i 561 | . . . 4 โข (๐ด โ (โ0 โm โ) โ (๐ด โ (โ0 โm โ) โง ๐ด โ V)) |
13 | 12 | anbi1i 625 | . . 3 โข ((๐ด โ (โ0 โm โ) โง ((โก๐ด โ โ) โ Fin โง (โก๐ด โ โ) โ ๐ฝ)) โ ((๐ด โ (โ0 โm โ) โง ๐ด โ V) โง ((โก๐ด โ โ) โ Fin โง (โก๐ด โ โ) โ ๐ฝ))) |
14 | 3anass 1096 | . . 3 โข ((๐ด โ (โ0 โm โ) โง (โก๐ด โ โ) โ Fin โง (โก๐ด โ โ) โ ๐ฝ) โ (๐ด โ (โ0 โm โ) โง ((โก๐ด โ โ) โ Fin โง (โก๐ด โ โ) โ ๐ฝ))) | |
15 | an42 656 | . . 3 โข (((๐ด โ (โ0 โm โ) โง (โก๐ด โ โ) โ ๐ฝ) โง (๐ด โ V โง (โก๐ด โ โ) โ Fin)) โ ((๐ด โ (โ0 โm โ) โง ๐ด โ V) โง ((โก๐ด โ โ) โ Fin โง (โก๐ด โ โ) โ ๐ฝ))) | |
16 | 13, 14, 15 | 3bitr4i 303 | . 2 โข ((๐ด โ (โ0 โm โ) โง (โก๐ด โ โ) โ Fin โง (โก๐ด โ โ) โ ๐ฝ) โ ((๐ด โ (โ0 โm โ) โง (โก๐ด โ โ) โ ๐ฝ) โง (๐ด โ V โง (โก๐ด โ โ) โ Fin))) |
17 | 9, 10, 16 | 3bitr4i 303 | 1 โข (๐ด โ (๐ โฉ ๐ ) โ (๐ด โ (โ0 โm โ) โง (โก๐ด โ โ) โ Fin โง (โก๐ด โ โ) โ ๐ฝ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wb 205 โง wa 397 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 {cab 2714 โwral 3065 {crab 3410 Vcvv 3448 โฉ cin 3914 โ wss 3915 โ c0 4287 ๐ซ cpw 4565 class class class wbr 5110 {copab 5172 โฆ cmpt 5193 โกccnv 5637 โ cima 5641 โcfv 6501 (class class class)co 7362 โ cmpo 7364 supp csupp 8097 โm cmap 8772 Fincfn 8890 1c1 11059 ยท cmul 11063 โค cle 11197 โcn 12160 2c2 12215 โ0cn0 12420 โcexp 13974 ฮฃcsu 15577 โฅ cdvds 16143 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-ext 2708 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-sb 2069 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-rab 3411 df-v 3450 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-nul 4288 df-if 4492 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-br 5111 df-opab 5173 df-cnv 5646 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 |
This theorem is referenced by: eulerpartlemf 33010 eulerpartlemt 33011 eulerpartlemmf 33015 eulerpartlemgvv 33016 eulerpartlemgu 33017 eulerpartlemgh 33018 eulerpartlemgs2 33020 eulerpartlemn 33021 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |