![]() |
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > eulerpartlemt0 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for eulerpart 33676. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2017.) |
Ref | Expression |
---|---|
eulerpart.p | โข ๐ = {๐ โ (โ0 โm โ) โฃ ((โก๐ โ โ) โ Fin โง ฮฃ๐ โ โ ((๐โ๐) ยท ๐) = ๐)} |
eulerpart.o | โข ๐ = {๐ โ ๐ โฃ โ๐ โ (โก๐ โ โ) ยฌ 2 โฅ ๐} |
eulerpart.d | โข ๐ท = {๐ โ ๐ โฃ โ๐ โ โ (๐โ๐) โค 1} |
eulerpart.j | โข ๐ฝ = {๐ง โ โ โฃ ยฌ 2 โฅ ๐ง} |
eulerpart.f | โข ๐น = (๐ฅ โ ๐ฝ, ๐ฆ โ โ0 โฆ ((2โ๐ฆ) ยท ๐ฅ)) |
eulerpart.h | โข ๐ป = {๐ โ ((๐ซ โ0 โฉ Fin) โm ๐ฝ) โฃ (๐ supp โ ) โ Fin} |
eulerpart.m | โข ๐ = (๐ โ ๐ป โฆ {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ (๐ฅ โ ๐ฝ โง ๐ฆ โ (๐โ๐ฅ))}) |
eulerpart.r | โข ๐ = {๐ โฃ (โก๐ โ โ) โ Fin} |
eulerpart.t | โข ๐ = {๐ โ (โ0 โm โ) โฃ (โก๐ โ โ) โ ๐ฝ} |
Ref | Expression |
---|---|
eulerpartlemt0 | โข (๐ด โ (๐ โฉ ๐ ) โ (๐ด โ (โ0 โm โ) โง (โก๐ด โ โ) โ Fin โง (โก๐ด โ โ) โ ๐ฝ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | cnveq 5874 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐ด โ โก๐ = โก๐ด) | |
2 | 1 | imaeq1d 6059 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ด โ (โก๐ โ โ) = (โก๐ด โ โ)) |
3 | 2 | sseq1d 4014 | . . . 4 โข (๐ = ๐ด โ ((โก๐ โ โ) โ ๐ฝ โ (โก๐ด โ โ) โ ๐ฝ)) |
4 | eulerpart.t | . . . 4 โข ๐ = {๐ โ (โ0 โm โ) โฃ (โก๐ โ โ) โ ๐ฝ} | |
5 | 3, 4 | elrab2 3687 | . . 3 โข (๐ด โ ๐ โ (๐ด โ (โ0 โm โ) โง (โก๐ด โ โ) โ ๐ฝ)) |
6 | 2 | eleq1d 2817 | . . . 4 โข (๐ = ๐ด โ ((โก๐ โ โ) โ Fin โ (โก๐ด โ โ) โ Fin)) |
7 | eulerpart.r | . . . 4 โข ๐ = {๐ โฃ (โก๐ โ โ) โ Fin} | |
8 | 6, 7 | elab4g 3674 | . . 3 โข (๐ด โ ๐ โ (๐ด โ V โง (โก๐ด โ โ) โ Fin)) |
9 | 5, 8 | anbi12i 626 | . 2 โข ((๐ด โ ๐ โง ๐ด โ ๐ ) โ ((๐ด โ (โ0 โm โ) โง (โก๐ด โ โ) โ ๐ฝ) โง (๐ด โ V โง (โก๐ด โ โ) โ Fin))) |
10 | elin 3965 | . 2 โข (๐ด โ (๐ โฉ ๐ ) โ (๐ด โ ๐ โง ๐ด โ ๐ )) | |
11 | elex 3492 | . . . . 5 โข (๐ด โ (โ0 โm โ) โ ๐ด โ V) | |
12 | 11 | pm4.71i 559 | . . . 4 โข (๐ด โ (โ0 โm โ) โ (๐ด โ (โ0 โm โ) โง ๐ด โ V)) |
13 | 12 | anbi1i 623 | . . 3 โข ((๐ด โ (โ0 โm โ) โง ((โก๐ด โ โ) โ Fin โง (โก๐ด โ โ) โ ๐ฝ)) โ ((๐ด โ (โ0 โm โ) โง ๐ด โ V) โง ((โก๐ด โ โ) โ Fin โง (โก๐ด โ โ) โ ๐ฝ))) |
14 | 3anass 1094 | . . 3 โข ((๐ด โ (โ0 โm โ) โง (โก๐ด โ โ) โ Fin โง (โก๐ด โ โ) โ ๐ฝ) โ (๐ด โ (โ0 โm โ) โง ((โก๐ด โ โ) โ Fin โง (โก๐ด โ โ) โ ๐ฝ))) | |
15 | an42 654 | . . 3 โข (((๐ด โ (โ0 โm โ) โง (โก๐ด โ โ) โ ๐ฝ) โง (๐ด โ V โง (โก๐ด โ โ) โ Fin)) โ ((๐ด โ (โ0 โm โ) โง ๐ด โ V) โง ((โก๐ด โ โ) โ Fin โง (โก๐ด โ โ) โ ๐ฝ))) | |
16 | 13, 14, 15 | 3bitr4i 302 | . 2 โข ((๐ด โ (โ0 โm โ) โง (โก๐ด โ โ) โ Fin โง (โก๐ด โ โ) โ ๐ฝ) โ ((๐ด โ (โ0 โm โ) โง (โก๐ด โ โ) โ ๐ฝ) โง (๐ด โ V โง (โก๐ด โ โ) โ Fin))) |
17 | 9, 10, 16 | 3bitr4i 302 | 1 โข (๐ด โ (๐ โฉ ๐ ) โ (๐ด โ (โ0 โm โ) โง (โก๐ด โ โ) โ Fin โง (โก๐ด โ โ) โ ๐ฝ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wb 205 โง wa 395 โง w3a 1086 = wceq 1540 โ wcel 2105 {cab 2708 โwral 3060 {crab 3431 Vcvv 3473 โฉ cin 3948 โ wss 3949 โ c0 4323 ๐ซ cpw 4603 class class class wbr 5149 {copab 5211 โฆ cmpt 5232 โกccnv 5676 โ cima 5680 โcfv 6544 (class class class)co 7412 โ cmpo 7414 supp csupp 8149 โm cmap 8823 Fincfn 8942 1c1 11114 ยท cmul 11118 โค cle 11254 โcn 12217 2c2 12272 โ0cn0 12477 โcexp 14032 ฮฃcsu 15637 โฅ cdvds 16202 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-ext 2702 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-sb 2067 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-rab 3432 df-v 3475 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-br 5150 df-opab 5212 df-cnv 5685 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 |
This theorem is referenced by: eulerpartlemf 33664 eulerpartlemt 33665 eulerpartlemmf 33669 eulerpartlemgvv 33670 eulerpartlemgu 33671 eulerpartlemgh 33672 eulerpartlemgs2 33674 eulerpartlemn 33675 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |