Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eulerpartlemn 33869
Description: Lemma for eulerpart 33870. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
eulerpart.j 𝐽 = {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
eulerpart.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
eulerpart.h 𝐻 = {π‘Ÿ ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (π‘Ÿ supp βˆ…) ∈ Fin}
eulerpart.m 𝑀 = (π‘Ÿ ∈ 𝐻 ↦ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯))})
eulerpart.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
eulerpart.t 𝑇 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽}
eulerpart.g 𝐺 = (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽))))))
eulerpart.s 𝑆 = (𝑓 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemn (𝐺 β†Ύ 𝑂):𝑂–1-1-onto→𝐷
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘˜,𝐹,𝑛,π‘œ,π‘₯,𝑦   𝑓,𝐺,π‘˜,π‘œ   π‘œ,𝐻,π‘Ÿ   𝑓,𝐽,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   π‘˜,𝑀,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝑓,𝑁,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘₯   𝑛,𝑂,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝑃,𝑔,π‘˜,𝑛   𝑅,𝑓,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝑇,𝑓,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑃(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑅(𝑧,𝑔)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑇(𝑧,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑓,𝑔,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑔,𝑛,π‘Ÿ)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛)   𝐽(𝑧,𝑔)   𝑀(𝑧,𝑓,𝑔)   𝑁(𝑦,𝑧,π‘Ÿ)   𝑂(𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,π‘œ)
Proof of Theorem eulerpartlemn
Dummy variables 𝑑 π‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘œ = π‘ž ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘œ = π‘ž)
21fveq1d 6883 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘œ = π‘ž ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘œβ€˜π‘˜) = (π‘žβ€˜π‘˜))
32oveq1d 7416 . . . . . . . . . . 11 ((π‘œ = π‘ž ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜))
43sumeq2dv 15646 . . . . . . . . . 10 (π‘œ = π‘ž β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜))
54eqeq1d 2726 . . . . . . . . 9 (π‘œ = π‘ž β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁 ↔ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
65cbvrabv 3434 . . . . . . . 8 {π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁} = {π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}
76a1i 11 . . . . . . 7 (π‘œ = π‘ž β†’ {π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁} = {π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁})
87reseq2d 5971 . . . . . 6 (π‘œ = π‘ž β†’ (𝐺 β†Ύ {π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}) = (𝐺 β†Ύ {π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}))
9 eqidd 2725 . . . . . 6 (π‘œ = π‘ž β†’ {𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁} = {𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁})
108, 7, 9f1oeq123d 6817 . . . . 5 (π‘œ = π‘ž β†’ ((𝐺 β†Ύ {π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}):{π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}–1-1-ontoβ†’{𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁} ↔ (𝐺 β†Ύ {π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}):{π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}–1-1-ontoβ†’{𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}))
1110imbi2d 340 . . . 4 (π‘œ = π‘ž β†’ ((⊀ β†’ (𝐺 β†Ύ {π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}):{π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}–1-1-ontoβ†’{𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}) ↔ (⊀ β†’ (𝐺 β†Ύ {π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}):{π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}–1-1-ontoβ†’{𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁})))
12 eulerpart.g . . . . 5 𝐺 = (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽))))))
13 eulerpart.p . . . . . . 7 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
14 eulerpart.o . . . . . . 7 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
15 eulerpart.d . . . . . . 7 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
16 eulerpart.j . . . . . . 7 𝐽 = {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
17 eulerpart.f . . . . . . 7 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
18 eulerpart.h . . . . . . 7 𝐻 = {π‘Ÿ ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (π‘Ÿ supp βˆ…) ∈ Fin}
19 eulerpart.m . . . . . . 7 𝑀 = (π‘Ÿ ∈ 𝐻 ↦ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯))})
20 eulerpart.r . . . . . . 7 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
21 eulerpart.t . . . . . . 7 𝑇 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽}
2213, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 12eulerpartgbij 33860 . . . . . 6 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)–1-1-ontoβ†’(({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅)
2322a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)–1-1-ontoβ†’(({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅))
24 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ž = π‘œ β†’ (πΊβ€˜π‘ž) = (πΊβ€˜π‘œ))
25 reseq1 5965 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘ž = π‘œ β†’ (π‘ž β†Ύ 𝐽) = (π‘œ β†Ύ 𝐽))
2625coeq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘ž = π‘œ β†’ (bits ∘ (π‘ž β†Ύ 𝐽)) = (bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽)))
2726fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘ž = π‘œ β†’ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘ž β†Ύ 𝐽))) = (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽))))
2827imaeq2d 6049 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ž = π‘œ β†’ (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘ž β†Ύ 𝐽)))) = (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽)))))
2928fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ž = π‘œ β†’ ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘ž β†Ύ 𝐽))))) = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽))))))
3024, 29eqeq12d 2740 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž = π‘œ β†’ ((πΊβ€˜π‘ž) = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘ž β†Ύ 𝐽))))) ↔ (πΊβ€˜π‘œ) = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽)))))))
3113, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 12eulerpartlemgv 33861 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π‘ž) = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘ž β†Ύ 𝐽))))))
3230, 31vtoclga 3558 . . . . . . . . . . . 12 (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π‘œ) = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽))))))
33323ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽)))))) β†’ (πΊβ€˜π‘œ) = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽))))))
34 simp3 1135 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽)))))) β†’ 𝑑 = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽))))))
3533, 34eqtr4d 2767 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽)))))) β†’ (πΊβ€˜π‘œ) = 𝑑)
3635fveq1d 6883 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽)))))) β†’ ((πΊβ€˜π‘œ)β€˜π‘˜) = (π‘‘β€˜π‘˜))
3736oveq1d 7416 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽)))))) β†’ (((πΊβ€˜π‘œ)β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
3837sumeq2sdv 15647 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽)))))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((πΊβ€˜π‘œ)β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
3924fveq2d 6885 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž = π‘œ β†’ (π‘†β€˜(πΊβ€˜π‘ž)) = (π‘†β€˜(πΊβ€˜π‘œ)))
40 fveq2 6881 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž = π‘œ β†’ (π‘†β€˜π‘ž) = (π‘†β€˜π‘œ))
4139, 40eqeq12d 2740 . . . . . . . . . 10 (π‘ž = π‘œ β†’ ((π‘†β€˜(πΊβ€˜π‘ž)) = (π‘†β€˜π‘ž) ↔ (π‘†β€˜(πΊβ€˜π‘œ)) = (π‘†β€˜π‘œ)))
42 eulerpart.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (𝑓 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
4313, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 12, 42eulerpartlemgs2 33868 . . . . . . . . . 10 (π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜(πΊβ€˜π‘ž)) = (π‘†β€˜π‘ž))
4441, 43vtoclga 3558 . . . . . . . . 9 (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜(πΊβ€˜π‘œ)) = (π‘†β€˜π‘œ))
45 nn0ex 12475 . . . . . . . . . . . . 13 β„•0 ∈ V
46 0nn0 12484 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ β„•0
47 1nn0 12485 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ β„•0
48 prssi 4816 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ {0, 1} βŠ† β„•0)
4946, 47, 48mp2an 689 . . . . . . . . . . . . 13 {0, 1} βŠ† β„•0
50 mapss 8879 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„•0 ∈ V ∧ {0, 1} βŠ† β„•0) β†’ ({0, 1} ↑m β„•) βŠ† (β„•0 ↑m β„•))
5145, 49, 50mp2an 689 . . . . . . . . . . . 12 ({0, 1} ↑m β„•) βŠ† (β„•0 ↑m β„•)
52 ssrin 4225 . . . . . . . . . . . 12 (({0, 1} ↑m β„•) βŠ† (β„•0 ↑m β„•) β†’ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) βŠ† ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅))
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) βŠ† ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅)
54 f1of 6823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)–1-1-ontoβ†’(({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)⟢(({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅))
5522, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)⟢(({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅)
5655ffvelcdmi 7075 . . . . . . . . . . 11 (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π‘œ) ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅))
5753, 56sselid 3972 . . . . . . . . . 10 (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π‘œ) ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅))
5820, 42eulerpartlemsv1 33844 . . . . . . . . . 10 ((πΊβ€˜π‘œ) ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜(πΊβ€˜π‘œ)) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((πΊβ€˜π‘œ)β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
5957, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜(πΊβ€˜π‘œ)) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((πΊβ€˜π‘œ)β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
6013, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21eulerpartlemt0 33857 . . . . . . . . . . . 12 (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↔ (π‘œ ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (β—‘π‘œ β€œ β„•) ∈ Fin ∧ (β—‘π‘œ β€œ β„•) βŠ† 𝐽))
6160simp1bi 1142 . . . . . . . . . . 11 (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ π‘œ ∈ (β„•0 ↑m β„•))
62 inss2 4221 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∩ 𝑅) βŠ† 𝑅
6362sseli 3970 . . . . . . . . . . 11 (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ π‘œ ∈ 𝑅)
6461, 63elind 4186 . . . . . . . . . 10 (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ π‘œ ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅))
6520, 42eulerpartlemsv1 33844 . . . . . . . . . 10 (π‘œ ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜π‘œ) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜π‘œ) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜))
6744, 59, 663eqtr3d 2772 . . . . . . . 8 (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((πΊβ€˜π‘œ)β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜))
68673ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽)))))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((πΊβ€˜π‘œ)β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜))
6938, 68eqtr3d 2766 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽)))))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜))
7069eqeq1d 2726 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽)))))) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁 ↔ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
7112, 23, 70f1oresrab 7117 . . . 4 (⊀ β†’ (𝐺 β†Ύ {π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}):{π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}–1-1-ontoβ†’{𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁})
7211, 71chvarvv 1994 . . 3 (⊀ β†’ (𝐺 β†Ύ {π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}):{π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}–1-1-ontoβ†’{𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁})
73 cnveq 5863 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = π‘ž β†’ ◑𝑔 = β—‘π‘ž)
7473imaeq1d 6048 . . . . . . . . 9 (𝑔 = π‘ž β†’ (◑𝑔 β€œ β„•) = (β—‘π‘ž β€œ β„•))
7574raleqdv 3317 . . . . . . . 8 (𝑔 = π‘ž β†’ (βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛 ↔ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
7675cbvrabv 3434 . . . . . . 7 {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛} = {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
77 nfrab1 3443 . . . . . . . 8 β„²π‘ž{π‘ž ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
78 nfrab1 3443 . . . . . . . 8 β„²π‘ž{π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}
79 df-3an 1086 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ↔ ((π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
8079anbi1i 623 . . . . . . . . . . 11 (((π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) ↔ (((π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
8113eulerpartleme 33851 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž ∈ 𝑃 ↔ (π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
8281anbi1i 623 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) ↔ ((π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
83 an32 643 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ↔ (((π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
8480, 82, 833bitr4i 303 . . . . . . . . . 10 ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) ↔ (((π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
8513, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21eulerpartlemt0 33857 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↔ (π‘ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽))
86 nnex 12215 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„• ∈ V
8745, 86elmap 8861 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ↔ π‘ž:β„•βŸΆβ„•0)
88873anbi1i 1154 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽) ↔ (π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽))
8985, 88bitri 275 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↔ (π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽))
90 df-3an 1086 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽) ↔ ((π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽))
91 dfss3 3962 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β—‘π‘ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽 ↔ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•)𝑛 ∈ 𝐽)
92 breq2 5142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝑛 β†’ (2 βˆ₯ 𝑧 ↔ 2 βˆ₯ 𝑛))
9392notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑛 β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧 ↔ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
9493, 16elrab2 3678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ 𝐽 ↔ (𝑛 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
9594ralbii 3085 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•)𝑛 ∈ 𝐽 ↔ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•)(𝑛 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
96 r19.26 3103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•)(𝑛 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) ↔ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
9791, 95, 963bitri 297 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β—‘π‘ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽 ↔ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
98 cnvimass 6070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β—‘π‘ž β€œ β„•) βŠ† dom π‘ž
99 fdm 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 β†’ dom π‘ž = β„•)
10098, 99sseqtrid 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 β†’ (β—‘π‘ž β€œ β„•) βŠ† β„•)
101 dfss3 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β—‘π‘ž β€œ β„•) βŠ† β„• ↔ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„•)
102100, 101sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 β†’ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„•)
103102biantrurd 532 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 β†’ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛 ↔ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛)))
10497, 103bitr4id 290 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 β†’ ((β—‘π‘ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽 ↔ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
105104adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin) β†’ ((β—‘π‘ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽 ↔ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
106105pm5.32i 574 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽) ↔ ((π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
10789, 90, 1063bitri 297 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↔ ((π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
108107anbi1i 623 . . . . . . . . . 10 ((π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ↔ (((π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
10984, 108bitr4i 278 . . . . . . . . 9 ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) ↔ (π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
110 rabid 3444 . . . . . . . . 9 (π‘ž ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛} ↔ (π‘ž ∈ 𝑃 ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
111 rabid 3444 . . . . . . . . 9 (π‘ž ∈ {π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁} ↔ (π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
112109, 110, 1113bitr4i 303 . . . . . . . 8 (π‘ž ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛} ↔ π‘ž ∈ {π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁})
11377, 78, 112eqri 3994 . . . . . . 7 {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛} = {π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}
11414, 76, 1133eqtri 2756 . . . . . 6 𝑂 = {π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}
115114reseq2i 5968 . . . . 5 (𝐺 β†Ύ 𝑂) = (𝐺 β†Ύ {π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁})
116115a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ (𝐺 β†Ύ 𝑂) = (𝐺 β†Ύ {π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}))
117114a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ 𝑂 = {π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁})
118 nfcv 2895 . . . . . 6 Ⅎ𝑑𝐷
119 nfrab1 3443 . . . . . 6 Ⅎ𝑑{𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}
120 fnima 6670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 Fn β„• β†’ (𝑑 β€œ β„•) = ran 𝑑)
121120sseq1d 4005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 Fn β„• β†’ ((𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1} ↔ ran 𝑑 βŠ† {0, 1}))
122121anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 Fn β„• β†’ ((ran 𝑑 βŠ† β„•0 ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}) ↔ (ran 𝑑 βŠ† β„•0 ∧ ran 𝑑 βŠ† {0, 1})))
123 sstr 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ran 𝑑 βŠ† {0, 1} ∧ {0, 1} βŠ† β„•0) β†’ ran 𝑑 βŠ† β„•0)
12449, 123mpan2 688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ran 𝑑 βŠ† {0, 1} β†’ ran 𝑑 βŠ† β„•0)
125124pm4.71ri 560 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ran 𝑑 βŠ† {0, 1} ↔ (ran 𝑑 βŠ† β„•0 ∧ ran 𝑑 βŠ† {0, 1}))
126122, 125bitr4di 289 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 Fn β„• β†’ ((ran 𝑑 βŠ† β„•0 ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}) ↔ ran 𝑑 βŠ† {0, 1}))
127126pm5.32i 574 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 Fn β„• ∧ (ran 𝑑 βŠ† β„•0 ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1})) ↔ (𝑑 Fn β„• ∧ ran 𝑑 βŠ† {0, 1}))
128 anass 468 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑑 Fn β„• ∧ ran 𝑑 βŠ† β„•0) ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}) ↔ (𝑑 Fn β„• ∧ (ran 𝑑 βŠ† β„•0 ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1})))
129 df-f 6537 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑:β„•βŸΆ{0, 1} ↔ (𝑑 Fn β„• ∧ ran 𝑑 βŠ† {0, 1}))
130127, 128, 1293bitr4ri 304 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑:β„•βŸΆ{0, 1} ↔ ((𝑑 Fn β„• ∧ ran 𝑑 βŠ† β„•0) ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}))
131 prex 5422 . . . . . . . . . . . . 13 {0, 1} ∈ V
132131, 86elmap 8861 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ ({0, 1} ↑m β„•) ↔ 𝑑:β„•βŸΆ{0, 1})
133 df-f 6537 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑:β„•βŸΆβ„•0 ↔ (𝑑 Fn β„• ∧ ran 𝑑 βŠ† β„•0))
134133anbi1i 623 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}) ↔ ((𝑑 Fn β„• ∧ ran 𝑑 βŠ† β„•0) ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}))
135130, 132, 1343bitr4i 303 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ ({0, 1} ↑m β„•) ↔ (𝑑:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}))
136 vex 3470 . . . . . . . . . . . 12 𝑑 ∈ V
137 cnveq 5863 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝑑 β†’ ◑𝑓 = ◑𝑑)
138137imaeq1d 6048 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝑑 β†’ (◑𝑓 β€œ β„•) = (◑𝑑 β€œ β„•))
139138eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝑑 β†’ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (◑𝑑 β€œ β„•) ∈ Fin))
140136, 139, 20elab2 3664 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ 𝑅 ↔ (◑𝑑 β€œ β„•) ∈ Fin)
141135, 140anbi12i 626 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 ∈ ({0, 1} ↑m β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) ↔ ((𝑑:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}) ∧ (◑𝑑 β€œ β„•) ∈ Fin))
142 elin 3956 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ↔ (𝑑 ∈ ({0, 1} ↑m β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅))
143 an32 643 . . . . . . . . . 10 (((𝑑:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑑 β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}) ↔ ((𝑑:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}) ∧ (◑𝑑 β€œ β„•) ∈ Fin))
144141, 142, 1433bitr4i 303 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ↔ ((𝑑:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑑 β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}))
145144anbi1i 623 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ↔ (((𝑑:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑑 β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
14613eulerpartleme 33851 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ 𝑃 ↔ (𝑑:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑑 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
147146anbi1i 623 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ 𝑃 ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}) ↔ ((𝑑:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑑 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}))
148 df-3an 1086 . . . . . . . . . 10 ((𝑑:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑑 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ↔ ((𝑑:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑑 β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
149148anbi1i 623 . . . . . . . . 9 (((𝑑:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑑 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}) ↔ (((𝑑:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑑 β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}))
150 an32 643 . . . . . . . . 9 ((((𝑑:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑑 β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}) ↔ (((𝑑:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑑 β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
151147, 149, 1503bitri 297 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ 𝑃 ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}) ↔ (((𝑑:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑑 β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
152145, 151bitr4i 278 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ↔ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}))
153 rabid 3444 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ {𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁} ↔ (𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
15413, 14, 15eulerpartlemd 33854 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ 𝐷 ↔ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}))
155152, 153, 1543bitr4ri 304 . . . . . 6 (𝑑 ∈ 𝐷 ↔ 𝑑 ∈ {𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁})
156118, 119, 155eqri 3994 . . . . 5 𝐷 = {𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}
157156a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐷 = {𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁})
158116, 117, 157f1oeq123d 6817 . . 3 (⊀ β†’ ((𝐺 β†Ύ 𝑂):𝑂–1-1-onto→𝐷 ↔ (𝐺 β†Ύ {π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}):{π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}–1-1-ontoβ†’{𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}))
15972, 158mpbird 257 . 2 (⊀ β†’ (𝐺 β†Ύ 𝑂):𝑂–1-1-onto→𝐷)
160159mptru 1540 1 (𝐺 β†Ύ 𝑂):𝑂–1-1-onto→𝐷
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534   ∈ wcel 2098  {cab 2701  βˆ€wral 3053  {crab 3424  Vcvv 3466   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4314  π’« cpw 4594  {cpr 4622   class class class wbr 5138  {copab 5200   ↦ cmpt 5221  β—‘ccnv 5665  dom cdm 5666  ran crn 5667   β†Ύ cres 5668   β€œ cima 5669   ∘ ccom 5670   Fn wfn 6528  βŸΆwf 6529  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6532  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   ∈ cmpo 7403   supp csupp 8140   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935  0cc0 11106  1c1 11107   Β· cmul 11111   ≀ cle 11246  β„•cn 12209  2c2 12264  β„•0cn0 12469  β†‘cexp 14024  Ξ£csu 15629   βˆ₯ cdvds 16194  bitscbits 16357  πŸ­cind 33497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-disj 5104  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630  df-dvds 16195  df-bits 16360  df-ind 33498
This theorem is referenced by:  eulerpart  33870
  Copyright terms: Public domain W3C validator