Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eulerpartlemn 33678
Description: Lemma for eulerpart 33679. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
eulerpart.j 𝐽 = {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
eulerpart.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
eulerpart.h 𝐻 = {π‘Ÿ ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (π‘Ÿ supp βˆ…) ∈ Fin}
eulerpart.m 𝑀 = (π‘Ÿ ∈ 𝐻 ↦ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯))})
eulerpart.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
eulerpart.t 𝑇 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽}
eulerpart.g 𝐺 = (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽))))))
eulerpart.s 𝑆 = (𝑓 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemn (𝐺 β†Ύ 𝑂):𝑂–1-1-onto→𝐷
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘˜,𝐹,𝑛,π‘œ,π‘₯,𝑦   𝑓,𝐺,π‘˜,π‘œ   π‘œ,𝐻,π‘Ÿ   𝑓,𝐽,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   π‘˜,𝑀,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝑓,𝑁,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘₯   𝑛,𝑂,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝑃,𝑔,π‘˜,𝑛   𝑅,𝑓,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝑇,𝑓,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑃(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑅(𝑧,𝑔)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑇(𝑧,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑓,𝑔,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑔,𝑛,π‘Ÿ)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛)   𝐽(𝑧,𝑔)   𝑀(𝑧,𝑓,𝑔)   𝑁(𝑦,𝑧,π‘Ÿ)   𝑂(𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,π‘œ)
Proof of Theorem eulerpartlemn
Dummy variables 𝑑 π‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘œ = π‘ž ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘œ = π‘ž)
21fveq1d 6892 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘œ = π‘ž ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘œβ€˜π‘˜) = (π‘žβ€˜π‘˜))
32oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 ((π‘œ = π‘ž ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜))
43sumeq2dv 15653 . . . . . . . . . 10 (π‘œ = π‘ž β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜))
54eqeq1d 2732 . . . . . . . . 9 (π‘œ = π‘ž β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁 ↔ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
65cbvrabv 3440 . . . . . . . 8 {π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁} = {π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}
76a1i 11 . . . . . . 7 (π‘œ = π‘ž β†’ {π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁} = {π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁})
87reseq2d 5980 . . . . . 6 (π‘œ = π‘ž β†’ (𝐺 β†Ύ {π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}) = (𝐺 β†Ύ {π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}))
9 eqidd 2731 . . . . . 6 (π‘œ = π‘ž β†’ {𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁} = {𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁})
108, 7, 9f1oeq123d 6826 . . . . 5 (π‘œ = π‘ž β†’ ((𝐺 β†Ύ {π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}):{π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}–1-1-ontoβ†’{𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁} ↔ (𝐺 β†Ύ {π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}):{π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}–1-1-ontoβ†’{𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}))
1110imbi2d 339 . . . 4 (π‘œ = π‘ž β†’ ((⊀ β†’ (𝐺 β†Ύ {π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}):{π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}–1-1-ontoβ†’{𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}) ↔ (⊀ β†’ (𝐺 β†Ύ {π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}):{π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}–1-1-ontoβ†’{𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁})))
12 eulerpart.g . . . . 5 𝐺 = (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽))))))
13 eulerpart.p . . . . . . 7 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
14 eulerpart.o . . . . . . 7 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
15 eulerpart.d . . . . . . 7 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
16 eulerpart.j . . . . . . 7 𝐽 = {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
17 eulerpart.f . . . . . . 7 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
18 eulerpart.h . . . . . . 7 𝐻 = {π‘Ÿ ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (π‘Ÿ supp βˆ…) ∈ Fin}
19 eulerpart.m . . . . . . 7 𝑀 = (π‘Ÿ ∈ 𝐻 ↦ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯))})
20 eulerpart.r . . . . . . 7 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
21 eulerpart.t . . . . . . 7 𝑇 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽}
2213, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 12eulerpartgbij 33669 . . . . . 6 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)–1-1-ontoβ†’(({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅)
2322a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)–1-1-ontoβ†’(({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅))
24 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ž = π‘œ β†’ (πΊβ€˜π‘ž) = (πΊβ€˜π‘œ))
25 reseq1 5974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘ž = π‘œ β†’ (π‘ž β†Ύ 𝐽) = (π‘œ β†Ύ 𝐽))
2625coeq2d 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘ž = π‘œ β†’ (bits ∘ (π‘ž β†Ύ 𝐽)) = (bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽)))
2726fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘ž = π‘œ β†’ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘ž β†Ύ 𝐽))) = (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽))))
2827imaeq2d 6058 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ž = π‘œ β†’ (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘ž β†Ύ 𝐽)))) = (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽)))))
2928fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ž = π‘œ β†’ ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘ž β†Ύ 𝐽))))) = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽))))))
3024, 29eqeq12d 2746 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž = π‘œ β†’ ((πΊβ€˜π‘ž) = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘ž β†Ύ 𝐽))))) ↔ (πΊβ€˜π‘œ) = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽)))))))
3113, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 12eulerpartlemgv 33670 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π‘ž) = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘ž β†Ύ 𝐽))))))
3230, 31vtoclga 3565 . . . . . . . . . . . 12 (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π‘œ) = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽))))))
33323ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽)))))) β†’ (πΊβ€˜π‘œ) = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽))))))
34 simp3 1136 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽)))))) β†’ 𝑑 = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽))))))
3533, 34eqtr4d 2773 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽)))))) β†’ (πΊβ€˜π‘œ) = 𝑑)
3635fveq1d 6892 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽)))))) β†’ ((πΊβ€˜π‘œ)β€˜π‘˜) = (π‘‘β€˜π‘˜))
3736oveq1d 7426 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽)))))) β†’ (((πΊβ€˜π‘œ)β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
3837sumeq2sdv 15654 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽)))))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((πΊβ€˜π‘œ)β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
3924fveq2d 6894 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž = π‘œ β†’ (π‘†β€˜(πΊβ€˜π‘ž)) = (π‘†β€˜(πΊβ€˜π‘œ)))
40 fveq2 6890 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž = π‘œ β†’ (π‘†β€˜π‘ž) = (π‘†β€˜π‘œ))
4139, 40eqeq12d 2746 . . . . . . . . . 10 (π‘ž = π‘œ β†’ ((π‘†β€˜(πΊβ€˜π‘ž)) = (π‘†β€˜π‘ž) ↔ (π‘†β€˜(πΊβ€˜π‘œ)) = (π‘†β€˜π‘œ)))
42 eulerpart.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (𝑓 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
4313, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 12, 42eulerpartlemgs2 33677 . . . . . . . . . 10 (π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜(πΊβ€˜π‘ž)) = (π‘†β€˜π‘ž))
4441, 43vtoclga 3565 . . . . . . . . 9 (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜(πΊβ€˜π‘œ)) = (π‘†β€˜π‘œ))
45 nn0ex 12482 . . . . . . . . . . . . 13 β„•0 ∈ V
46 0nn0 12491 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ β„•0
47 1nn0 12492 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ β„•0
48 prssi 4823 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ {0, 1} βŠ† β„•0)
4946, 47, 48mp2an 688 . . . . . . . . . . . . 13 {0, 1} βŠ† β„•0
50 mapss 8885 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„•0 ∈ V ∧ {0, 1} βŠ† β„•0) β†’ ({0, 1} ↑m β„•) βŠ† (β„•0 ↑m β„•))
5145, 49, 50mp2an 688 . . . . . . . . . . . 12 ({0, 1} ↑m β„•) βŠ† (β„•0 ↑m β„•)
52 ssrin 4232 . . . . . . . . . . . 12 (({0, 1} ↑m β„•) βŠ† (β„•0 ↑m β„•) β†’ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) βŠ† ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅))
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) βŠ† ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅)
54 f1of 6832 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)–1-1-ontoβ†’(({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)⟢(({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅))
5522, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)⟢(({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅)
5655ffvelcdmi 7084 . . . . . . . . . . 11 (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π‘œ) ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅))
5753, 56sselid 3979 . . . . . . . . . 10 (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π‘œ) ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅))
5820, 42eulerpartlemsv1 33653 . . . . . . . . . 10 ((πΊβ€˜π‘œ) ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜(πΊβ€˜π‘œ)) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((πΊβ€˜π‘œ)β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
5957, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜(πΊβ€˜π‘œ)) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((πΊβ€˜π‘œ)β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
6013, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21eulerpartlemt0 33666 . . . . . . . . . . . 12 (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↔ (π‘œ ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (β—‘π‘œ β€œ β„•) ∈ Fin ∧ (β—‘π‘œ β€œ β„•) βŠ† 𝐽))
6160simp1bi 1143 . . . . . . . . . . 11 (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ π‘œ ∈ (β„•0 ↑m β„•))
62 inss2 4228 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∩ 𝑅) βŠ† 𝑅
6362sseli 3977 . . . . . . . . . . 11 (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ π‘œ ∈ 𝑅)
6461, 63elind 4193 . . . . . . . . . 10 (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ π‘œ ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅))
6520, 42eulerpartlemsv1 33653 . . . . . . . . . 10 (π‘œ ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜π‘œ) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜π‘œ) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜))
6744, 59, 663eqtr3d 2778 . . . . . . . 8 (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((πΊβ€˜π‘œ)β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜))
68673ad2ant2 1132 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽)))))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• (((πΊβ€˜π‘œ)β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜))
6938, 68eqtr3d 2772 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽)))))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜))
7069eqeq1d 2732 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽)))))) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁 ↔ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
7112, 23, 70f1oresrab 7126 . . . 4 (⊀ β†’ (𝐺 β†Ύ {π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}):{π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘œβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}–1-1-ontoβ†’{𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁})
7211, 71chvarvv 2000 . . 3 (⊀ β†’ (𝐺 β†Ύ {π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}):{π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}–1-1-ontoβ†’{𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁})
73 cnveq 5872 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = π‘ž β†’ ◑𝑔 = β—‘π‘ž)
7473imaeq1d 6057 . . . . . . . . 9 (𝑔 = π‘ž β†’ (◑𝑔 β€œ β„•) = (β—‘π‘ž β€œ β„•))
7574raleqdv 3323 . . . . . . . 8 (𝑔 = π‘ž β†’ (βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛 ↔ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
7675cbvrabv 3440 . . . . . . 7 {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛} = {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
77 nfrab1 3449 . . . . . . . 8 β„²π‘ž{π‘ž ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
78 nfrab1 3449 . . . . . . . 8 β„²π‘ž{π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}
79 df-3an 1087 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ↔ ((π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
8079anbi1i 622 . . . . . . . . . . 11 (((π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) ↔ (((π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
8113eulerpartleme 33660 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž ∈ 𝑃 ↔ (π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
8281anbi1i 622 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) ↔ ((π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
83 an32 642 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ↔ (((π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
8480, 82, 833bitr4i 302 . . . . . . . . . 10 ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) ↔ (((π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
8513, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21eulerpartlemt0 33666 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↔ (π‘ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽))
86 nnex 12222 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„• ∈ V
8745, 86elmap 8867 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ↔ π‘ž:β„•βŸΆβ„•0)
88873anbi1i 1155 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ž ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽) ↔ (π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽))
8985, 88bitri 274 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↔ (π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽))
90 df-3an 1087 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽) ↔ ((π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽))
91 dfss3 3969 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β—‘π‘ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽 ↔ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•)𝑛 ∈ 𝐽)
92 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝑛 β†’ (2 βˆ₯ 𝑧 ↔ 2 βˆ₯ 𝑛))
9392notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑛 β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧 ↔ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
9493, 16elrab2 3685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ 𝐽 ↔ (𝑛 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
9594ralbii 3091 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•)𝑛 ∈ 𝐽 ↔ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•)(𝑛 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
96 r19.26 3109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•)(𝑛 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) ↔ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
9791, 95, 963bitri 296 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β—‘π‘ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽 ↔ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
98 cnvimass 6079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β—‘π‘ž β€œ β„•) βŠ† dom π‘ž
99 fdm 6725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 β†’ dom π‘ž = β„•)
10098, 99sseqtrid 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 β†’ (β—‘π‘ž β€œ β„•) βŠ† β„•)
101 dfss3 3969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β—‘π‘ž β€œ β„•) βŠ† β„• ↔ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„•)
102100, 101sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 β†’ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„•)
103102biantrurd 531 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 β†’ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛 ↔ (βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•)𝑛 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛)))
10497, 103bitr4id 289 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 β†’ ((β—‘π‘ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽 ↔ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
105104adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin) β†’ ((β—‘π‘ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽 ↔ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
106105pm5.32i 573 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) βŠ† 𝐽) ↔ ((π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
10789, 90, 1063bitri 296 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↔ ((π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
108107anbi1i 622 . . . . . . . . . 10 ((π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ↔ (((π‘ž:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘ž β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
10984, 108bitr4i 277 . . . . . . . . 9 ((π‘ž ∈ 𝑃 ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) ↔ (π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
110 rabid 3450 . . . . . . . . 9 (π‘ž ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛} ↔ (π‘ž ∈ 𝑃 ∧ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛))
111 rabid 3450 . . . . . . . . 9 (π‘ž ∈ {π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁} ↔ (π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
112109, 110, 1113bitr4i 302 . . . . . . . 8 (π‘ž ∈ {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛} ↔ π‘ž ∈ {π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁})
11377, 78, 112eqri 4001 . . . . . . 7 {π‘ž ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (β—‘π‘ž β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛} = {π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}
11414, 76, 1133eqtri 2762 . . . . . 6 𝑂 = {π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}
115114reseq2i 5977 . . . . 5 (𝐺 β†Ύ 𝑂) = (𝐺 β†Ύ {π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁})
116115a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ (𝐺 β†Ύ 𝑂) = (𝐺 β†Ύ {π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}))
117114a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ 𝑂 = {π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁})
118 nfcv 2901 . . . . . 6 Ⅎ𝑑𝐷
119 nfrab1 3449 . . . . . 6 Ⅎ𝑑{𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}
120 fnima 6679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 Fn β„• β†’ (𝑑 β€œ β„•) = ran 𝑑)
121120sseq1d 4012 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 Fn β„• β†’ ((𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1} ↔ ran 𝑑 βŠ† {0, 1}))
122121anbi2d 627 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 Fn β„• β†’ ((ran 𝑑 βŠ† β„•0 ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}) ↔ (ran 𝑑 βŠ† β„•0 ∧ ran 𝑑 βŠ† {0, 1})))
123 sstr 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ran 𝑑 βŠ† {0, 1} ∧ {0, 1} βŠ† β„•0) β†’ ran 𝑑 βŠ† β„•0)
12449, 123mpan2 687 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ran 𝑑 βŠ† {0, 1} β†’ ran 𝑑 βŠ† β„•0)
125124pm4.71ri 559 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ran 𝑑 βŠ† {0, 1} ↔ (ran 𝑑 βŠ† β„•0 ∧ ran 𝑑 βŠ† {0, 1}))
126122, 125bitr4di 288 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 Fn β„• β†’ ((ran 𝑑 βŠ† β„•0 ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}) ↔ ran 𝑑 βŠ† {0, 1}))
127126pm5.32i 573 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 Fn β„• ∧ (ran 𝑑 βŠ† β„•0 ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1})) ↔ (𝑑 Fn β„• ∧ ran 𝑑 βŠ† {0, 1}))
128 anass 467 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑑 Fn β„• ∧ ran 𝑑 βŠ† β„•0) ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}) ↔ (𝑑 Fn β„• ∧ (ran 𝑑 βŠ† β„•0 ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1})))
129 df-f 6546 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑:β„•βŸΆ{0, 1} ↔ (𝑑 Fn β„• ∧ ran 𝑑 βŠ† {0, 1}))
130127, 128, 1293bitr4ri 303 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑:β„•βŸΆ{0, 1} ↔ ((𝑑 Fn β„• ∧ ran 𝑑 βŠ† β„•0) ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}))
131 prex 5431 . . . . . . . . . . . . 13 {0, 1} ∈ V
132131, 86elmap 8867 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ ({0, 1} ↑m β„•) ↔ 𝑑:β„•βŸΆ{0, 1})
133 df-f 6546 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑:β„•βŸΆβ„•0 ↔ (𝑑 Fn β„• ∧ ran 𝑑 βŠ† β„•0))
134133anbi1i 622 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}) ↔ ((𝑑 Fn β„• ∧ ran 𝑑 βŠ† β„•0) ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}))
135130, 132, 1343bitr4i 302 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ ({0, 1} ↑m β„•) ↔ (𝑑:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}))
136 vex 3476 . . . . . . . . . . . 12 𝑑 ∈ V
137 cnveq 5872 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝑑 β†’ ◑𝑓 = ◑𝑑)
138137imaeq1d 6057 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝑑 β†’ (◑𝑓 β€œ β„•) = (◑𝑑 β€œ β„•))
139138eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝑑 β†’ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (◑𝑑 β€œ β„•) ∈ Fin))
140136, 139, 20elab2 3671 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ 𝑅 ↔ (◑𝑑 β€œ β„•) ∈ Fin)
141135, 140anbi12i 625 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 ∈ ({0, 1} ↑m β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅) ↔ ((𝑑:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}) ∧ (◑𝑑 β€œ β„•) ∈ Fin))
142 elin 3963 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ↔ (𝑑 ∈ ({0, 1} ↑m β„•) ∧ 𝑑 ∈ 𝑅))
143 an32 642 . . . . . . . . . 10 (((𝑑:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑑 β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}) ↔ ((𝑑:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}) ∧ (◑𝑑 β€œ β„•) ∈ Fin))
144141, 142, 1433bitr4i 302 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ↔ ((𝑑:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑑 β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}))
145144anbi1i 622 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ↔ (((𝑑:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑑 β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
14613eulerpartleme 33660 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ 𝑃 ↔ (𝑑:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑑 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
147146anbi1i 622 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ 𝑃 ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}) ↔ ((𝑑:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑑 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}))
148 df-3an 1087 . . . . . . . . . 10 ((𝑑:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑑 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ↔ ((𝑑:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑑 β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
149148anbi1i 622 . . . . . . . . 9 (((𝑑:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑑 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}) ↔ (((𝑑:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑑 β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}))
150 an32 642 . . . . . . . . 9 ((((𝑑:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑑 β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}) ↔ (((𝑑:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑑 β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
151147, 149, 1503bitri 296 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ 𝑃 ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}) ↔ (((𝑑:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑑 β€œ β„•) ∈ Fin) ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
152145, 151bitr4i 277 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁) ↔ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}))
153 rabid 3450 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ {𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁} ↔ (𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁))
15413, 14, 15eulerpartlemd 33663 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ 𝐷 ↔ (𝑑 ∈ 𝑃 ∧ (𝑑 β€œ β„•) βŠ† {0, 1}))
155152, 153, 1543bitr4ri 303 . . . . . 6 (𝑑 ∈ 𝐷 ↔ 𝑑 ∈ {𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁})
156118, 119, 155eqri 4001 . . . . 5 𝐷 = {𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}
157156a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐷 = {𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁})
158116, 117, 157f1oeq123d 6826 . . 3 (⊀ β†’ ((𝐺 β†Ύ 𝑂):𝑂–1-1-onto→𝐷 ↔ (𝐺 β†Ύ {π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}):{π‘ž ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘žβ€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}–1-1-ontoβ†’{𝑑 ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∣ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘‘β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁}))
15972, 158mpbird 256 . 2 (⊀ β†’ (𝐺 β†Ύ 𝑂):𝑂–1-1-onto→𝐷)
160159mptru 1546 1 (𝐺 β†Ύ 𝑂):𝑂–1-1-onto→𝐷
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  βŠ€wtru 1540   ∈ wcel 2104  {cab 2707  βˆ€wral 3059  {crab 3430  Vcvv 3472   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  {cpr 4629   class class class wbr 5147  {copab 5209   ↦ cmpt 5230  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678   ∘ ccom 5679   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413   supp csupp 8148   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117   ≀ cle 11253  β„•cn 12216  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β†‘cexp 14031  Ξ£csu 15636   βˆ₯ cdvds 16201  bitscbits 16364  πŸ­cind 33306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-dvds 16202  df-bits 16367  df-ind 33307
This theorem is referenced by:  eulerpart  33679
  Copyright terms: Public domain W3C validator